Eq. di 1° grado:
ax=b
- se a≠0 → ∃!x = b/a
- se a=0 → 0:
- se b=0 → 0x=0 ∀x (indeterminata)
- se b≠0 → 0x=b impossibile ∄x ∈ ℝ
- y = mx+q (retta)
- se m=0: retta//asse x
le rette parallele all'asse y non sono funzioni (infatti nonsono descritte da y=mx+q)
Equazioni di 2° grado:
ax²+bx+c=0
se a≠0 moltiplico per 4a entrambi i membri:
- 4a²x²+4abx+4ac = 0 → 4a²x²+4abx = -4ac
Completo il quadrato al 1° membro:
- (2ax+b)²-b²-4ac
- sempre ≥0
se Δ>0 i 2a×b ± √b²-4ac=0 → x1,2 = -b±√b²-4ac/2a, a≠0
se Δ=0: 2a×b±√0=0 → x= -b/2a (2 volte)
Eq. di 1° grado: ax = b
se a ≠ 0 → 0x = b = b/a
- se a = 0 → 0
- se b = 0 → 0x = 0 ∀x (indeterminata)
- se b ≠ 0 → 0x = b impossibile ∄x ∈ ℝ
y = mx+q (retta)
se m = 0: retta // asse x
le rette parallele all'asse y non sono funzioni (infatti non sono descritte da y = mx + q)
Equazioni di 2° grado: ax2+bx+c = 0
se a ≠ 0 moltiplico per 4a entrambi i membri:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 → (4a2x2 + 4abx = 4ac)
Completo il quadrato al 1° membro:
(2ax + b)2 - b2 - 4ac = Δ
sempre ≥ 0
se Δ > 0, il 2ax±b = ± √b2 - 4ac → x1,2 = -b ± √b2 - 4ac/2a, a ≠ 0
se Δ = 0: 2ax ± b ± √0 = 0 → x = -b/2a (2 volte)
se Δ < 0: ( )2 (<0) ∉ soluzioni
Parabola: y = ax2 + bx + c
- a > 0 a < 0
- concavità verso l'alto concavità verso il basso
- Δ > 0: x1, x2 =
- Δ = 0: x1 = x2 (tangente)
- Δ < 0: la parabola non tocca l'asse x
ax2 + bx + c ≥ 0
y = ax2 + bx + c ≥ 0 (valori positivi della parabola)
- Δ > 0, Δ < 0: x < x1 V x > x2
- Δ > 0, Δ = 0: ∀x (tangente all'asse x)
- Δ > 0, Δ < 0: ∀x (sopra l'asse x)
Se a diminuisce la parabola si allarga (a = 0 -> retta) fino a cambiare direzione.
Se a aumenta la parabola si stringe.
y = x2 - x = f(x) A ≡ (0,0) B(1,0)
xv = -b/2a = 1/2, yv = -(1/2)2 - 1/2 = -1/4 ∆ V (1/2, -1/4)
sostituisco in f(x)
f(x-1) = (x-1)2(x-1)
Indica una traslazione verso destra (solo l'asse x):
A'(1,0) B'(2,0) V(\(\frac{3}{2}\), \(-\frac{1}{4}\))
f(x+2) = (x+2)2(x+2) = traslazione verso sinistra (solo la x):
A'(-2,0) B'(-1,0) V(\(-\frac{3}{2}\), \(-\frac{1}{4}\))
f(x)+5 = y = traslazione verso l'alto (solo la y):
A(0,5) B(1,5) V(\(\frac{1}{2}\), \(\frac{9}{4}\))
f(x)-2 = y = traslazione verso il basso (solo la y)
Non importa l'ordine con cui applico le traslazioni
y = (x-1) log(x-1) + 2 → y = x log x con le traslazioni
y = xn con n∈IN
- n pari: forma simile alla parabola
- n dispari: n=1: retta
- n≥3: forma simile alla cubica
y = \(^n\sqrt{x}\) se n è pari:
x ≥ 0
y ≥ 0
I quadrante
Esercizi
(x-2)(x+1)
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