Esercitazioni Fisica Matematica

Formule utili

• Formula di Eulero: e^iθ = cos θ + i sen θ

z = x + iy ⇔ e^z = e^x+iy = e^x e^iy = e^x (cos y + i sen y)

• Re (e^z) = e^xcos y
• Im (e^z) = e^xsen y
• |e^z| = e^x
• arg (e^z) = y

Ricordando che: z = r (cos (arg(z)) + i sen (arg(z)))

• Residuo: a_-1 = lim_{z → a} ¹⁄_(m-1)! ⋅ d^m−1⁄dz^m−1 ⋅ [(f(z) ⋅ (z−a)^m)]

Esame 24/05/12

f(z) = ^{1 − cos z}⁄_z³

z³ = 0 ⟺ z̅ = 0

Verifica se la singolarità è eliminabile

lim_z→0 ^{1 − cos z}⁄_z² = lim_z→0 ^{sen z}⁄_3z² = +∞ ⇒ non è eliminabile

Studio la singolarità come polo

lim_z→0 ^{1 − cos z}⁄_z³ (z−0)^m ⇒ se m≥4 otterrei che la limite tende a 0, e ciò non è possibile quindi dev'essere necessariamente m=1, oppure m=2, oppure m=3.

1. m = 1_H

lim_z→0 1−cosz/z² = lim_z→0 1−cosz/z² = lim_z→0 1−cosz/z² = lim_z→0 senmz/z = lim_z→0 cosz/z = 1/2

Poiché ho ottenuto per m = 1 un valore finito, allora la singolarità è un polo di ordine 1

Verifichiamo a questo punto il residuo:

a_-1 = lim_z→0 1/z ∘ 1

Res(z) (z-o)^-1 = lim_z→0 1−cosz/z² = 1/2

Il residuo coincide con il limite del polo

g(z) = z/1−e^z

• 1 − e^z = 0, e^z = 1 ⟺ e^(x+iy) = e^x(cosy + iseny) = 1

e^xcosy = 1

• { e^xcosy = 1 e^xseny = 0

seny = 0 (poiché x è sempre positivo)

• { e^xcos(Kπ) = 1 y = Kπ

e^x = 1 ⟺ com K pari

• y = Kπ ⟺ e ^x = 1

con K pari

• { x = 0 com K pari y = Kπ

z = x + iy = iKπ com K pari

Per comodità chiamiamo z_o = iKπ , quindi verifichiamo se la singolarità è eliminabile:

lim_z→0 1/1−e^z = 1/1 = 1/1 - 0 = ∞ (Indmith, per z = zo , abbiamo dimostrato che e^x = 1)

Possiamo ora all'e­ffettiva trattazione della scomposizione di

Hermite descrivendo i passaggi principali.

1. Scomporre il polinomio al denominatore come prodotto di

fattori lineari e/o quadratici con discriminante associato

minore di 0.

2. Associare a ciascun fattore trovato il fratto corrispondente:
• x - a →    Ax - a
• (x - a)^m →    A  +  B  +  ...  +  A_nx - a      (x - a)²    ...    (x - a)^m
• (x² + ax + b) →    Ax + Bx² + ax + b
• (x² + ax + b)^m →    Ax + B  +  Cx + D  +  ...  +  A_nx + B_n

x² + ax + b      (x² + ax + b)²      (x² + ax + b)^m

3. Determinare le costanti reali da apporre nei fratti

semplici (usualmente impostando un sistema).

* Esame 21/06/12

1. ∫ f(z) =   e² - 1z²(z²+1)

←→   z²(z²+1) = 0  ↔  z² = 0   oppure   z² = -1

 ↔  z = 0   oppure   z = ±i

* Bisogna a questo punto verificare il comportamento della

funzione per ognuna delle singolarità trovate:

LA SINGOLARITÀ È UN POLO DI ORDINE 2, IL RESIDUO COINCIDE CON IL LIMITE DEL POLO

z = 2

lim _{z → 2} ^{sin πz}/_{(z² + 1)(z - 4)} = π ^{π cos πz}/20 = π/20 ⇒ LA SINGOLARITÀ È ELIMINABILE

z = -2

lim _{z → -2} ^{sin πz}/_{(z² + 1)(z − 4)} = lim _{z → -2} ^{π cos πz}/_{2z(z² + 4)+(z² + 1)2z} = π/20 ⇒ LA SINGOLARITÀ È ELIMINABILE

2)

f(z) = ^ez2/_{z² + z + 1}

Δ = 1 − 4 = -3 ⇒ z = ^{-2 + i√3}/2 ⇒ ^{-2 + i√3}/2 = z₁

_{-2 − i√3}/2 = z₂

z = z₂

lim _{z → z2} ^eit/_{z² + z + 1} = ^ez₂/0 = ∞ ⇒ NON È ELIMINABILE

* e^{i -1 + i√3}/2 = e^-i√3/2

lim _{z → z2} ^eit/_{z² + z + 1} (z − z₂) = lim _{z → z2} ^ez2/_{(z − z1)(z − z2)} =

= ^e-i√3/2/_i√3 ⇒

È UN POLO DI ORDINE 2, IL RESIDUO COINCIDE CON IL LIMITE DEL POLO

∞ Non è Eliminabile

Per evitare di applicare L'Hopital poiché z - z₀ è costante, basta prendere l'immagine di un intorno di infinito nel limite.

E' un polo di ordine 1, il residuo coincide con il limite del polo.

3

y" + 2y' - 8y = 0

y'(0) = 6

y(0) = 1

L[y" + 2L[y']] - 8L[y] = L[0]

(s²y(s) - s - 6) + 2 (sy(s) - 2) - 8y(s) = 0

y(s)(s² + 2s - 8) - s - 6 - 2 = 0

y(s) = ^{s + 8}/_{s² + 2s - 8} = ^{-2 ± √36}/₂ = ±4

= ^{s + 8}/_(s-2)(s+4) = ^A/_s-2 + ^B/_s+4 =

y(t) = -cos t + i sen t - ⁹⁄₁₀ e^t + ¹⁴⁄₁₅ e^2t → ERRA [??]

Esame 23/04/13 (1)

O(z) = ^z2⁄_{1 - cos z}

cos z = 1 ↔ ^{eix + e-ix}⁄₂ = 1 ↔ e^i(x+iy) + e^-i(x+iy) = 2

e^{-ix - y} + e^{ix + y} = 2 ↔ i e^-y e^ix + e^ix e^y = 2

e^-y (cos x + i sen x) + e^y (cos(-x) + i sen(-x)) = 2 ↔

Supponiamo che sen(-x) = -sen x e cos(-x) = cos x, quindi:

e^-y (cos x + i sen x) + e^y (cos x - i sen x) = 2 ↔

(e^y cos x + e^y cos x) + i(e^-y sen x - e^y sen x) = 2 ↔

{

• cos x (e^-y + e^y) = 2
• sen x (e^-y - e^y) = 0

}

Verifichiamo la seconda equazione:

• sen x = 0 ↔ x = k₁π
• e^y - e^-y = 0 ↔ 1 - e^2y⁄_e^2y = 0 ↔ y = 0

Questi valori verificano anche la prima eq. col vincolo che k deve essere pari:

z₀ = k_n con k pari ( ⇒ z₀ → 2k_n)

Indotta la singolarità, studiamo il caso particolare per cui k = 0: