Digital Signal Processing (DSP) - prof Fontanelli

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Author: piogr97

Revisionato il 30/05/2026

di piogr97

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Parte del corso di Fontanelli per l'esame di Digital Signal Processing che sono basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof., dell’università degli Studi …

Esame Digital Signal Processing

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Macii David

Università Università degli Studi di Trento

A.A. 2019-2020

66 pagine

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Estratto del documento

MODELLING

generates a stochastic process with given specs.

ex:

U(m) → H(jω) → X(m)

U(m) ∼ WN(0,σ²)

white noise

ex:

y₁ = α + β x₁ + ϵ₁
y₂ = α + β x₂ + ϵ₂
...
y_k = α + β x_k + ϵ_k

⇒

[ y₁ y₂ ... y_k ] = [ 1 x₁ 1 x₂ ... 1 x_k ] [ α β ]

Y = A [ α β ]

⇒ (A^TA)^-1 A^TY = [ α β ]

LEAST SQUARES min Σ_i (y_i - α - βx_i)²REGRESSION

MODELLING

generates a stochastic process with given specs.

ex:

U(m) H(jw) X(m)

U(m) ~ WN(0, σ²)

white noise

ex:

y₁ = α + β x₁ + ε₁

y₂ = α + β x₂ + ε₂

⋮

y_k = α + β x_k + ε_k

[ y₁ ]

[ y₂ ]

[ ⋮ ] =

[ y_k ]

[ 1 x₁ ] [ α ]

[ 1 x₂ ] [ β ]

[ ⋮ ]

[ 1 x_k ]

Y = A [ α ]

[ β ]

⇒ [A^TA]^-1A^TY = [ α ]

[ β ]

LEAST SQUARES

min Σ_i(y_i - α - βx_i)²

REGRESSION

ex: T = temp. Trento

R = temp. Rovereto

T̂ = α + βR

estimated temp. in Trento

mean square error

MSE = E\left( (T - T̂)^2 \right) = E\left( (T - α - βR)^2 \right) =

= E(T^2 + α^2 + β^2 R^2 + 2 αβR - 2Tα - 2TβR) =

= E(T^2) + α^2 + β^2 E(R^2) + 2αβE(R) - 2αE(T) - 2βE(TR)

⟹ \frac{\partial MSE}{\partial α} = 2α + 2βE(R) - 2E(T) = 0

⟹ α = E(T) - βE(R)

⟹ \frac{\partial MSE}{\partial β} = 2βE(R^2) + 2αE(R) - 2E(TR) = 0⟹ β = \frac{E(TR) - αE(R)}{E(R^2)}

α, β that minimize the MSE!

L = ^{E(T)E(R²) - E(R)E(TR)}⁄_{E(R²) - E(R)²} = ^{M_T(σ_R²+μ_R²)-M_R(βσ_Rσ_T+μ_T)}⁄_{σ_R²}-μ_T-βμ_R^σ_T⁄_{σ_R}

β = ^{E(TR) - E(R)E(T)}⁄_{E(R²) - E(R)²} = ρ^σ_T⁄_{σ_R}

E(T) = μ_T

E(R) = μ_R

E(R²) = σ_R² + μ_R²

σ_R² = E((R-E(R))²) = E(R²) - E(R)²

E(TR) = ρσ_Rσ_T + μ_Rμ_T

coeff. of correlation

Ẑ = μ_T + ρ^σ_T⁄_{σ_R}(R-μ_R)

MSE = E((T - (α + βR))²) = (1 - ²)σ_T²

β = ±1 → linear relation & MSE = 0

β = 0 → MSE = σ_T²

no linear relation (doesn't give any information at all)

we know exactly the temp. in Pinerolo)

^d²x(t)d(t²)

+ 5^dx(t)dt

+ 3x(t) = 4sin(t)

x(0) = 1

^dx(t)dt

|_t=0 = ẋ(0) = 2

x(t) => x (nΔt)

generating sequence in DT

(Euler approximation)

[Diagram of x(t) with Δt intervals and t axis]

Euler approx

(forward approx rule)

^dx(t)/_dt ≈ (x(t+Δt) - x(t))/Δt

^d²x(t)/_dt ≈ ((x(t+2Δt) - x(t+Δt))/Δt - (x(t+Δt) - x(t))/Δt)/Δt =

= (x(t+2Δt) - 2x(t+Δt) - x(t))/Δt²

x(0) = 1

x(Δt) = 2Δt + 1

x(2Δt) = 2x(Δt) + x(0) + 5Δt(x(Δt) - x(0)) + 3Δt²x(0) = 4Δt²sin(0)

x(2Δt) = (2 - 5Δt)x(Δt) + (5Δt - 3Δt² - 1)x(0) + 4Δt²sin(0)

In general:

×(M Δt) = (2 - 5Δt) × ( (m-1) Δt ) + (5Δt - 3Δt² - 1) × ( (m-2) Δt ) +

+ (4Δt²) ńm ( (m-2) Δt )

×(m) = a₁ ×(m-1) + a₂ ×(m-2) + b₂

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