Analisi 3 - Esercizi

Serie di potenze

1. \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\text{arctg}^n(x)}{(2n)!}\)

   Raggio di convergenza

   \(L=\lim_{m \to \infty} \sqrt[m]{|C_m|} = \lim_{m \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2m}!} \rightarrow 0 \rightarrow \mathbb{R}: \frac{1}{L} = \infty\)

   \(C_m = \frac{1}{(2m)!}\)

   \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{2n}}{(2n)!} = \cosh(y) = \cosh(\text{arctg}(x)) \quad \text{per } x > 0\)

   \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n y^{2n}}{(2n)!} = \cos(y) = \cos(\text{arctg}(|x|)) \quad \text{per } x < 0\)

   p.f. \((-\infty, +\infty)\) poiché arctg è definita in tutto \(\mathbb{R}\)

   C.T. Sui limitati di \(\mathbb{R}\)

2. \(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{e^{3-mx}}{2m-1} = e^{3} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{e^{-mx}}{2m-1}\)

   Raggio di convergenza

   \(L=\lim_{m \to \infty} \sqrt[m]{|C_m|} = \lim_{m \to \infty} \frac{1}{2m-1} \rightarrow 1 \rightarrow \mathbb{R} = \frac{1}{L} = 1\)

   \(C_m = \frac{1}{2m-1}\)

   = \(e^3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^{2n}}{2n-1} = e^3 y \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} = e^3 y \text{arctgh}(y) = e^3 y \text{arctgh}(\sqrt{1-e^{-x}}) \quad \text{per } x > 0\)

   \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n y^{2n}}{2n-1} = -e^3 y \text{arctgh}(y) = e^3 y \text{arctgh}(\sqrt{e^{-x}}) \quad \text{per } x < 0\)

   C.p. \(-1 < y < 1 \rightarrow -1 < e^x < 1 \rightarrow y \neq 0 \rightarrow (-\infty, +\infty)\)

   C.U. \(-\infty = \emptyset \cup E_{x} = +0\)

   C.T. \(\frac{1}{x}\)

3. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n m^{2^m} n^n}\)

   Raggio di convergenza \(R = 1\) poiché il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore

   Calcoliamo il termine della somma ma prima companiamo con in fratti semplici

   \(C_n \rightarrow A + \frac{B}{m^n} = \frac{A(z^m x^1) + B}{m^{(2m+1)}} = \frac{m}{2m+1} + \frac{A}{m(2m+1)} = \frac{[2A+B = 0 \rightarrow B= -2]}{[(A=1)]}\)

   Quindi la serie diventa

   \(\sum_{x=0}^{\infty} \frac{x^n}{m^n} + \frac{!^2(-z)}{2m+1} = -1 - \ln(1-x)\)

   \(\sum_{x=0}^{\infty} \sum_{x=0}^{\infty} a + \sum_{x=0}^{\infty} = -2\frac{e^{x}}{2n}\)

   \(= -\ln(1-x) + x \text{arctgh}(x) + 2 \quad \text{per } x > 0\)

   \(=-\ln(1-x) - x \text{arctgh}(|x|) + 2 \quad \text{per } x < 0\)

   C.p. \(-1 < x < 1 \rightarrow \leq \sqrt{x} < 1 \rightarrow (0,1)\)

   C.T.x\((-1, [-c,1], -1-c\],\))

4)

∑_n=1^+∞ [tg(x+n)]³ⁿ⁺² / (2n)!=

= [tg(x+1)] ∑_n=1^+∞ [tg(x+n)]³ⁿ / (2n)!=

Raggio di convergenza

L=lim Cm+1 / Cm= lim √ (2n+1)=

∞ != 0 => R=1/0=∞

quindi devo assegnare

sommabile e converge con Cauchy

per xi < 0

C.P. (−∞,+∞)

C.U. ogni limitato di |R

C.T. =

5)

∑_n=1^∞ 3n+x / (n−1)⋅(n+1)

X=

(n+1)! / (n+1)n)=>

L= lim |Cm+1/Cm|= ∞/0 => R=

quindi somprabile e

C.P. (−∞,+∞)

C.U. ogni limitato di |R

C.T.

13)

∑_n=2^∞ 1/(m² + m - 3) γ = sen(x)

∑₂^∞ 1/(m + 3) - 1/(m - 1)

A + B = 0

B = 1/4

∑₂^∞ (1/n - 1/(n + 3))

1/4 ∑₀^∞ t/(m³ + 3) = ...

x > 0

14)

∑_n=1^∞ e^-m2/_2m+1

∑₀^∞ e^-x2/_2m+1

∀ x ≠ 0 ⇒ (-∞, +∞)

(-υ ∪ υ̅) ⊂ ℘ [-∞, -ε) ∪ [ε, +∞)

8)

f(x) = 2|x|³ - 3πx²

f(x) pari: esistenti b_n = 0

a_n = ¹/_π ∫ f(x): cos(nx) dx = ²/_π ∫ (2x³ - 3πx²) cos(nx) dx =

= ²/_π [ x³ cos(nx) dx ], [0,π] - 3π [ x² cos(nx) dx], [0,π]

= ²/m [ <x² π cos(nx), 0 π - x³ 0 ] - ^6π/m [x0 π cos(nx), 0 m ] cos(nx)

= ¹²/πm [ π/m (+1) - 7/m [ x² cos(nx) 0]

= 12/πm [ 1/m (-1)^m x^-2/_m cos(nx) ] [ 12/m <-1>^m cn] =

3) I _{v = 0} ¹ ln

^{(x2y)(2x + y)} 2x dy

Tringolo già parametrizzato

^x+ya_x

---

1) x dy dx

I_v=0¹ ln (x +2y) - ln (2x+y) dx = I_y¹ ln (xtzy)dx - I^I ln (2x+y)dx

I_y¹ ln (xtzy)dx = I^y ln (xtzy)ln (2x+y) - I^I [y - y] =

[z - y] = [ - y] =

g = x +2(y) - (x+2y) dx =

(1+y) ln (1+2y) - 3y ln (3y) -1 +y

dy

I₀^{(1+2y)ln(1+2y)-3yln(y)-1+y}dy=

I₀ln(1+2y)+ y_ln(1+2y) - 3yln(4) - + ydy=

[3] [6] [5] [1] [2]

0) I_-1dy = [1-0]=-1

-1 dy =

1) y dy =

[2] 0 = 1/2

2) g+ = _yln(3y).

g = 3 [

Curva ψ

1) ψ(t) = (ln(t) t², ln(t))

1 ≤ t ≤ 10

calcoliamo ψ(t) in 3 punti:

t = 1 → ψ(1) = (0, 1, 0)

t = 2 → ψ(2) = (2ln(2), 4, ln(2))

t = 3 → ψ(3) = (3ln(3), 9, ln(3))

Condizione di regolarità:

ψ'(t) ≠ 0

ψ'(t) = (1/t, 2t, 1/t)

ψ'(1) = (1, 2, 1) ≠ 0 ✓

ψ'(10) = (1/10, 20, 1/10) ≠ 0 ✓

Curva regolare

lunghezza

ℓ = ∫₁¹⁰ |ψ'(t)| dt

|ψ'(t)| = √(1/t)² + (2t)²/t² = √(1/t² + 4t² + 1/t²) = √(4t² + 2/t²)

ℓ = ∫ √(1/t² + 4) dt = ∫ √(t² + 2/t²)

Uso cavalliere simpson ∫_a^b g(t)dt ≅ (b-a)/6 [g(a) + 4g((a+b)/2) + g(b)]

≈ 3/6 (g(1) + 4 g(11/2) + 8g(10)) = 3/6 (√(1 + 2/1) + 4 √(1/2² + 4) + √(10² + 2/10²))

= 3/2 (6 + 11,05 + 20) ≈ 39,7

2) ℑ(x, y) =

• xy ≥ 1
• x ≥ 0
• 2y + x ≤ 7

V_x V_y

xy = 1

2y + x = 7

1/x = 7 - 2y

-2y + 7y = 0

y₁₂ = 〈 0,14

x₁₂ = 〈 7,14

(7,14 ; 0,14)

(0,23 ; 3,35)

V_y = π∫₄¹²

(7 - 2y)² - (1/y)² dy

V_x = π∫_x1^x₂

(7 - x/2)² - (1/x)² dx

m_z(y) = :

∫_Δ A + (7 - 2y) - (1/y) (7)

(2 + 1/y)

[ (x_estra - x_pseudo)] ∫ d[(x_estra - d)((x_pseudo)]

m_z(x) = analogo

b_m = ¹/_π ∫₀^π f(x) sen(mx) dx = ¹/_π ∫₀^π x² sen(mx) dx + πx sen(mx) dx

= ¹/_π [ ∫₀^π x² sen(mx) dx ] + 0 = 2/[^m/sub> ∫₀^π x cos(mx) - [ ∫₀^π x cos(mx)

= ¹/_π [ - π²/_m (-1) ] - 2/_m³ π ∫₀^π sen(mx) dx - π²/_m (-1)^m

= ∫₀^μ x² cos(mx) - ∫₀^π x² cos(mx) - π²/_m cos(mx) = π

= ¹/_π [ - (^2π/_m) (-1)^m ] + 2/_m²] [ ∫_m 8

f(x) = ⁵/₁₂ x² + Σ [ (-⁴/_m) (-1)^m ] cos(mx) + [ -^2π/_m ] cos(mx)

3) Lu(3x + 2y) dx dy T = {(0,0), (2, 0), (0, 3)}

y = 3

3 { ∫₀³ y/² dx dy

0 = ^x/_{3x + 2y} dx

= [ x/_2π y(x_3/2 dx

3) - ∫₂³ 3 [ (-^3/2)₄ ]

[ 2 - (2/³) x

= 3 Lu(6) x dx

= 2 i_n i_n (l) Lu(2x)

= 0 i dy

= ₂ T i_n x dx