Esercizi svolti analisi 2

1.3

Ex. 1

3x + 2(A−x) + B + 2(C + 2x) = 0

A = ⟨1 0_-1⟩

B = ⟨2 1_−1,1⟩

C = ⟨0 2_{−2 1}⟩

x ∈ Mat (2,ℝ)

3x + 2A − 2x + B + 2C + 4x = 0

5x = −2A − B − 2C

5x = ⟨−2 −2_{−2 −1 −4}⟩

   ⟨−2+1+4₋₁₋₂⟩

x = ⟨−4/5_−7/5⟩

     ⟨3/5_−3/5⟩

Ex. 2

A ∈ Mat (m × n)

B ∈ Mat (p × q)

A * B si può far se m = p

A * B ∈ Mat (m × q)

A = ⟨3 2 4⟩ ∈ Mat (1 × 3)

B = ⟨5₂₁⟩ ∈ Mat (3 × 1)

• A•B ∈ Mat(1,R)
• A•B = [15+4+1] = [23]
• B•A ∈ Mat(3,R)

Oss:

C^T = [15 6 3 | 10 4 2 | 20 8 4]

Oss:

• A ∈ Mat(3x2)
• B₂ ∈ Mat(3x3)

• A•B non si può calcolare
• A^T•B^T sì ∈ Mat(2x3) • (3x3)

ES. 3

ATTENZIONE!

A = [1 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 ]

• e₁ = [1 0 0]
• e₂ = [0 1 0]
• e₃ = [0 0 1]

Cosa succede se faccio

• A•e₁
• A•e₂
• A•e₃

α + 6δ = 6α + c

a = b + d

C + 6d = 6α

c = 6δ

a = b

c = 6c

a = b + d

b = t₁

a = b + d

C + 6d = 6b

- - - - - - -

α - 0 - d - 6α

d = t₂

a = t₁ + t₂

A = [ t₁ t₂ ] = [ t₁ t₁ ] + [ t₂ 0 ] =

a = t₁ [ 1 ] [ 1 ] + t₂ [ 0 ] =

= [ 6α 0 ] + t₂ [ 1 0 ]

= [ 6α 1 ] | _I2

Esercizio 8

Calcolare il det(A)

A = [ 2 3 ]

A = [ 1 5 6 ]

[ 7 9 ]

Metodo di Laplace

1. scelgo riga e colonna

2. moltiplico gli elementi per i complementi algebraici

2 posizioni (A_1,1)

3 posizione (A_1,2)

+ 1 | 5 6 | 0

+ 2 | 4 6 |

| 7 9 |

| 8 9 |

1 * (-3) - 2 (6 - 6) + 2 (-3) = -3 + 12 - 9 = 0

Riduzione a scala

A = [ 1 2 ]

[ 5 6 ]

[ 8 9 ]

R₂ - R₁ - DR₂

[ 0 6 ] - PR₂

[ 0 -6 ]

0 -3 6 -12

R₃ - 7R₁ - DR₃

[ 0 3 ]

-12

[ 0 0 ]

0 -3R₂ 0 R₃

0 0 0

2.3

INTRO

• 2x - 5y = -4
• 5x - 4y = 7

Posso riscrivere il sistema:

A:

• 2 -5
• 5 -4

A x = b

Matricie del sistema = [ A | b ] :

• 2 -5 | -4
• 5 -4 | 7

Riduciamo e scomponiamo [ A | b ] :

• [ 2 -5 | -4 ]
• [ 0
• [ x = 3
• y = 2

x = -1 - t - t = -2 - 2t

y = -1 - t

z = t

α ≠ -2

r(A) = 2   r(A|B) = 3

NO SOLUTION

• se α = 1
• se α = -2
• α ≠ 1 ∧ α ≠ -2

∞ soluzioni (-2 - 2t, -1 - t, t)

non ci sono soluzioni

(x, y, z) = \( frac{-2}{α+2}, \frac{-α}{α+2}, \frac{-2}{α+2} \)

EX 5

x₁ + t x₃ + x₂ x₄ = 02x₁ + tx₂ + 2 + tx₃ = 0-3x₁ - 2x₂ + tx₃ + 2x₄ = 0

SIST. OMOGENEO

A * x° = 0

[_{x y}] = A^-1 [_{5 4}] = [_{1\ 2 2\ 1}] [_{5 4}]

[_{3\ 1 2\ 1}]

2 x 2

2 x 1

Ex 8

Inversa con (inversi x di

A = [_{2\ 0 1\ 2}]

Ex 9

(K + 2)x - 2y = K² + 2k + 1

Annullare l'unica soluzione possibile r(A)=n

Quindi se v₁^→, v₂^→, v₃^→, v₄^→ ∈ R³ possono essere l.i.? NO!

Perché

[^_v1→ v^→₂ v^→₃ v^→₄] [^_t1t2t3t4] = [^₀₀₀]

4 colonne3 righe

r(A) ≤ 3cmax 1 pol con m-r ≥ 1

Non ha solo (0,0,0,0) come sol.

Ex 3

V = R[x] ≤₂

v^→₁ = [ 3x² 4x + k x + 2 ]

v₂^→ = [ x 4 2x + 1 ]

v₃^→ = [ x-1 ]

Determinare k affinché v^→₁, v^→₂, v^→₃ siano lin. dep.

base

β = (1, x, x²)

v^→₁ = [^_2k3]_β

v₂^→ = [^₁₂₁]

v^→₃ = [^_-110]

[_{^{2 1 -1k 2 13 1 0}}] [_^t1t2t3] = [_⁰⁰⁰]

c.l. I. = λ₂! (determinante)

c.l. A = alterna co l₁.

a v̅₁ + b v̅₂ = (-t₂ - t₁ , t₂ , t₁)

r (A) = 2

r (A | b̅) = ?

det ≠ 0

∀ t₂, t₁ --> sistema sempre ri 솔시.

quindi r (A | b̅) = r (A) = 2

?

• f₁, f₂, f₃ l.i. ↔ g(x) (funzione nulla) è tale se:

g(x) = t₁ f₁ + t₂ f₂ + t₃ f₃

sse t₁ = t₂ = t₃ = 0

0 = t₁ cosx + t₂ sinx + t₃ sin2x ∀x

se x = π/2

0 = t₁ cos π/2 + t₂ sin π/2 + t₃ sinπ

t₂ = 0

se x = π/4

0 = t₁ cos π/4 + 0 · sin π/4 + t₃ sin π/2

0 = √2/2 t₁ + t₃

t₃ = 0

se x = π

0 = -t₁ + 0 + t₃ sin 2π

t₁ = 0

Applicazione lineare

f: V → W è lineare se:

• ∀_u̅,v̅ ∈ V, f(_{u̅ + v̅}) = f(_u̅) + f(_v̅)
• ∀t₁ ∈ R, f(t₁ · _u̅) = t₁ · f(_u̅)