Esercitazioni fisica

Fisica Generale - Modulo Fisica I

Ingegneria Meccanica - Edile - Informatica Esercitazione 1

RAPPRESENTAZIONE E COMPOSIZIONE DI VETTORI



Aa1. Il vettore a ha modulo |a| 5, è diretto come la verticale ed è scomposto secondo due

direzioni, una formante un angolo di 30° con l’orizzontale e un’altra formante un angolo di 60° con

la verticale. Le due componenti hanno modulo rispettivamente pari a

(A) 4.33, 2.5 (B) 4.33, 4.33 (C) 2.5, 2.5 (D) 2.5, 4.33 (E) 5, 5 

. Si tracciano le due rette indicate per il punto di

SOLUZIONE 30°

applicazione del vettore e le loro due parallele per il secondo 60°

estremo del vettore costruendo così un parallelogramma di cui a è a

una diagonale. Il parallelogramma della figura, essendo diviso da a

in due triangoli equilateri, ha lati tutti uguali alla diagonale; i

vettori in cui a è scomposto hanno entrambi modulo pari a 5.

Aa2. Il modulo di un vettore diretto secondo la verticale discendente vale |a| = 5. Si somma a con

formante un angolo di 45° con l’orizzontale. Se il vettore risultante

un vettore b a + b ha

componente verticale nulla, il modulo di b vale

(A) 5 (B) 7.07 (C) 9.80 (D) 12.5 b

(E) 68.3 45°



. Scomponendo b lungo gli assi, si ha: |b| cos(45°) |a+b| e

SOLUZIONE a + b a

| a |

  

|b| sin(45°) |a| , da cui si ricava b 7

.

07



sin 45

Due vettori a e b hanno modulo |a| = 5 e |b| = 4; se la loro somma ha modulo |a + b| = 3

Aa3.

l’angolo formato tra a e b è pari a

(A) 143.1° (B) 9.8° (C) 90° (D) 53.1° (E) 36.9°



,

Si tratta di calcolare l’angolo

. supplementare di , che

SOLUZIONE

appartiene al triangolo di cui si conoscono i tre lati: |a|, |b| e |a + b|; b a + b

tale angolo si può ricavare direttamente dalla relazione trigonometrica 

nota come il teorema di Carnot: 



    

2 2 2 a

a b a b 2 a b cos

 

,  ,

Poiché = 180° cos = cos

  

2 2 2  

a b a b 9 25 16

 

      

cos 0

.

8 143

,

1

si ricava 

2 a b 40

È istruttivo risolvere il problema per via algebrica mediante le componenti dei vettori. Allineiamo il

primo vettore lungo l’asse x: a = 5i e poniamo b = b i + b j. Le incognite sono le componenti

x y

cartesiane di b che soddisfano alle relazioni



  

2 

2 2

b b b 16       

x y 2 2

 b (

5 b ) 25 10

b 7

x x x

    

2 

2 2

a b (

5 b ) b 9 

x y

32

   

b 3

.

2

x 10

Sostituendo b nel prodotto scalare si ha:

x 

b 3

.

2

 

       

x

a b cos a b b

cos 0

.

8

x b 4

 

   

1

cos ( 0

.

8

) 143

.

1 1

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 che formano con l’asse

Aa4. Si scompone il vettore a = lungo due direzioni u e v x angoli

a i a j

x y

         

ˆ ˆ

= 30° e = 90°, ovvero . Se a = 3, a = 4, la componente a vale

i u 30 , i v 90 x y u

(A) 0.69 (B) 2.27 (C) 3.46 (D) 4.62 (E) 5

 

. Proponiamo la soluzione del caso generale, con angoli e qualsiasi. Considero il

SOLUZIONE

riferimento ortogonale individuato dai versori i e j e il riferimento non ortogonale individuato da u e

   

v, il vettore a viene espresso nei due riferimenti come ; se indichiamo con

a a u a v a i a j

u v x y

( a a ) ( a , a )

e le componenti a ed a nel sistema di riferimento individuato da i e j, le

u v

u u v v

x y x y  

a u a i a j

u u u       

x y a ( a a ) i ( a a ) j a i a j

equazioni di trasformazione sono:   u v u v x y

a v a i a j x x y y

v v v

x y  

   

a a a a cos a cos

x u v u v

x x

Utilizzando le relazioni trigonometriche, otteniamo che  

   

a a a a sen a sen

y u v u v

y y

Risolvendo questo sistema con la regola di Cramer, si ottengono le componenti a e a del vettore

u v



a cos 

cos a

x x



a sen 

   

 

sen a

y

 a sen a cos a co

s a sen

a y

  

x y y x

  , a

u cos cos  

       

 

y cos cos

cos sen sen cos cos sen sen cos

 

sen sen  

sen sen

     

30

Poiché nel nostro caso e , la soluzione può essere più semplice; infatti

90

a

     

x e a a a sin 30 2 .

27

a 3

.

46

 v y u

u cos 30

Aa5. Tra le seguenti affermazioni sono vere

(A) il coseno di un radiante è minore di cos60°

(B) un angolo in radianti è il rapporto tra lunghezza di un arco di cerchio centrato al vertice

compreso tra le due semirette e la lunghezza della circonferenza di pari raggio

(C) per angoli minori di 5° la differenza tra misura dell’angolo in radianti e seno dell’angolo è al

più di qualche parte su diecimila*

(D) in un angolo giro vi sono 360 radianti

(E) un angolo di 90° corrisponde a 1.57 radianti* y

Aa6. La risultante di uno spostamento di 2 m nella direzione che

forma un angolo di 40° con l’asse x e un successivo spostamento di 4m

4 m nella direzione che forma un angolo di 120° con l'asse x è di ?m 120°

circa (B) 5.0m a 5°38’

(A) 5.2 m a 99° (C) 6.0m a 93° ?°

(D) 4.77 m a 96° (E) 6.1 m a 80° x

2m 40°

Aa7. Un vettore a = 5j è scomposto nella somma di due vettori b, c con b = 3i+4j e c = c i+ c j.

x y

Tra le seguenti affermazioni sono vere (segnare con una crocetta le affermazioni esatte)

3*

(A) la componente c vale

x

(B) la componente c vale +1*

y

(C) la somma dei moduli di b e c è maggiore del modulo di a*

(D) l’angolo formato tra c e b è pari a circa 53°

(E) l’angolo tra a e c è pari a circa 72°* 2

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

Aa8 Il vettore a viene scomposto nei due vettori a ed a della figura. Se |a | 3 a

1 2 1 2

il modulo di a vale circa 45°

a

(A) 2.60 (B) 3.00 (C) 4.10 (D) 4.50 1 a

30°

(E) 5.00 

Aa9. dato il vettore A = 3i + 2j + 4k , determinare il vettore B parallelo ad A di

lunghezza 10.

  

(A) B = 30i 20j 40k 0.60 (B) B = 30i + 20j + 40k

30 20 40

  

(C) B = *

i j k

29 29 29

Aa10 Dimostrare che i vettori dati, se disposti punta-coda, formano un triangolo:

  

a) A = 4i + 1j, B = 2i + 4j e C = 2i 5j;

 

b) A = 2i + 1j, B = 1i + 4j e C = 3i 5j

Aa11. Ci si sposta di 20 m dall'origine di un sistema cartesiano in una direzione che forma un

angolo antiorario di 210° con l'asse x. Le coordinate (x,y) del punto di arrivo sono (in metri)

10)

(A) (17.3, (B) (12.5,15) (C) (1.5,21.5) (D) (17.3,10) (E) (14.1 ,14.1)



Aa12. Due vettori a e b hanno modulo |a| = 5 e |b| = 4; se la loro differenza ha modulo |a b| = 3

l'angolo formato tra a e b è pari a

(A) 143.1 (B) 36.9 (C) 90 (D) 53.1 (E) __________

 lungo l’asse

Aa13. Si scompone il vettore lungo due assi u e v. La componente a u che

a i a j u

x y

forma un angolo di +30° con l’asse delle x vale a = +3; la componente a lungo il secondo asse v,

u v

che forma un angolo di +120° con l’asse delle x, vale a = +4. La componente a vale

v x

(A) 0.60 (B) 3.46 (C) 5 (D) 5.50 (E) 6.08

5j

Aa14. Il vettore a = viene scomposto lungo le due direzioni d e d della

1 2 d

1

figura.

Le componenti lungo d e d hanno modulo pari a circa

1 2 60°

(A) 0.92; 4.61 (B) 4.00; 1.00 (C) 0.88; 4.77 10°

(D) 1.00; 5.00 (E) 2; 4.92 a d

2

PRODOTTO SCALARE E VETTORIALE

5i+6j7k

Ab1. Il prodotto scalare tra a = 5i6j+7k e b = è uguale a

110 |a|

2 2 2

(A) (B) |a||b| (C) (D) |a| (E) |b|

. Il prodotto scalare, uguale alla somma dei prodotti delle componenti omologhe, è

SOLUZIONE

  5       110.

a b 5 6 6 7 7 hanno componenti uguali ed opposte, l’angolo formato dai

In questo caso particolare, in cui a e b

|a| |b|

2 2

vettori è di 180° e quindi a · b = = . Le soluzioni (A) e (C) sono entrambe accettabili

  

L’angolo

Ab2. formato tra due vettori a e b con moduli dati da |a| 4, |b| 3 e prodotto scalare

 

a b 10 vale

(A) 27° 15' (B) 30° (C) 33° 33' (D) 45° (E) 56° 26' 3

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   

     

. |a||b| cos (43)cos 10 cos 0.8333 33° 33'

SOLUZIONE

L’angolo formato dai due vettori

Ab3. a = 8i6j e b = 3i+4j vale, in valore assoluto

(A) 16º 16' (B) 36º 52' (C) 43º 8' (D) 73º 44' (E) 90º

b

a

    y

x

a b 0

. Basta osservare che oppure, in modo equivalente, che , per dedurre

SOLUZIONE a b

y x

che i vettori sono perpendicolari.

  2i,      

Ab4. Dati i tre vettori a 3i, b c = 6j il modulo del vettore d a (b c) (a b) c è pari

a

(A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18 (E) 36

         

. Si ha a (b c) 3i (12k) 36j mentre (a b) c 0 c 0. La risposta corretta

SOLUZIONE

è perciò (E). Questo esercizio dimostra che il prodotto vettoriale non gode della proprietà

associativa. è diretto nel verso dell’asse

Ab5. Il prodotto vettoriale di due vettori a, b appartenenti al piano x,y z

     b

a b

e il suo modulo è 9. Se a = 3i e 5, il valore assoluto della componente

b b i b j x

x y

del vettore b lungo x, vale

(A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 5.2 (E) 8.5



Calcoliamo il prodotto vettoriale a b in forma analitica:

SOLUZIONE

a a 3 0

   

x y   

a b k k 3

b k . Quindi 3 b 9 b 3

y y y

b b b b

x y x y

Tenendo presente la definizione del modulo del vettore b, possiamo ricavare il valore della sua

         

lungo l’asse 2 2 2 2 2 2 2

b b b b b b 5 3 25 9 4

componente b x:

x x y x y

Ab6. L'angolo formato dai due vettori a = 8i+6j e b = 3i+4j vale, in valore assoluto

(A) 16º 16' (B) 36º 52' (C) 43º 8' (D) 73º 44' (E) 90º



Ab7 Dati due vettori a e b, tali per cui |a + b| = 7 e |a b| = 3 il prodotto scalare a b vale

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 10 (E) ______





a, b con a 2 b

Ab8. Dati due vettori formanti tra loro un angolo = 37° con prodotto scalare

 

a b 20, il modulo |a| vale

(A) 7.08 (B) 7.91 (C) 9.36 (D) 10.62 (E) 13.24

 

Ab9. Dimostrare che i vettori A = 2i + 1j, B = 1.5i 3j e C = 3.5i + 2j , disposti punta-coda,

sono i lati di un triangolo rettangolo. 

Ab10. Dati i vettori A = 3i + 5j, B = 7i + b j, determinare b affinché i due vettori risultino

y y

perpendicolari.

(A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 4.2 (E) 8.5

  

Ab11. Dati i vettori A = a i + 1j 1k, B = 1i + 2j b k, determinare a e b affinché i due vettori

x z x z

risultino paralleli.

4 3, 0.5, 3

(A) 3, (B) 4 (C) 2, 0.5 (D) 2 (E) 4, 4

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Ab12. Il prodotto vettoriale ab tra due vettori del piano xy, con a =3i+4j e b=b i+b j vale 25k.

x y

Se b è perpendicolare ad a, le componenti cartesiane di b valgono

4 3, 4, 3

(A) 3, (B) 4 (C) 0, 5 (D) 3 (E) 4,

è diretto nel verso dell’asse

Ab13. Il prodotto vettoriale di due vettori a, b appartenenti al piano x,y

    

a b

z (k) e il suo modulo è 9. Se a = 3i e il modulo di 9 il valore assoluto della

b b i b j

x y

b

componente del vettore b lungo x, vale

x

(A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 5.2 (E) 8.5

Ab14. Il modulo di a vale 6 mentre ab = 18 e |ab| = 24. Tra le seguenti affermazioni è falsa

(A) a e b possono essere assunti nel piano del disegno con a = 6i e b = b i + b j

x y

(B) |b| < |a|

(C) |a + b|> |a|

(D) L’angolo formato tra a e b è acuto

(E) Il vettore b è completamente determinato *

Ab15. Dati i vettori A = 2i + 1j + 1k, B = 1i, determinare il vettore C di modulo 5 che sia

complanare ad A e a B. Il problema ha una soluzione unica? 5

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–

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CINEMATICA DEL MOTO RETTILINEO

Ba1. Il sistema di blocco automatico si è guastato e il macchinista del Pendolino MilanoRoma

lanciato a v = 170 km/h si accorge di un treno merci davanti a lui che sta procedendo sullo stesso

P

binario e nella stessa direzione con v = 100 km/h.

m

Il macchinista aziona immediatamente la frenata di emergenza su tutte le ruote, capace di imprimere

2

una decelerazione pari al 20% dell'accelerazione di gravità: a = 0.2 g = 1.96 m/s (0.2 = coefficiente

di attrito ruotabinario) e prega che tra il suo treno e il merci vi sia una distanza sufficiente a evitare

l'impatto. Si stima che tale distanza minima sia pari a circa

(A) 468 m (B) 372 m (C) 276 m (D) 193 m (E) 96 m

. La distanza minima si trova imponendo che le velocità dei due treni siano uguali al

SOLUZIONE

momento dell’impatto: in tal caso, i treni si toccherebbero senza danni. Il tempo richiesto per

decelerare da v a v è

P m 

v v 70 km/h 70

   

P m

t 9

.

92 s



2

a 1

.

96 3

.

6

1.96 m/s

In tale tempo, il Pendolino percorre con moto uniformemente decelerato 372 m mentre il merci

percorre con moto uniforme 276 m. Perciò la loro distanza iniziale deve essere maggiore di

  per evitare danni.

(

372 276

) m 96 m

Ba2. Un sacco di zavorra viene staccato da una mongolfiera mentre questa sta salendo con una

velocità di 2 m/s. Se il sacco tocca il suolo esattamente 10 s dopo il tempo del distacco essendo

2

accelerato uniformemente verso il basso a 9.8 m/s , l'altezza dal suolo della mongolfiera è di circa

(A) 490 m (B) 470 m (C) 510 m (D) 980 m (E) ________

Ba3. Un treno merci parte dallo scalo accelerando in modo uniforme. Se dopo un chilometro sta

ancora accelerando e la sua velocità è di 36 km/h, la sua accelerazione vale circa

2 2 2 2 2

(A) 0.05 m/s (B) 0.1m/s (C) 0.65m/s (D) 1.0m/s (E) 9.8m/s

Ba4. Con riferimento al problema precedente, si calcoli in quanto tempo il treno merci coprirà il

secondo chilometro se continua ad accelerare?

(A) 300 s (B) 200 s (C) 140 s (D) 83 s (E) 68 s

Ba5. Due treni si muovono uno verso l'altro sullo stesso binario, ciascuno con una velocità di 20

m/s. Quando sono a due chilometri di distanza un macchinista viene avvertito della imminente

2

collisione e comincia a rallentare con una decelerazione di 0.2 m/s . Quanto spazio percorre

all'incirca il treno che decelera dall'avvio delle frenata alla collisione?

(A) 0.333 km (B) 1.25 km (C) 280 m (D) infinito (E) 828 m

Ba6. Una macchina per record di velocità è spinta da un motore a reazione che imprime

un’accelerazione di 10 m/s 2 per i primi 20 s dalla partenza prima di spegnersi, lasciando che il

veicolo proceda poi a velocità costante. La distanza dalla partenza a cui la macchina si trova dopo

mezzo minuto è:

(A) 1 km (B) 2 km (C) 3 km (D) 4 km (E) 6 km

L’accelerazione gravitazionale alla superficie di Marte è di circa 4 m/s 2

Ba7. . Se un astronauta

lanciasse in alto una palla avente una velocità di 10 m/s, per quanti secondi salirebbe?

(A) 0.66 s B) 2.5 s (C) 4 s (D) 1.6 s (E) 5 s 1

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Ingegneria Meccanica Edile - Informatica Esercitazione 2

La posizione di un corpo in moto lungo l’asse è descritto dall’equazione in funzione del

Ba8. x

– 2 2

tempo t (in secondi): x = 3m +(10 m/s)t (4 m/s )t .

Verificare la correttezza delle affermazioni seguenti.

(A) La velocità al tempo t=0 è di 10 m/s.

(B) L’accelerazione è sempre pari a –2 La velocità media nell’intervallo di tempo tra

2

m/s .(C) t = 1s

e t = 2s vale, in modulo, 3 m/s.

(D) Il corpo è fermo quando ha raggiunto il punto di ascissa x = 9.25 m.

(E) La velocità è pari a quella iniziale e con segno opposto dopo un tempo di 10 s.

APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALLACINEMATICA

Ad1. La posizione di un oggetto di massa m aumenta col tempo secondo le relazioni indicate, dove t

è in secondi e x in metri e le costanti hanno unità di misura opportune. Calcolare la velocità

istantanea e l’accelerazione istantanea relativamente ad ogni equazione oraria.

 

5 2

a) x(t) = 32t b) x(t) = 2t+3t c) x(t) = 3t+sent d) x ( t ) 2

t exp( t / 3

)

3 2 2

[Risposte: a) v = 160 m/s; a = 840 t m/s ; b) v = 2+6 t m/s; a = 6 m/s ; c) v = 3+cos t m/s;

ist ist ist ist ist

sen 2

a = t m/s

ist 2

  

v ( 2 t ) exp( t / 3

)

ist 3

d) 2

t 4

  

a ( ) exp( t / 3

)

ist 9 3 1 

 4

2 v ( t ) bt

Ad2. Calcolare la derivata ri