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Eq di 1° grado:
ax = b
- se a ≠ 0 ➔ x = b/a
- se a = 0 = c
- se b = 0 ➔ 0x = 0 ➔ ∀x (indeterminata)
- se b ≠ 0 ➔ 0x = b impossibile ∄x ER
y = mx + q (retta)
se m = 0: retta //asse x
Le rette parallele all'asse y non sono funzioni. (Difatti non sono descritte da y = mx + q)
Equazioni di 2° grado:
ax² + bx + c = 0
se a ≠ 0 moltiplico per una entrambi i membri:
4a²x² + 2a2x + 4ac = 0 ➔ 0 (a²x² + 2abx = ac)
Completo il quadrato a 1° membro:
4a²x²+ (a/bx + b)² = b² - 4ac
(2ax + b)² = b² - 4ac = Δ
sempre ≥ 0
se Δ ≥ 0, i 2ax + b = ±√b²-4ac ➔ x1,2 = b±√b²-4ac / 2a ≠ 2a/a
se Δ = 0: 2ax+b =√0 = 0 ➔ x = -b/b (2 volte)
1
se Δ<0: ( )2<0 7 soluzioni
Parabola: y = ax2 + bx + c
a >= 0 a < 0
- concavità verso l'alto - concavità verso il basso
- Δ >= 0: x1, x2
- Δ = 0: x1 = x2 (tangente)
- Δ < 0: la parabola non tocca l'asse x
ax2 + bx + c > 0
y = ax2 + bx + c > 0 (valori positivi della parabola)
- a > 0, Δ > 0: x < x1 V x > x2
- a > 0, Δ = 0: ∀x (tangente all'asse x)
- a > 0, Δ < 0: ∀x (sopra l'asse x)
Se a diminuisce la parabola si allarga (a = 0 = retta) fino a cambiare direzione.
Se a aumenta la parabola si stringe
y = x2; x = f(x) A = (0,0) B(4,0)
xv = -b/2a = 1/2 yv = (-1/2)2-1/2 = -1/4
V(1/2, -1/4)
Esercizi
f: ℝ→ℝ x→f(x)-y
domf = {x accettabili}
es. y=√x dom f = {x>0}
f(x) = √[x2-1 - |x2-5| - 3]
|x2-1 - |x2-5| - 3 ≥ 0
I) x2-1>0 >-> x ≠ -1
I) x2-5>0 -> x ≤ √5 V x ≥ √5
Unione: x ≤ 3√2 V x ≥ 3√2
(-∞,3√2]
(2° negativo)
(-1<x<1)
Funzioni trigonometriche:
f(x) = cosx
periodica di periodo 2π
f(x) = sinx
periodo: 2π
f(x) = tanx = tgx = sinx/cosx
periodo: π
- tgx = 0
- tg π/4 = 1
- tg π/6 = √3/3
- tg π/3 = √3
sin(a±b) = sina cosb ± cosa sinb
cos(a±b) = cosa cosb ∓ sina sinb
sin 2x = 2 sinx cosx
cos 2x = cos²x - sin²x
cos²x + sin²x = 1 = 0 cos 2x = 2 cos²x - 1 = 1 - 2sin²x
Esercizio: cosx + sinx ≤ 0 x ∈ [0, 2π)
sin x ≤ -cos x
cosx > 0 ➔ tgx ≤ -1
cosx < 0 ➔ tgx ≥ 1
- x = π/2 ➔ +∞ -∞ MA!
- x = 0 - 2π - 120 SÌ!
a) f(x) = log (1 - log (-x))
domf =
- 1 - log (-x) > 0
- -x > 0
{
- log (-x) < 1 → x > -e
- x < 0
domf = x ∈ (-e, 0)
b) f(x) = log (x - x3)
domf = x - x3 > 0 → x (x2 - 1) < 0 → x (x + 1) (x - 1) < 0
- F1 - -1 0 1 >
- F2 + + + -
- F3 - + + +
- F1 . F2 . F3 - + -
→ domf = (-∞, -1) ∪ (0, 1)
Noto il grafico di f(x) → ⊝F(x) ?:
1) y = x + 1
f è capovolta rispetto all'asse y
2) y = √x
f(-x) = √-x
- F non è iniettiva. Le funzioni pari non sono mai iniettive.
f(-x)=f(x) ∀x∈dom f
- devo restringere il dominio: (-∞,-1], [1,+∞), [-1,0), [0,1]
im f=[0;1;+∞)→≠ℝ→
- Considero x∈(1,+∞), y∈(0,+∞).
y=√x -1 ↓∞ è invertibile
1+y=√x → 0→x=(y+1)2→f-1(x)=(x+1)2
dom f2=[0,+∞)im f2 = [1,+∞)
Im f⊆Im(valore assoluto)=[-0;+∞)
- f(x)=√(|x|+2x|x-2) dom f=ℝ im f ⊆Im v°=[0,+∞)
f(x)={x≥0 ∧ x≥2→f=√x+2x-x=↓ 2x
{x≥0 ∧ x 1
→ ○ dom f: (1, +∞) (B)
Posso anche dedurre la soluzione provando con dei valori adatti.
Quiz 2:
A = {−2ⁿ n+2 con n ∈ ℕ} ∪ {−5}
n 〇 1 2 3 x 〇 −2⁄3 −1 −6⁄5
min=−5 (E)
max=○ sup
−2ⁿ = −2 n n+2 + −2 ⁿ+2 −2 n⁄n+2 −2 ⁄n+2
〇 corrisponde a −2 + qualcosa positivo → sono tutti più grandi di −2 ° il min=−5 perchè −5 < −2.
3)
f(x) = -1/x
g(x) = ex
h(x) = gof = e-1/x
dom h = ℝ-{0}
Im h ⊆ Im g: (ℝ) = (0, +∞)
Né pari né dispari.
h-1 ({3}) = contromagico di 3: (grafico/algebricamente)
e-1/x = 3 -> log 3 = -1/x -> x = -1/log 3
○ h-1 ({3}) = -1/log 3
h-1 (-2) non ha senso perché Imf ⊆ (0, +∞)
y = x2 = f(fx)
f-1([-1, 4)) = [-2, 2)∪(2, 1]
f-1([-3, -3]) = ∅
f-1([-2, 1] = [-1, 1] ∩ si considera solo la parte positiva
h(x) = e-1/x
-1/x non è str. crescente (limx->0+(limx->0-f(x) = +∞)(-∞))
∀ A > 0, ∃ δ > 0: 1⁄x > A se x ∈ (δ, δ) con x ≠ 0
1⁄x > A se x < 0 —> non è verificata
se x > 0 —> x > 0 —> x < 1⁄A —> x ∈ (0, 1⁄A)
è sbagliato dire che il limite tende a ∞ (ma anche per -∞)
lim 1⁄x = ∞ (però il limite se esiste è unico —> questa scrittura è da evitare)
Si definisce quindi I(x0) = (x0, x0 + δ) e Ix0:(0, δ, x0 , δ)
lim 1⁄x = ±∞ o ∀ A > 0, ∃ δ > 0: (x) ≥ A per x ∈ (0, δ)
5) f(x) = arcsin (√x + 1 − √x − 1)
dom f = [5⁄4, ∞) Im f ⊆ [0, π⁄2]
è monotona decrescente —> è iniettiva —> è invertibile
(√x + 1 − √x − 1) = (√x + 1 − √x − 1⁄√x + 1 + √x − 1) =
= √x + 1 − √x − 1⁄2 ≥ 0 perché rispetto di quantità positive
f1, f2 strett. monotone crescenti con f1 ≤ 0 e f2 ≥ 0 SIIC
∀ √x1 + √x − 1 ∈ SIIC
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