Fisica I - esercitazioni varie

M

v m

v 0

2 1

cioè: m

= −

v v

2 1

M

Lo spazio percorso dall’uomo è: =

x v t

1 1

Lo spazio percorso dalla barca è: v m

= =

2

x x x

2 1 1

v M

1

ma m

+ = + =

x L

x x x

1 2 1 1

M

Quindi: M

= = 3,33 m.

x L +

1 M m

La posizione dell’uomo rispetto alla banchina è:

−

L x = 1,67 m.

1

Soluzione 3:

Dette v la velocità (negativa) dell’uomo (che ha massa m) e V la velocità della barca(di massa M)

rispetto alla banchina, vale: + =

MV mv 0

Ma, detta v la velocità dell’uomo relativa alla barca, è:

r = +

v v V

r

Quindi: ( )

+ = −

m v V MV

r +

m M

= −

v V

r m

Nel tempo t in cui l’uomo percorre L con velocità relativa alla barca v , il centro di massa della barca si

r

sposta di x (distanza finale di A dalla banchina): +

L x M m

=

t t m

Quindi: m

= = 1,67 m.

x L +

M m

Problema 3

Un bambino, in piedi su una slitta A di massa m , avvicina a se’ una seconda slitta B di massa m

A B

tirandola mediante una fune di massa trascurabile fissata alla slitta B. Le due slitte, inizialmente ferme,

µ tra slitte e suolo.

si muovono su un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico d

Qual è l’accelerazione a del centro di massa del sistema formato dalle due slitte?

CM

Se in un riferimento inerziale l’accelerazione a della slitta B è in modulo doppia dell’accelerazione a

B A

della slitta A, quanto vale la forza F che il bambino esercita sulla fune (tensione della fune)?

AB

µ

[m = 50 kg; m = 42 kg; =

0,2]

A B d

Suggerimento: disegnare il diagramma di corpo libero del sistema slitte-bambino

A

B

Soluzione:

a) Equazione del moto del centro di massa:

( )

+ = ( E )

m m a F

A B CM

( ) = +

E

con la forza esterna data dalla risultante degli attriti . Quindi:

F F F

A B

( )

+ = +

m m a F F

A B CM A B

Essendo il problema monodimensionale:

( )

+ = −

m m a F F

A B CM A B

cioè: − −

F F N N µ

= = 2

A B A B

a = 0,17 m/s

( ) ( )

+ + d

CM m m m m

A B A B

da B verso A.

b) Per definizione di centro di massa si può scrivere:

( )

+ = +

m m a m a m a

A B CM A A B B

=

a 2 a

che, nell’ipotesi , comporta:

B A ( ) ( )

+ = −

m m a 2 m m a

A B CM B A A

cioè: +

m m

= 2

A B a

a = 0,5 m/s

− CM

A 2 m m

B A

e: = 2

a 2 a = 0,9 m/s

B A

Note le accelerazioni, lo sono anche le forze: = −

 m a F F

B B BA B

 − = −

î m a F F

A A A AB

ovvero: = +

 F F m a

BA B B B

 = +

î F m a F

AB A A A

che fornisce: =

F F = 123,5 N

AB BA

Problema 4

Un cannone di massa M spara orizzontalmente, dalla sommità di una torre di altezza h, un proiettile di

massa m e velocità v che raggiunge il suolo ad una distanza D dalla base della torre (fig. 1).

0

Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare in termini di D la forza orizzontale e costante che un

F

sistema di ammortizzatori deve esercitare sul cannone affinchè, per il rinculo, esso arretri di un tratto d

prima di fermarsi.

Suggerimento: la quantità di moto si conserva

Soluzione:

h D

Moto del proietto: =

 D v t

 0

 1

= 2

î h gt

2

Risolvendo il sistema, si trova v :

0 g

=

v D

0 2 h

La quantità di moto iniziale di rinculo del cannone, per la conservazione della quantità di moto, è Mv =

mv .

0

L’energia cinetica iniziale del cannone è data dal lavoro compiuto dalla forza costante nel tratto d:

( )

2 2 2

mv m gD

= =

0

Fd 2 M 4 Mh

e la forza è dunque: ( )

2 2 2

mv m gD

= =

0

F 2 Md 4 Mhd

Problema 5

In un incrocio un’automobile A di massa m urta un’automobile B di massa m . I rilievi della polizia

A B

rivelano che, subito prima dell’urto, l’automobile A viaggiava verso est, mentre B era diretta a nord

(figura). Dopo l’urto, i rottami delle due auto sono rimasti uniti ed i loro pneumatici hanno lasciato

α prima di arrestarsi.

strisciate di slittamento lunghe d in direzione

v v

Calcolare le velocità e di ciascuna automobile prima dell’urto.

A B

Una delle automobili superava il limite legale di velocità v ?

L

Si supponga che le ruote di entrambe le automobili siano rimaste bloccate dopo l’urto e che il

µ .

coefficiente di attrito dinamico fra le ruote bloccate e la pavimentazione sia d

α µ

[m = 1100 kg; m = 1300 kg; d = 18,7 m; v = 90 km/h; =

30° da est verso nord; = 0,80]

A B L d

Suggerimento: la conservazione della quantità di moto è una relazione vettoriale

y

v L

α

v A x

v B

Soluzione:

a) L’urto è completamente anelastico, per cui la quantità di moto si conserva, mentre l’energia cinetica

no.

Il modulo v’ della velocità subito dopo l’urto, si calcola dalle strisciate (l’energia cinetica dopo l’urto è

stata dissipata dall’attrito): ( ) ( )

1

µ

+ = + 2

m m g d m m v ’

A B d A B

2

cioè: µ

v ’= 2 g d = 17 m/s

d

D’altra parte, la conservazione della quantità di moto si scrive (per componenti):

( ) α

= +

 m v m m v ’

cos

A A A B

 ( ) α

= +

î m v m m v ’

sen

B B A B

da cui: +

m m α

= A B

v v ’

cos = 32,3 m/s = 116,5 km/h

A m A

diretta verso est, +

m m α

= A B

v v ’

sen = 15,8 m/s = 56,9 km/h

B m B

diretta verso nord.

b) L’auto A superava il limite dei 90 km/h.

Problema 6

Il corpo A mostrato in figura, di massa M e struttura prismatica, appoggiato su un piano orizzontale

A

v

liscio, viene colpito da un corpo puntiforme B di massa M e velocità . Sapendo che dopo l’urto il

B 0

corpo B rimbalza verticalmente raggiungendo l’altezza h rispetto al punto di impatto mentre A trasla sul

piano di appoggio, si determinino la direzione ed il verso del vettore v .

0

Si supponga che l’urto sia elastico.

v

[M = 100 kg; M = 50 g; = 5 m/s; h = 80 cm]

A B 0

Suggerimento: la componente orizzontale della quantità di moto si conserva, quella verticale no

y

v 0

B θ x

A

Soluzione:

In questo problema si conservano la componente orizzontale della quantità di moto e l’energia, per cui,

dette v e v le velocità di A e B subito dopo l’urto, vale:

A B  θ

 =

cos

M v M v

B 0 A A



 1 1 1

= +

2 2 2

 M v M v M v

B 0 B B A A

2 2 2



 1 =

2

M v M gh



î B B B

2

θ

ove è l’angolo di impatto mostrato in figura, mentre la terza equazione vale per il moto di B dopo

l’urto.

Sostituendo la terza equazione nella seconda, si ricava:

θ =

 M v cos M v

 B 0 A A

 1 1

= +

2 2

î M v M gh M v

B 0 B A A

2 2

e quindi: ( ) ( )

− −

2 2

M M v 2 gh M v gh

2

θ = =

B A 0 A 0

cos = 0,863

2

M v M v

B 0 B 0

θ = 30,3°

V - Meccanica rotazionale del corpo rigido

Un corpo rigido può ruotare oltre che traslare. Il moto traslatorio è descritto specificando quello del

centro di massa.

Rotazione intorno ad un asse fisso.

Quando un corpo rigido (idealizzato come un insieme di punti materiali le cui mutue distanze sono

fisse) ruota intorno ad un asse fisso, ogni suo punto è fermo rispetto agli altri. Pertanto le rotazioni

θ θ

: Se un punto ruota di , gli

intorno ad un asse fisso si possono descrivere mediante un solo angolo

altri sono costretti a ruotare dello stesso angolo.

Di conseguenza, tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità angolare:

θ

d

ω= dt

e la stessa accelerazione angolare: ω θ

2

d d

α = = 2

dt dt

ω α

Sia che sono vettori con la direzione dell’asse di rotazione (preso di solito come asse z) ed il

verso dato dalla regola della mano destra.

Si definisce momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione la grandezza:

∑

= 2

I m R

i i

dove R è la distanza dall’asse del punto m .

i i

La definizione può essere estesa ad un corpo continuo:

∫

= 2

I R dm

M

Uno strumento utile per la valutazione del momento d’inerzia è il teorema di Huygens-Steiner (o

dell’asse parallelo). Questo teorema afferma che il momento d’inerzia di un corpo rispetto ad un

asse qualsiasi è dato da: = + 2

I I Md

CM

dove I è il momento d’inerzia rispetto all’asse parallelo a quello dato e passante per il centro di

CM

massa, M la massa del corpo a d la distanza tra i due assi.

Il momento angolare (o momento della quantità di moto) L di un corpo in rotazione attorno

z

all’asse fisso z è dato da: ω

=

L I

z z

Per rotazioni di un corpo rigido simmetrico attorno ad un asse di simmetria, il momento angolare è:

1

ω

=

L I

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse che non è di simmetria, il momento angolare L

ω

può non essere parallelo e concorde rispetto alla velocità angolare nel qual caso il corpo è in una

condizione di squilibrio dinamico e la direzione del momento angolare varia nel tempo (anche se

L

ω

è costante: è questo il caso della precessione di ).

L

a

Il teorema del momento angolare (2 equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti) è,

nella forma più semplice:

d L = ( E )

M

dt

( E )

con momento totale delle forze esterne calcolato rispetto al polo O. Anche è calcolato

M L

rispetto allo stesso polo. Il polo O