Esercitazione 6 Principi di Ingegneria Chimica e di processo

Il volumetto di controllo risulterà essere un elementino di volume compreso tra e e come

altezza ha l’altezza L del cilindro.

L’equazione di bilancio sarà: − + Δ = 0 ( 6.1.1 )

| |+Δ

: superficie su cui insiste il flusso

Δ: volumetto in cui la potenza p viene generata

Il bilancio è stato scritto in condizioni di stazionarietà e non ci sono scambi di energia che non siano

conduttivi, infatti abbiamo degli scambi che stanno avvenendo all’interno di un solido.

Esplicitando i vari termini:

− 2 + 2 + 2Δ = 0 ( 6.1.2 )

| |+Δ

2Δ: quantità di energia che viene generata all’interno del nostro volume di controllo.

2 Δ Δ → 0:

A questo punto semplifichiamo (costante), dividiamo per e facciamo il limite

( 6.1.3 )

[ ] = −

Se riteniamo costante la conducibilità termica possiamo portarla fuori dal differenziale e riscrivere la

precedente relazione come: ( 6.1.4 )

[ ] = −

La conducibilità termica rigorosamente parlando dipende dalla temperatura, la portiamo fuori nel mo-

mento in cui non c’è una grossa variazione di questa proprietà di trasporto o se andiamo a considerare

un opportuno valore medio della stessa.

Questa equazione differenziale andrà accoppiata alle opportune condizioni ai limiti:

Per questioni di simmetria ad r=0 deve essere presente un punto di massimo o

di minimo, quindi la derivata prima della temperatura deve annullarsi. Laddove

=0 ; =0

si ha la produzione di energia si ha un punto di massimo

A r=R la temperatura sarà quella incognita, cioè la temperatura che si può avere

= ; =

sulla superficie del condotto, è la nostra incognita. Questa è la temperatura che

dobbiamo ricavare per scongiurare che sull’asse della barra si manifesti la

fusione del nocciolo nucleare.

Integrando l’equazione otteniamo: 2

( 6.1.5 )

=− +

1

2

:

Dividiamo per

1

=− + ( 6.1.6 )

2

= 0 → ∞,

Invece di applicare la prima condizione al contorno avremo anche potuto dire che per

il che non ha senso dal punto di vista fisico, pertanto l’unico modo per cui ciò non accada è che sia

1

nullo.

Qualsiasi strada avessimo preso saremmo arrivati alla conclusione che:

= 0

1 ( 6.1.7 )

Da cui: ( 6.1.8 )

=−

2

Integrando nuovamente: 2

=− + ( 6.1.9 )

2

4

Applicando la seconda delle condizioni ai limiti troviamo:

2

= − + ( 6.1.10 )

2

4

Da cui: 2

= + ( 6.1.11 )

2 4

Il profilo di temperatura risulterà essere dato da:

Profilo di Temperatura all’interno 2 2

= + [ − ]

della barra cilindrica in cui ( 6.1.12 )

4

avviene la reazione nucleare

è la temperatura che c’è sulla superficie della barra, ci da dicendo semplicemente che ci ritroveremo

con un profilo di temperatura che avrà un profilo parabolico e che in generale può essere schematizzato

come:

Figura 6.1.2. Schematizzazione del profilo di temperatura lungo la direzione radiale

La temperatura superficiale sarà quella massima nelle condizioni in cui imponiamo le condizioni di fu-

sione sull’asse della nostra barra.

Imponendo le condizioni di fusione: In condizioni di fusione abbiamo che sull’asse del condotto

la temperatura sarà pari alla temperatura di fusione, di con-

= 0 ; = → = ; =

, seguenza sulla superficie della nostra barra avremo la tem-

peratura massima possibile.

Sostituendo tale condizione all’interno del profilo di temperatura si ha che:

2

= + ( 6.1.13 )

, 4 = = 0.

Scompare la variabile r in quanto ci stiamo sull’asse, infatti si ha proprio per

Possiamo ricavare dalla precedente espressione che:

2

= − = 1620 = 1347 ° ( 6.1.14 )

, 4

Questo significa che se con un efficiente sistema di raffreddamento riusciamo a mantenere la tempe-

ratura della superficie al di sotto di , riusciamo ad evitare che la temperatura sull’asse del con-

,

dotto raggiunga la temperatura di fusione di 2000°C, di conseguenza evitiamo la fusione e il collasso

della barra cilindrica.

Per quanto concerne la potenza termica totale:

2

( 6.1.15 )

4

= = 6.9 ∙ 10

4

La potenza termica totale non è altro che il prodotto tra la potenza termica prodotta per unità di volume

e il volume stesso.

Esercizio 2

Determinare la distribuzione di temperatura in un fluido Newtoniano incomprimibile compreso tra due

cilindri coassiali disposti verticalmente, uno dei quali, quello esterno, posto in rotazione con elevata

.

velocità angolare

Il cilindro esterno, di raggio R , si trovi alla temperatura T mentre quello interno, di raggio R , venga

1 1 2

mantenuto a T .

2

Si consideri il moto del fluido in regime laminare, in condizioni stazionarie e si tenga in conto del con-

tributo dovuto alle dissipazioni viscose.

N.B. Le dimensioni R e R siano generiche per cui si operi in ordinate cilindriche.

1 2

Figura 6.2.1. Schematizzazione della geometria del sistema

−

A differenza dell’esercizio svolto in precedenza in cui avevamo ipotizzato che fosse molto pic-

2 1

colo e di conseguenza potevamo passare dalle coordinate cilindriche a quelle rettangolari, in questo

caso le coordinate e sono generiche e di conseguenza dobbiamo necessariamente operare in

2 1

condizioni cilindriche.

Il nostro obiettivo è ricavare il profilo di velocità e temperatura, in particolare di temperatura, tra il

cilindro interno e il cilindro esterno.

Abbiamo un fluido in moto e abbiamo pertanto bisogno dell’equazione del moto, ma abbiamo anche

uno scambio termico e quindi serve un bilancio di energia termica.

Siccome le proprietà fisiche sono dipendenti dalla temperatura ci serve sviluppare l’equazione

dell’energia, ma in essa a sua volta compare la velocità, pertanto le due equazioni non sono disaccop-

piabili rigorosamente parlando e andranno pertanto risolti simultaneamente.

Tuttavia, in questa situazione particolare possiamo assumere che le proprietà fisiche (es. viscosità e

densità) non variano granché al variare della temperatura, di conseguenza possiamo ritenerle costanti

e procedere alla risoluzione dell’equazione di continuità, poi dell’equazione del moto e infine del bilan-

cio di energia termica.

Per la risoluzione di tale problema utilizziamo le equazioni generali che siamo andati a sviluppare.

Nel momento in cui lavoriamo in coordinate cilindriche le componenti di velocità sono quella tangen-

ziale ( ), quella radiale ( ) e quella assiale ( ).

Poiché nel nostro problema il fluido sta semplicemente ruotando abbiamo che non si sta muovendo ne

in direzione radiale ne in direzione assiale, di conseguenza l’unica componente non nulla della velocità

risulta essere .

Partiamo dall’equazione di continuità in coordinate cilindriche:

) ) )

1 ( 1 ( (

+ + + =0 ( 6.2.1 )

= 0: siamo allo stazionario, pertanto la densità non varia nel tempo.

)

(

= 0: la componente radiale della velocità risulta essere nulla

)

(

= 0: la componente assiale della velocità risulta essere nulla

Siccome stiamo considerando le proprietà fisiche costanti possiamo portare la densità fuori dal diffe-

renziale, inoltre poiché questa equazione vale per qualunque r abbiamo l’equazione di continuità si

riduce a:

( 6.2.2 )

=0

Andiamo a vedere meglio cosa significa dal punto di vista fisico

= ̅

Se ci mettiamo ad un certo il fluido si muoverà alla stessa velocità qua-

lunque sia l’altro punto, a parità di r, in un’altra posizione angolare.

In sostanza, a parità di coordinata radiale abbiamo che la velocità sarà sempre

̅

pari a nelle varie posizioni angolari ().

̅

̅

Le equazioni del moto dovranno essere considerate in coordinate cilindriche, andiamo quindi a consi-

derare l’equazione del moto in direzione tangenziale:

) ( + + + + )

2 2

1 1 1 2 ( 6.2.3 )

( ))

=− +[ ( + + + ] +

2 2 2 2

= 0: siamo allo stazionario

= 0: la componente radiale della velocità è nulla

= 0: da quanto ricavato dall’equazione di continuità la componente tangenziale della velocità

risulta essere costante lungo a parità di coordinata radiale

= 0: la componente radiale della velocità risulta essere nulla

= 0:

la componente assiale della velocità risulta essere nulla (in ogni caso non varia in dire-

zione z)

1 = 0:

se ci muoviamo lungo a r costante non si osserverà una variazione della pressione in tale

.

direzione, infatti la pressione a r costante non varia lungo Rifacendoci al disegno soprariportato, a

̅

parità di abbiamo che la pressione nei vari punti al variare di rimane costante.

1 ( ))

( ≠ 0: la componente tangenziale della velocità