Esercitazione 3 Fenomeni di trasporto

(R)

in alluminio di raggio esterno R .

Il combustibile è sede di una reazione nucleare che genera un’energia termica per unità di volume di

elemento combustibile pari a Sn e valutabile attraverso la seguente relazione:

2

[1 ( ) ]

= ∙ + ∙ ( 3.1.1 )

0 ()

Con e costanti.

0

Si determini il profilo di temperatura attraverso il combustibile ed il suo rivestimento, nelle due

situazioni seguenti:

c) Sia nota la temperatura T del rivestimento esterno

0

d) La particella sia a contatto con un fluido esterno che si trova a T f

Figura 3.1.1 Schematizzazione geometria del sistema

Scriviamo l’equazione di bilancio in condizioni di stazionarietà, in particolare il flusso termico si

svilupperà in direzione radiale e di conseguenza l’elementino su cui scrivere l’equazione di bilancio è

+ Δ

un guscio sferico con raggio compreso tra e (in rosso

Scrivendo il bilancio per il combustibile (F: fuel):

() ()

2 2 2

| |

4 − 4 + 4 Δ = 0

+Δ

+ ( 3.1.2 )

()

() ()

2 2

| |

4 − 4 : portata termica entrante lungo r meno quella

+Δ

() uscente.

: termine di generazione espresso in termini di energia per unità di volume e

per unità di tempo.

Figura 3.1.2 Rappresentazione geometria radiale in cui è stato applicato il bilancio

Non è presente il termine di accumulo in quanto siamo in condizioni di stazionarietà e non è presente

il termine convettivo in quanto abbiamo a che fare con un solido.

4Δ:

Dividiamo tutto per () ()

2 2

| |

−

+Δ

( 3.1.3 )

2

+ = 0

Δ

Δ → 0

Facendo il limite e andando a sostituire l’espressione di , che risulta essere dipendente dalla

variabile radiale, otteniamo: 2

()

2 2

( ) [1 ( ) ]

− + ∙ + ∙ = 0 ( 3.1.4 )

0

()

Questa è l’equazione di bilancio per quanto concerne il combustibile nucleare.

Se scrivessimo l’equazione di bilancio per quanto concerne il rivestimento otterremo esattamente la

stessa equazione di bilancio, con l’unica differenza che dovremmo omettere il termine di generazione

in quanto non compare.

Sotto tale osservazione possiamo scrivere che:

()

2

( )

= 0 ( 3.1.5 )

Integrando il bilancio del combustibile: 3 5

() ()

2 ( 3.1.6 )

− + + + = 0

0 0

1

2

3 ()

5

2

:

Dividendo per ()

3

() 1 ( 3.1.7 )

= + +

0 0

2 2

3

()

5

Per quanto riguarda il bilancio sul rivestimento possiamo scrivere che:

() ()

2

= ( 3.1.8 )

1

Da cui: ()

() ( 3.1.9 )

1

=

2

Queste espressioni ci danno la distribuzione del flusso lungo r nel fuel e nel rivestimento. =

Partiamo dall’espressione del flusso per quanto concerne il combustibile, sappiamo che il termine

0 = 0

fa parte del dominio di integrazione del combustibile e di conseguenza per il flusso tenderebbe

ad infinito.

Ovviamente essendo una grandezza fisica non ha alcun senso che tenda ad infinito, quindi l’unico modo

per evitare che questo accada è che: ()

=0 ( 3.1.10 )

1 ()

=

Un’altra condizione ai limiti che possiamo applicare è che per i due flussi devono essere uguali,

infatti essendo allo stazionario tutto quello che esce dal combustibile nucleare deve finire nel

rivestimento: () ()

() ( 3.1.11 )

= ; =

Applicando le due condizioni di cui abbiamo parlato arriviamo a dire che:

3 3

()

[ ] ( 3.1.12 )

= + = +

0 0 0

2 2

3 3 5

() ()

5

Per quanto riguarda il rivestimento, applicando la seconda delle condizioni ai limiti che abbiamo scritto,

otteniamo: ()

() () 3

( )

() () 1

() ( 3.1.13 )

= ; = → + =

0 0

2 () 2

3 ( )

()

5

Da cui: 3 3

() ()

1

3

() ( 3.1.14 )

() [ ]

= + = +

0 0 0

1 3 5 3 5

()

Sostituendo nell’espressione di :

1 1

3

() () ( 3.1.15 )

[ ]

= +

0

2

3 5

A questo punto dobbiamo esprimere i flussi, avendo a che fare con dei solidi andiamo ad esprimerlo

mediante Fourier: () 3

() [ ]

− = + ()

≤ ≤

0 2 ( 3.1.16 )

3 5

()

()

1 1

3 () ()

() () ( 3.1.17 )

≤ ≤

[ ]

− = +

0 2

3 5

() ()

Denotiamo con la temperatura relativa al combustibile nucleare, mentre la temperatura

relativa al rivestimento.

Abbiamo fatto questa sostituzione per ottenere due equazioni differenziali nella sola temperatura

come variabile dipendente, mentre quella indipendente risulterà essere la posizione radiale.

In linea di principio la conducibilità termica varia al variare della temperatura che a sua volta sta

variando lungo il raggio, di conseguenza bisognerebbe considerare la dipendenza della conducibilità

termina dalla temperatura via via che ci muoviamo lungo il raggio.

Supponiamo di considerare delle proprietà medie in modo da poterle considerare costanti durante

l’integrazione.

Integrando le due espressioni otteniamo: 2 4

0 ()

() [ 20] ( 3.1.18 )

= − + +

2

2

() 6

()

1 1

3

0 ()

() () ( 3.1.19 )

[ ]

= + +

2

() 3 5

Per trovare i profili di temperatura dobbiamo trovare le due costanti di integrazione, per poterle

valutare dobbiamo applicare le due condizioni ai limiti:

All’interfaccia tra il rivestimento e il combustibile nucleare devono sussistere

() () ()

= ; = le condizioni di equilibrio termico, quindi le due temperature devono essere

uguali.

La seconda condizione al contorno dipende dalla situazione in cui ci troviamo, il che era la domanda

stessa del problema.

Se siamo nella condizione (a) e conosciamo la temperatura del rivestimento esterno la seconda

condizione ai limiti sarà: () () ( 3.1.20 )

= ; =

0

Se siamo nella condizione (b) la condizione ai limiti sarà:

()

( 3.1.21 )

()

() () |

= ; = − = ℎ ( − )

() ()

= |=

Essendo in condizioni di stazionarietà il flusso che arriva sulla superficie esterna del rivestimento dovrà

essere uguale a quello che si trasferisce poi al fluido esterno

Esercizio 2

Si consideri il moto di un fluido Newtoniano tra due cilindri coassiali, uno dei quali (quello esterno) in

.

rotazione con elevata velocità angolare In conseguenza di ciò, il fluido contenuto tra i due strati si

metterà in rotazione e, a causa dell’attrito viscoso, si verificheranno dei fenomeni di dissipazione

dell’energia meccanica che comportano la sua conversione in energia termica. L’energia generata per

,

unità di volume risulterà dipendente dal gradiente di velocità.

Nell’ipotesi che R>>b, e che quindi si possa passare dalle coordinate cilindriche a quelle rettangolari:

( 3.2.1 )

= −

Con:

( ) ( )

= = Ω ∙ ( 3.2.2 )

Si determini il profilo di temperatura attraverso il fluido

≫

Figura 3.2.1 Rappresentazione del sistema in geometria radiale e rettangolare

Ω,

Si tratta di due cilindri coassiali, uno fisso e l’altro che ruota con velocità angolare che si trovano a

due diverse temperature.

Il fatto che il cilindro esterno ruoti provoca un trascinamento del fluido che di conseguenza si mette in

rotazione con velocità tangenziale attorno all’asse dei due cilindri.

A causa del fatto che abbiamo a che fare con fluidi viscosi ci saranno delle perdite energetiche

dissipative di energia meccanica che vengono convertite in energia termica.

Ci viene dato la funzionalità di con la velocità, infatti in generale la velocità di dissipazione di energia

meccanica in energia termica dipende dal gradiente radiale di velocità (dipende da ).

Rappresentando il nostro sistema abbiamo:

Il fluido si muove in direzione tangenziale rispetto all’asse radiale,

quindi ciascun punto ad r costante si avrà che la velocità del fluido sarà

,

soltanto lungo questo perché il fluido ruota come sta ruotando il

condotto esterno.

Non ci sarà alcuna velocità in direzione radiale, in quanto non c’è

nessun passaggio in direzione radiale (c’è la parete), ne in quella in

direzione ortogonale del foglio che per noi è l’asse z.

L’unica componente di velocità in questo caso sarebbe che però

varia lungo r.

Rigorosamente parlando bisognerebbe considerare la geometria

cilindrica, però possiamo assumere che qualora b, cioè lo strato di fluido

che fluisce tra i due condotti, risulti essere molto più piccolo

del raggio esterno R del condotto possiamo passare da coordinate cilindriche a quelle rettangolari.

Si potrebbe fare un paragone con la terra, sappiamo che è sferica ma quando camminiamo ci sembra<