Esercitazioni Fisica1

R

possibile trascurare l’esponenziale nella legge oraria x(t).

• Se l’approssimazione del punto precedente è valida, calcolare il tempo totale di volo del para-

cadutista.

(Risp.: ϑ = 4 s; v = 39.24 m/s; t = 130.4 s.)

R cad 3

5 N/au

1

. k 0 Dx 5

= 3

= cu

. ,

? 81m/x

g

mg = ,

! 6m/x

Dxg 1

= , TERRA

RIPOSO LUNA

I

3 ·

& #

#I

In tutti due Forza elastica

forte

La

ambienti

gli :

della che

molla tende riportarla nella

sempre

a

iniziale fanta della

posizione e pesa massa

EF

TERRA 0

= Fel

B KAX

N

. =

F F

+ 0

=

k(X ( 179g

=

mg m

= = =

EF 0

LUNA =

Dx 57

m 0

= = .

2

. ↓ 10 M1

Me

- =

ja Topics ? M 3

The ↓ ↓

Mag Mag

e -D EF

Essendo sistema che

vole

statica

equilibrio Ecorpo

in

il O

, =

Tie I

Mig

1 o

: X 0

:

=

+ = 0

↑ Tra Meg

y : =

bx

TM I

3 : 0

0

X : =

Taz Mag

y : =

Tra T +# Meg

2 o

: +

+ =

pe S Taz-Magseu O-Tracoso

+ X : o

=

N-MagcosO Tizseuo o

y : + =

Sostituendo ottengo

M3g-Magseuo-Migcost = o

(10 cast)

Me

M3 seud +

=

Mag cost Migseut

N +

- o

=

caso-seud)

Mig (10

N =

3

. NB

N

N mi

ma mc m

= = =

D

-

A

D A

-

A -

!

I TAB M zm

=

my = 2

↓

ma mig mag pr

↓ Mag

Le bilanciate

contributa

forte perché

danno

di A B C

peso non sono

, ,

dalla del

vincolare

reazione piana

& ma dei a corpi

ext au

= oguena

I

m misa

> D

- -

TCD Tic D

-

+ = mcan

T ma

ma

+ =

Possiamo che obbiamo

ipotinore stessa

i la accelerazione

corpi

4 .

a a a

= ac

= =

=

Per luga l'osse

il

corpi A moto

C

i mentre

avviene D

B per

X

,

,

lungo l'osse y

I TAB Ma a

= m

a m

TBC-TAB Mia

= +

>D

-

TBc

TCD 9/3

Mca

=

- TCD ma

myg =

-

TAB mg

= ag

TBC =

Tca mg

=

4 kg

0 34

=

mp .

. G2N/m

k =

M kg

75

0

= ,

quando ha

ta

altempo la

1

. massa

avera

alla esercitera

molla

attoccata la

particella

resistente

forta

una

Fm -K/z ed uguale

fasta

e contraria

= una e a

FR

M)g

(mp

Fp 69NFm Fp

10

= =

+

= - -

,

Fm 69N

10

= ,

La

2

. equilibria

di quando

posizione ze non

nuova

La attoccata

più'M

Dalla precedente M

in applicata

è

cui

posizione ora

,

diminuita

e

Fe #m' m Fm

+ mpg

0

= =

M)g

(mp

AFm Mg

=

= mpg +

- - malla

allungamento della -KDz

AF

differenza

la di

e =

1

Az 52

17

ze-0 ze =

= = ,

Mi

3

. la

che infinite

ospetto volte

possi ze

massa mp per

moto armonica

un

con

A ragioni di simmetrio

per

2ze-

· =

to T

te - 1

=

te T

te-to

= =

=

+* w

=

tr 1

0

= ,

to

tr &T passerà

quanto

ogni ze

per

+ mp

=

4

. Scrivo l'equazione moto

del le iniziali

cond

con .

EFmp

mpz(t) =

mpz(t) z0)

k(z(t)

= mpg

- -

-

F'm -k(ze-zo)

riscritta

può

mpg come

= mpg

=

essere :

k(ze zo) z0)

mpz(t) k(z(t)

ottenga =

e - -

- CONTORNO

COND

ze) .

mp(t) k(z(t)

= -

- z(0) 0

=

= (0) 0

=

z(t)

y(t) y(t)

wi z(t)

ze E

= - =

=

mp z(t)

ij(t) =

Eq del moto

. ij(t) y(t)

w-

= -

z(0)

y(0) ze

ze

= =

- -

z(0)

y(0) 0

=

=

Con (ut) (wt)

soluzione Aseu

y(t) B

generica + cas

=

B

y(0) B ze ze

=

=

= - -

y(0) A

Aw 0

0

= =

=

zecos(wt)

y(t) -

= (wt)

legge

La z(t)

to

t Ze(1-cos

e

oraria =

per

.

5 80 kg FASE 2

FASE

1

m = libera

h Porocodute

Coduta operto

5000

= m 78m/i

100 km/2

Va 27 ↳

-

= , #

20Ns/m

k =

F kj

= - ma ma

-coduta

o positive

veg

apertipara il dix

XA verso

per

.

-

5000 terreno

m +

X

Le leggi del paracadutista

orarie sono :

I 2gt2

X(t) X(0) 0

=

=

v(t) v(0)

gt 0

= =

Il paracadute km/h

tempo ta

operto ad 100

cui

in

viene va

un =

w(ta) #

+A

gtx 834

2

p =

= =

= ,

L'uomo X(ta) dol

39 3 sorà

avrà 4961

percorso e a m

m

= , suolo

L'equazione del volta che paracadute

moto il operta

è

una

& ma

ext + i

kv(t) =

ma(t) (t)

mg = a =

- -(w-mg) differenti

mi-i la

mg-kw eq

= =

La risolva delle variabili

separazione

per

=

an

v(t)

↓ Foglio 4

Dinamica & sistemi di riferimento

Esercizio 1 Un blocco A di massa m è sovrapposto ad un blocco B di massa m ; tra i due

A B

blocchi il coe!ciente d’attrito dinamico è µ . Il blocco B è appoggiato ad un piano orizzontale privo

d

di attrito. Il blocco A è collegato, per mezzo di una fune inestensibile e di una carrucola (entrambe

di massa trascurabile) ad un corpo appeso C di massa m (vedi figura).

C

Si determinino le accelerazioni dei tre blocchi A, B e C rispetto ad un sistema di riferimento inerziale

solidale con il piano, assumendo che A stia scivolando rispetto a B (e che quindi siamo in regime

di attrito dinamico tra A e B). Figure 1: Schema esercizio 1.

→

(Risp.: a = a = (m µ m )g/(m + m ); a = µ m g/m .)

A C C d A C A B d A B

Esercizio 2 Il sistema rappresentato in figura è costituito da due carrucole A e B di massa

trascurabile e da tre corpi di masse m , m e m collegati da due funi inestensibili di massa trascur-

1 2 3

abile. L’asse della carrucola A è fissato al so!tto. Nell’ipotesi che gli attriti siano trascurabili e che

il sistema non sia in equilibrio, si determinino

• 1) L’accelerazione di ciascun corpo. Per quali valori di m , m e m il sistema è in equilibrio

1 2 3

statico?

• 2) Le tensioni delle due funi. Figure 2: Schema esercizio 2.

→ →

(Risp.: a = (→m m m m + 4m m )g/(m m + m m + 4m m ); a = (→m m + 3m m

1 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3

4m m )g/(m m +m m +4m m ); a = (→3m m +m m +4m m )g/(m m +m m +4m m ).)

2 3 1 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3

1

Esercizio 3 Si consideri il sistema in figura. Una pallina di massa m è vincolata all’estremità di

una corda che viene fatta ruotare in aria. La corda passa attraverso un tubo parallelo all’asse z.

La lunghezza della corda tra la pallina e il tubo equivale a L, mentre ω è l’angolo tra la corda e il

tubo. All’altra estremità della corda è fissato un blocco di massa M . Si trascurino gli attriti, si

considerino blocco e pallina come oggetti puntiformi e la corda priva di massa. Sia ε

g l’accelerazione

di gravità che agisce sul sistema in direzione dell’asse z negativo. In una configurazione in cui il

blocco M sia in equilibrio, si determinino l’angolo ω e la frequenza f con cui la pallina ruota attorno

al tubo in funzione delle variabili date.

Figure 3: Schema esercizio 3.

!

→1 →1

(Risp.: ω = cos (m/M ); f = (2ϑ) M g/(mL).)

Esercizio 4 Un blocco di legno di massa M = 1 kg e dimensioni trascurabili viene posto in cima

a un piano inclinato di un angolo ω. Sapendo che il coe!ciente di attrito statico tra il blocco di

legno e il piano vale µ = 0.5, determinare l’angolo minimo ω a cui il blocco comincia a scivolare

s min 2

verso il basso per e”etto della forza di gravitá (la cui accelerazione vale g = 9.8 m/s .

Posto ω = ϑ/6, verificare che ω < ω e calcolare il tempo #t impiegato dal blocco di legno per

min

raggiungere la base della rampa, sapendo che questa è alta h = 2 m e che il coe!ciente di attrito

dinamico tra il blocco e la rampa vale µ = 0.3.

d

Quando il blocco di legno raggiunge la base della rampa, un piolo lo ferma. A questo punto, il

piano inclinato viene fatto muovere lungo una superficie orizzontale con una certa accelerazione a,

costante e parallela all’asse y (si faccia riferimento alla figura). Determinare l’intensitá minima a

che deve avere l’accelerazione della rampa a!nché il blocco possa raggiungerne di nuovo la cima

senza decelerare entro un tempo #t = 1 s. In questa condizione, calcolare l’intensità N della forza

vincolare che la rampa esercita sul blocco di legno.

Dopo #t = 1 s la rampa smette di accelerare e continua a muoversi con una velocità costante.

Considerare il caso in cui l’accelerazione è minore di a (cioè, al tempo #t il blocco non ha ancora

raggiunto la cima del piano) e descrivere qualtitativamente il moto del blocco di legno: in quali

condizioni riesce comunque a raggiungere la cima? Impostare (senza risolverlo) il sistema che

permette di trovare la soluzione a questo problema, identificando le n equazioni a disposizione e le

n incongite. 2

Figure 4: Schema esercizio 4.

2

(Risp.: ω = 0.46 rad; #t = 1.84 s; a = 21.57 m/s . Si noti che tale accelerazione è su!ciente a

min 2

vincere l’attrito statico del blocco, per cui basta avere 14.8m/s < a; N = 19.27 N.)

Esercizio 5 Una massa M = 200 g è collegata tramite una fune ideale ad una seconda massa

1

M = 150 g, che si trova a riposo su un piano orizzontale liscio. M è fissata al pavimento da una

2 1

molla che inizialmente ha una compressione #x = 19.6 cm. Successivamente, la massa M viene

1 2

messa in movimento e ruota con R = 25 cm e ϖ = 0.5 giri/s. Determinare la nuova compressione

#x della molla.

1

Con della sabbia, si rende il piano scabro e si osserva che la massa M si arresta dopo aver percorso

2

una spirale, e che, dopo l’arresto, la molla è compres