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MODELLING
Generates a stochastic process with given specs.
ex:
U(m) → H(jω) → X(m)
U(m) ∼ WN(0, σ2)white noise
ex:
y1 = α + βx1 + 1
y2 = α + βx2 + 2
⋮
yK = α + βxK + K
[y1, y2, ⋮, yK] = [1, x1, 1, x2, ⋮, 1, xK][α, β]
Y = A[α, β] ⇒ ([AT A]-1 AT y = [α, β])
LEAST SQUARES REGRESSION
min Σi(yi - α - βxi)2
ex: T = temp. Trento
R = temp. Rovereto
T^ = α + βR
MSE = E((T - T^)2) = E((T - α - βR)2) =
= E(T2 + α2 + β2R2 + 2αβR - 2Tα - 2TβR) =
= E(T2) + α2 + β2E(R2) + 2αβE(R) - 2αE(T) - 2βE(TR)
dMSE/dα = 2α + 2βE(R) - 2E(T) = 0 → α = E(T) - βE(R)
dMSE/dβ = 2βE(R2) + 2αE(R) - 2E(TR) = 0 → β = (E(TR) - αE(R)) / E(R2)
α, β that minimize the MSE!
In general:
() = (2 - 5) ⋅ (-1)(-1) + (5 - 32 - 1) ⋅ (-2)(-2) +
() = 1(-1) + 2(-2) + 2(-2) ; () = ()
More in general:
() = 1(-1) + 2(-2) + ⋯ + (-) + 0() + ⋯ + (-)
() = ((-1) ⋯ (-) | ) + (() ⋯ (-) | )
ARMA
Xm = ∑i=1N ai Xm-i + ∑j=0M bj Um-j
AR(1) ⇒ Xm = a1 Xm-1 + Um
it's the same Xm-1 = a1 Xm-2 + Um-1
Xm = a12 Xm-2 + a1 Um-1 + Um
= a1k Xm-k + ∑j a1j Um-j
a1k Xm-k = Xm - ∑j=0k-1 a1j Um-j
limK→∞ E((Xm - ∑j=0K-1 a1j Um-j)2)
evolution of the sys with k steps backwards
mean square error: MSE
E⤫J MA (1) → Xm = Um + b1 Um-1, U ~ WN(0, σu2)
is Xm WSS? Correlogram?
• E(Xm) = E(Um) + b1 E(Um-1) = 0
• γ(Xm+k, Xm) = ψ(Xm+k, Xm) = E(Um+k Um) + b1 E(Um+k Um-1)
+ b1 E(Um+k-1 Um)
γ(Xm+k, Xm) = { k = 0 → σu2 + 0 + 0 + b12 σu2 = (1 + b12) σu2 k = ±1 → b1 σu2 otherwise → 0
→ WSS
ARMA(1,1)
a(q) Xm = b(q) Um
E(Xm) = 0 if X0 = 0
E(Xm+k Xm) = σu2 ∑j=0∞ ξj ∑i=0∞ Cj Ci E(Um-j Um+k-i)
= σu2 ∑j=0∞ ξj Cj Cj+k
γx(0) = σu2 [ 1 + (a1+b1)2/1-a12 ]
γx(1) = σu2 [ (a1+b1) + (a1+b1)2 a1/1-a12 ]
γx(k) = a1k-1 γx(1) ⇒ A.R. behaviour
C0 = 1
Cj = (a1+b1) a1j-1
n=2
x2 = a1x1 + a2x0 + b0u2
E(x0x2) = E(a1x1x0 + a2x0x0 + b0x0u2)
φx(2) = a1φx(1) + a2φx(0)
φx(1) = a1φx(0) + a2φx(1)
φx(0) = a1φx(1) + a2φx(2) + b02σu2
E(x2u2) = a1E(x1u1) + a2E(x0u1) + b0E(u1u2)
= 1 if r = mN, m ∈ Z
= 0 otherwise
X(m) ≜ 1/N ∑0N-1 ∑κ X(κ) ej2π/N * km
if I sum them → all = 0
for all r ≠ mN
∑0N-1 X(m) ej2π/N * mΛ = 1/N ∑0N-1 ∑0κ X(κ) ej2π/N * km e-j2π/N * mΛ = X(κ)
ej2π/N * m(K-λ) c m=0 → κ=λ
all components are opposite
CIRCULAR SHIFTING
X(m) ⟷ X(k)
X(m-m) = 1/N ∑k=0N-1 X(k) ej2π/NK(m-m) =
= 1/N ∑k=0N-1 X(k) e-j2π/N km ej2π/N km =
= 1/N ∑k=0N-1 X(k) WkmN W-kmN
X(m-m)n = Wkmn X(k)
↚ replen the period
exit from the left and enter to the right: CIRCULAR SHIFTING
DECIMATION IN TIME (DIT)
N = 2v
FFT works on 2v samples
Xe(m) = X(2r) r = 0, ..., N/2 - 1 even index
Xo(m) = X(2r + 1) r = 0, ..., N/2 - 1 odd index
X(k) = ∑m=0N-1 X(m) e-j2π/Nkm
= ∑m=0N-1 X(m) WN
= ∑r=0N/2 - 1 X(2r) WN2rk + ∑r=0N/2 - 1 X(2r + 1) WNk(2r + 1)
WN2 = (e-j2π/N)2 = e-j2πN/2 = WN/2
WN
TWIDDLE FACTOR
BUTTERFLY STRUCTURE
compute FFT → this same structure a lot of time
in each stage there are N/2 butterfly structures
m-th stage of FFT (p and q not consecutive → generic indexes)
- Xm-1(p) → Xm(p)
- Xm-1(p) ⨂ ➔ Xm(p) (input parameters)
- Xm-1(q) ⨁ WNm
- Xm(q) ⊙ WN
- WN/2 = WNN/2 = -1
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