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EX 1
Find the overall response
solve
in time-domain in frequency
h(m) = h1(m) * h2(m)
H1(ejω) = { 1
in general
y(m) = W0(m) + (-1)mW0(m) =
- 2 W0(m) m = 2k
- 0 m = 2k+1
W0(m) = δ(m)
h2(m) =
- 2 δ(m) m = 2k
- 0 m = 2k+1
hn(m) = h1(m) ∗ h2(m) = ∑k=-∞∞ h1(k) ⋅ h2(m-k) =
∑k=-∞∞ h2(k) ⋅ h1(m-k) =
{
- 2 sinc(π/2 m) m = 2k
- 0 m = 2k+1
= δ(m)
for m even is zero (sinc π/2 m = 0)
m pari
d) is causal (h(m)=0 for m<0)
stable if |a|<1 (BIBO stable → output is bounded)
EX 3
X(m)
- a) X(ej0)
- b) ∠X(ejω)
- c) ∫-ππ X(ejω)dw
ASSE DI SIMMETRIA
WITHOUT COMPUTE THE OVERALL DTFT
(WITHOUT CLOSED FORM OF DTFT)
Si sfruttano le proprietà della DTFT!
= 8a2s - 6a2t - 6ast + t2 = (8a3 - 6at)s - 6a2t + t2
praticamente sostituisco s2 finche' non ho un' eq. in s!
P(s)
Q(s)[(s - z(t))(s - w(t))]k
K parametro
P(s)
Q(s)[(s - z(t))(s - w(t))]
= A(t) B(t) q(s t)
s - z(t) s - w(t) Q(s)
EX WHITE NOISE
μww=0 = 0σw2w
a) Φx(ejω) = ? ← PSDb) E{ X2(m) } = ? ← POWER
μx = 0 → W(m) stationary and system LTI
H(ejω) = 1/1 - 1/2 e-jω
a) Φx(ejω) = Φw(ejω) |H(ejω)|2 = σw2 1/(1 - 1/2 e-jω)(1 - 1/2 ejω) =
= 4σw2/(2 - 2 cos ω + j sin ω)(2 - 2 cos ω - j sin ω) =
(c) y(m) = x(m) ∗ h(m)
X(z) = 1/1 - z-1 - 1/2 z-1/1 - z-1
Y(z) = X(z) ⋅ H(z) =
= (1/1 - z-1 - 1/2 z-1/1 - z-1)(4/1 + 1/3 z-1)(1/1 - 1/2 z-1) =
= 2 - z-1/2(1 - z-1)(1 + 1/3 z-1)(z-1) ⋅ 4 = ζ/(1 - z-1)(1 + 1/3 z-1) = Y(z)
Y(z) = A3/1 - z-1 + A6/1 + 1/3 z-1
H(z) = 1/2 (1 + z-1) 1/1 - 1/2 z-1 = 1 + z-1/2 - z-1
b) Xmax |yf(m)| ≤ 1 (scaling or not?)
|y(m)| ≤ Xmax ∑m=-∞+∞ |h(m)| ≤ 1
H(z) = 1/2/1 - 1/2 z-1 + 1/2 · z-1/1 - 1/2 z-1 → h(m) = 1/2(1/2)m u(m) + 1/2(1/2)m-1 u(m-1)
1) FILTER DESIGN:
Butterworth with finite difference method
ωp = 0.2π
ωs = 0.3π
δ2 = 0.01778
δ1 = 0.1086
1) Ωp = 2/T tgωp/2 = 0.6698 Ωs = 2/T tgωs/2 = 1.019 T is the free variable (sampling freq.) I can choose what I want ex: T = 1s (simple) The transfer funct. of the filter is INDEPENDENT from T!
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