Esercitazioni esame Analisi 1

R R

\ {0} !

f : 2

x

. (1)

f (x) = .

x

1 e

3

(i) Mostrare che si estende per continuità in e che la funzione estesa è derivabile in

f 0, 0.

R

. x

(ii) Studiare la funzione Per quanto riguarda i limiti a limitarsi a dire

±1,

F (x) = f (t) dt.

0

se esistono finiti oppure no. Lo studio della convessità è un po’ laborioso, ma comunque

fattibile; non è necessario calcolare il valore esplicito dei punti di flesso.

Esercizio 10

Date le seguenti serie di potenze, determinarne l’intervallo di convergenza. Calcolare poi esplici-

tamente il valore della somma nei casi indicati.

✓ ◆ 

1

X 2n+3

x 1 1

.

(a) . Calcolare e non esiste

f (x) = f f (2). ;

1 1 1

4 2 24

n=0 ✓ ◆ 

1

X 1 16

. n 4n 1

(b) . Calcolare e non esiste

f (x) = 2 x f f (0). ;

2 2 2

2 7

n=0 ⇣ ⌘ ⇣ ⌘

1

X e e

. n 3n 2

(c) . Calcolare e .

f (x) = e x f (0), f f

3 3 3 3

3 5

n=3  10

e

non esiste;

0; 4 3 4

5 (5 e )

!

r

✓ ◆  p

1

X 2n 1 3n

3 x 1 2 e 1

3

.

(d) . Calcolare e .

3

f (x) = f f log 2 ;

4 4 4

4n! 3 9 12 3

n=0 4

0.6 3.0

0.4 2.5

0.2 2.0

-4 -2 1.5

2 4

-0.2 1.0

0.5

-0.4

-0.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(a) (b)

6

4

2 1 2 3 4 5 6

-2

-4 (c)

Figura 1: Grafici per l’esercizio 8

5

4

3

2

1

-4 -2 2

Figura 2: Grafico per l’esercizio 9

5

Università di Trento

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica - 2019/2020

Analisi Matematica 1 - docenti Marco Bonacini, Gian Paolo Leonardi

Foglio di esercizi n. 1 del 16/09/2019

Logica, estremo superiore ed inferiore, funzioni

Esercizio 1

Sia y) il predicato definito da y) “la rivista scientifica y si trova nella biblioteca del diparti-

=

P(x, P(x,

mento x dell’Università di Trento”. Interpretate (usando l’italiano corrente) i seguenti enunciati:

1. : y);

9y 8x, P(x,

2. : y);

8x, 9y P(x,

3. : y).

9y P(Matematica,

Dire se i primi due enunciati sono equivalenti.

Soluzione

Leggiamo prima gli enunciati così come sono scritti, e in un secondo passaggio ne interpretiamo il

significato riscrivendoli in italiano corrente:

1. “Esiste una rivista scientifica y tale che, per ogni dipartimento x dell’Università di Trento, la rivista

y si trova nella biblioteca del dipartimento x”; cioè, equivalentemente: “Esiste una rivista scientifica

che si trova nella biblioteca di ogni dipartimento dell’Università di Trento”.

2. “Per ogni dipartimento x dell’Università di Trento, esiste una rivista scientifica y tale che y si trova

nella biblioteca del dipartimento x”; cioè, equivalentemente: “Nella biblioteca di ogni dipartimento

dell’Università di Trento si trova almeno una rivista scientifica”.

3. “Esiste una rivista scientifica y tale che y si trova nella biblioteca del dipartimento di Matematica

dell’Università di Trento”; cioè, equivalentemente: “Nella biblioteca del dipartimento di Matema-

tica dell”Università di Trento si trova almeno una rivista scientifica”.

Dall’interpretazione è evidente che i primi due enunciati non dicono la stessa cosa: nel primo caso la

stessa rivista si trova nella biblioteca di ogni dipartimento; nel secondo caso, la biblioteca di ogni diparti-

mento contiene almeno una rivista (che può essere diversa da dipartimento a dipartimento). La differenza

sta nell’ordine con cui si scrivono i quantificatori 8, 9:

1. “9y : significa che “esiste un elemento y, lo stesso per tutti gli x”

8x . . .”

2. “8x, : significa che “per ogni x esiste y (che dipende da x)”

9y . . .”

Esercizio 2

Scrivere (in forma affermativa) la negazione delle seguenti proposizioni:

1. “ogni numero reale è positivo”;

=

P

2. “esiste almeno uno studente che non ha superato Analisi Matematica 1”;

=

Q 1

3. (difficile) “ogni squadra di calcio di serie A possiede un giocatore che ha segnato almeno un

=

R

gol in ciascuna delle prime 3 partite di campionato”.

Soluzione

Per costruire la negazione, possiamo prima scrivere la proposizione in linguaggio matematico usando i

quantificatori, e poi applicare le regole generali viste a lezione. Nei casi più semplici non è necessario e

l’applicazione della regola dovrebbe essere quasi “automatica”.

1. Anche se la proposizione è molto semplice, vediamo come applicare il procedimento generale nei

diversi passi (che ci saranno utili per proposizioni più complesse):

usando i quantificatori, la proposizione diventa: “8x x è positivo”

R,

• 2

=

P

applico la regola generale vista a lezione (vedi le slides del corso):

• non non x è positivo) : x non è positivo

R, R

() 2 () 9x 2

(8x

P

ritorno alla formulazione in italiano:

• non “esiste un numero reale che non è positivo”

=

P

non

2. “ogni studente ha superato Analisi Matematica 1”;

=

Q

3. Questa proposizione presenta l’utilizzo di diversi quantificatori “innestati”; se non si è sicuri,

conviene procedere passo-passo applicando la regola generale (facendo “avanzare” la negazione

sempre più all’interno): definendo gli insiemi

S := di calcio di serie A}, G := P := tre partite di campionato},

{squadre {gol}, {prime

si può scrivere la proposizione come

“8s S s : P G : giocatore ha segnato g”

2 9giocatore 2 8p 2 9g 2

=

R

A questo punto, per scrivere la negazione basta applicare ripetutamente la regola generale:

non non

“9s S : s : P G : giocatore ha segnato g ”

2 9giocatore 2 8p 2 9g 2

=

R non

“9s S : s P G : giocatore ha segnato g ”

2 8giocatore 2 8p 2 9g 2

= non

“9s S : s P : G : giocatore ha segnato g ”

2 8giocatore 2 9p 2 9g 2

= non

“9s S : s P : G giocatore ha segnato g ”

2 8giocatore 2 9p 2 8g 2

= “9s S : s P : G giocatore non ha segnato g”.

2 8giocatore 2 9p 2 8g 2

=

Recuperiamo il significato riscrivendo quanto ottenuto in italiano corrente:

non “esiste una squadra di calcio di serie A tale che ogni suo giocatore non ha segnato alcun

=

R

gol in almeno una delle prime 3 partite di campionato”.

Esercizio 3

Sia A R.

⇢

1. Dire se le seguenti proposizioni sono sempre vere (cioè qualunque sia l’insieme A):

(a) : A, x y;

R

9y 2 8x 2 

(b) A, A : x y;

8x 2 9y 2 < 2

(c) z : A, y x z.

R

9y, 2 8x 2 < <

2. Scrivere la negazione delle proposizioni precedenti.

Soluzione

1. La proposizione in (a) afferma l’esistenza di un numero reale y più grande di qualsiasi numero

maggiorante

x A. In altri termini, y è un per A. D’altra parte non tutti i sottoinsiemi A di R

2

ammettono maggioranti, come ad esempio A Quindi la proposizione non può essere valida

R.

=

per ogni A infatti A è uno dei possibili controesempi alla proposizione stessa.

R, R

⇢ =

La proposizione in (b) afferma che preso un generico x A esiste y A (dipendente da x) tale che

2 2

x y. Di conseguenza, non può esistere max A. Ma allora un controesempio alla proposizione è, ad

<

esempio, A (l’insieme che ha 7 come unico elemento). Quindi la proposizione è in generale

{7}

=

falsa.

La proposizione in (c) significa che A è un insieme limitato (sia superiormente che inferiormente).

Di nuovo, A è un controesempio, quindi la proposizione è in generale falsa.

R

=

2. La negazione di (a) equivale a: y x A : x y, ovvero in simboli sup A

R

8 2 9 2 > = +•.

La negazione di (b) equivale a: x A : y A, x y, ovvero esiste max A.

9 2 8 2 o

La negazione di (c) equivale a: y, z x A : x z x y.

R

8 2 9 2 

Esercizio 4 •,

Siano dati gli insiemi A 2, 5), B 1) C 1, 2}.

[ {

= [ = ( (2, +•), =

1. Rappresentare graficamente gli insiemi A, B, C sulla retta reale.

2. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false (scritture scorrette sono da

considerarsi affermazioni false):

1 B; 1} C; A C; 4 A; 2, 5) A; C B; C A

R ?.

2 { ⇢ \C ⇢ ⇢ ⇢ \ \ 6

= ( =

Soluzione A

2 R

5

B

1 2 R

C

1 2 R

1 B è falsa;

2

1} C è vera;

{ ⇢ 3

A C è vera;

\C =

4 A è falsa in quanto scorretta, sono invece corrette sia 4 A che A;

⇢ 2 {4} ⇢

2, 5) A è vera;

⇢

(

C B è vera;

R

⇢ \

C A è falsa.

?

\ 6 =

Esercizio 5

Dire se i seguenti insiemi sono limitati o illimitati (superiormente e/o inferiormente). Determinarne

estremo superiore ed estremo inferiore; in ogni caso stabilire se l’estremo superiore è un massimo e se

l’estremo inferiore è un minimo.

2

1. A := : 2 x 4};

R

{x 2  < 1

2. B := : 0 x 2} : x 3 per n

R R N

{x 2  [ {x 2 2 \ {0}};

< = n

2

4x+x

3. C := : x};

R

{x 2 x 1

2

x 5x+6

4. D := : 0};

R

{x 2 >

2

x

2

x +5x 1 x}.

5. E := :

R 

{x 2 x 1

Soluzione p p

1. A 2, 2] 2, 2), limitato (sia superiormente che inferiormente), inf A 2 (non è un

[

= ( [ =

minimo), sup A 2 (non è un massimo).

=

2. B è limitato (sia superiormente che inferiormente); inf B 0, sup B 3; l’estremo inferiore non è

= =

un minimo perché 0 B, l’estremo superiore non è un massimo perché 3 B.

2 2

/ /

3. Per capire come è fatto l’insieme, dobbiamo risolvere la disequazione:

2

4x x 5x

+ x 0 x 0 oppure x 1.

, ,  >

x 1 x 1

•,

Quindi C 0] L’insieme non è limitato (né superiormente, né inferiormente), e

[

= ( (1, +•).

•,

dunque infC supC

= = +•. •,

4. Procedendo come per C si trova D 0) 2) L’insieme non è limitato (né

[ [

= ( (0, (3, +•).

•,

superiormente, né inferiormente), e dunque inf D sup D

= = +•.

12

•,

5. Risolvendo la disequazione si trova E 1][[ 1). L’insieme