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ESERCITAZIONE n. 1
A⊆R f:A→IR
f si dice superiormente limitata se ∃M: f(x)≤M ∀x∈A
f si dice inferiormente limitata ∃m: f(x)≥m ∀x∈A
f è limitata se lo è sia superiormente che inferiormente
Disegnare i grafici delle seguenti funzioni:
- (sgn x), 2|x|
- [sinx]
- M(arc tan x)
cosh|x-i| = {
- cosh (x-i) x>1
- cosh (i-x) x inf An = lim AN
(Bn) ɛ v => sup BN = lim Bn
inf an ≤ lim inf an ≤ lim sup an ≤ sup an
∀ (an), ɛ (an), n |an| → lim inf ɛ an
∃ (an) c (an) |an| → lim sup an ɛ an
an = n3/n
bn = (n + 1)/n sin mπ/10
dn = √n2+1 - n
cn = (f2)1/n
c0 = 0, c1 = 1, c2 = 2, c3 = 1/3, c4 = 4, c5 = 1/5
c2k = 2k
k → ∞
c2k+1 → +∞
c2k+1 → 0
An = sup ɛ n (−t)n n ≥ N ɛ = +∞ allora lim inf cn
Bn = inf ɛ n (−t)n n ≥ N ɛ = 0
ε lim inf = +∞
cn
ε lim sup = 0
ESERCIZIO
Stabilire se la funzione M(x+1/x) sia uniformemente continua su [1/2,+∞) e/o su [-1/2,+1/2]
f'(x)=1/x2 x ∈ [-1/2,+1/2] f' è uniformemente continua
⇒ f è continua su [-1/2,+1/2] perché restringe di f'
Su [-1/2,+1/2] M(x+1/x)[-1/2,+1/2]
NON è uniformemente continua perché non è continua
ESERCIZIO
Stabilire se f(x)=x sin x è uniformemente continua su ℝ
-x ≤ f(x) ≤ x se x ≥ 0
x ≤ f(x) ≤ -x se x < 0
f è uniformemente continua
∀ ε>0 ∃δ>0 ∀ x,y ∈ ℝ tali che |x-y|0 ∃δ>0 ∃ xε yε tali che |xε - yε|< δ ⇒ |f(xε) - f(yε)|> ε
Per ogni δ>0 scegliamo xε = 2kε Π (con kε da capo)
yε = 2kε Π + δ
|f(xε) - f(yε)| = |0 - (2kε Π + δ)sin(δ)|
Ma dato lo stimolo fissato, quando questa disuguaglianza è soddisfatta non esiste kε e δ abbastanza grande
kε > (ε/sin δ - δ) + Π/2Π
Studio di funzione
f(x) = 1/x √(x⁴ - 5x² + 6)
- dominio
X ≠ 0
x⁴ - 5x² + 6 > 0
5 ± √25 - 24 / 2
3 2 1
X2 ≥ 3 X2 ≤ 2 X2 ≤ 2 -√2 ≤ X ≤ √2 X2 ≥ 3 X ≥ √3 ∧ X ≤ -√3dom: {x∈ℝ | x ≠ 0 ∧ -√2 < x < √2 ∧ x ≥ √3 ∧ x ≤ -√3}
- parità
f(-x) = -1/x √(-(x)⁴ - (x)²5 + 6) = -1/x √x⁴ - 5x² + 6 è una
funzione dispari
- A. asse x
x = ± √3 ∧ x = ± √2
A. asse y
- segno della funzione
1/x > 0 x > 0
√(x⁴ - 5x² + 6) > 0 ∀ x
- limiti
lim x→0⁺ 1/x √(x⁴ - 5x² + 6) = +∞
lim x→∞ 1/x √[x² √{(5/x²) + (6/x⁴)}] = +∞
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