Esercizi Analisi 4

Name: Esercizi Analisi 4
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Author: feg1

Revisionato il 08/07/2026

di feg1

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Esercizi vari e vecchie prove d'esame riguardanti:Serie numeriche, serie di Fourier, trasformate di fourier, eq. del calore, eq. delle onde, eq di laplace/Poisson, dell'università degli …

Esame Analisi matematica 4

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Santacesaria Matteo

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2021-2022

75 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Esempio Eq. del calore fatta in classe il

μt - μxx = x(x-1)

(x,t) ∈ (0,1)×(0,+∞)

u(x,0) = sen(πx)

x ∈ [0,1]

u(0,t) = u(L,t) = 0

t > 0.

Cerchiamo una soluzione stazionaria w(x).

-w^''=-x²+x

-w^'= -x³/3 + x²/2 + a

w= - x⁴/12 + x³/6 + ax + b

w(0) = b = 0.

w(1) = 1/12 + a = 0

a = - 1/12.

Ora basta trovare una soluzione di v di:

vt + vxx = 0

(x,t) ∈ (0,1)×(0,+∞)

v(x,0) = sen(πx) + x⁴/12, x³/6, x²/12

(condiz. regis)

v(0,t) = v(L,t) = 0 ∀t > 0

Esercizio Eq del calore (

Esame /2013) svolto in classe il

μt - μxx = 2 sen(x) + x cos(x) con x ∈ (0,x), t > 0.

Trovare una soluzione che soddisfi: μ(0,t) = 1 e μ(π,t) = π+1. stazionaria
Risolvere
- μt - μxx = 2 sen(x) + x cos(x)
- μ(x,0) = x cos(x) + 1
- μ(0,t) = 1
- μ(π,t) = π+1

Soluzione:

a) cerco w(x) t.c. w^''(x) = -2 sen(x) - x cos(x)

w(0) = 1 w(x) = π+1

Cerco primitiva seconda:

∫ -2 sen(x)dx = -2 cos(x)

Esempio Eq. del calore fatta in classe il 17/11/2021

u_t - u_xx = x(x-1)

(x,t) ∈ (0,1) x (0,+∞)

u(x,0) = sen(πx)

x ∈ [0,1]

u(0,t) = u(L,t) = 0

t > 0.

Cerchiamo una soluzione stazionaria v(x).

- w^'' = x(-x² + x) - w^'' = -x² + x - w^' = -^x³₃ + ^x²₂ + a

w = -^x⁴₁₂ + ^x³₆ + ax + b

w(0) = b = 0.

w(1) = ¹₂ + a = 0 → a = -¹₁₂.

Ora basta trovare una soluzione di v di:

v_t + v_xx = 0
(x,t) ∈ (0,1) x (0,+∞)
v(x,0) = sen(πx) + ^x⁴₁₂ - ^x³₆ + ^x²₁₂ (converto segni)
v(0,t) = v(L,t) = 0 ∀t > 0

Esercizio Eq del calore (scritto in classe il 18/11/21)

u_t - u_xx = 2sen(x) + xcos(x) con x ∈ (0,π), t > 0.

Trovare una soluzione che soddisfi: u(0,t) = 1 e u(π,t) = π+2. stazionaria
Risolvere
- u_t - u_xx = 2sen(x) + xcos(x)
- u(x,0) = xcos(x) + 1
- u(0,t) = 1
- u(π,t) = π + 1

Soluzione:

a) Cerco w(x) t.c. w^''(x) = -2sen(x) - xcos(x) w(0) = 1 e w(π) = π + 1.

Cerco primitiva seconda:

∫(2sen(x) + xcos(x) - 2cos(x))dx =∫(2sen(x)dx = -2cos(x))

∫ x cos(x) dx

f' = 1

g' = cos(x)

= x sen(x) - ∫ sen(x) dx = x sen(x) + cos(x)

→ unisco e ottengo: -2 cos(x) + x sen(x) + cos(x) = x sen(x) - cos(x)

∫ x sen(x) dx

f' = 1

g' = sen(x)

→ unisco e ottengo: -x cos(x) + sen(x) = -x cos(x).

w(x) = −(-x cos(x)) + a x + b = x cos(x) + a x + b

w(0) = b = 1

w(π) = −π + a π = π ≠ 1 → a = 2

w(x) = x cos(x) + 2 x + 1. [Soluzione stazionaria]

b) Sia u = v + w con v_t = v_t - v_xx = 0 per x ∈ (0,π) × t > 0

v(x, 0) = x cos(x) + 2x - x cos(x) - 2x = -2x

v(0, t) = v(π, t) = 0

Ora si risolve una SdF di -2x

v(x, t) = ∑_k=1 b_k e^-k²t sen (k x)

b_k = -4/π [ -x/k cos(x)]₀^π + 1/k ∫ [cos(kx) dx] = + 4/k cos(kx)

Dato u = v + w:

u(x, t) = ∑_k=1 4/k cos(kx) e^-k²t sen(kx) + x cos(x) + 2x + 1.

Ok!

Esercizio in classe del 2/12/2021

μ_t - μ_xx = 0 0 < x < 1; t > 0

u(x,0) = x 0 < x < 1

μ_x(0,t) = μ_x(1,t) = 0

Risolvere l'eq. e studiare il comportamento asintotico per t -> ∞.

Soluzione

Cerchiamo u nella forma u(x,t) = v(x)w(t)

v''(x)w'(t) - v''(x)w(t) = 0 -> _w'(t)/_w(t) = v''(x)/v(x) = λ

v''(x) + λ v(x) = 0 0 < x < 1
v'(0) = v'(1) = 0
w'(t) = λ w(t)

Si esclude il caso λ > 0 (come nella generi delle S.d.F)

Se λ = -μ² soluzione generica è:

v(x) = α cos(μx) + β sen(μx)

v'(x) = -α μ sen(μx) + β μ cos(μx)

v'(0) = -α μ sen(0) + β μ cos(0) - β μ = 0

v'(1) = -α μ sen μ = 0 -> μ = kπ con k > 0.

v_k(x) = α_k cos(kπx)

w_k(t) = β_k e^{-k² π²t}

∴u(x,t) = ∑_{k > 0} a_k e^{-k² π²t} cos(kπx)

Vero soluzione e sono S.d.F.

Per determinare a_k impongo le condizioni iniziali.

u(x,0)

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