Esercitazione 4 Fenomeni di trasporto

Esercitazione 4

Esercizio 1

Una reazione catalitica eterogenea irreversibile del 1° ordine ha luogo in una particella catalitica sferica

porosa la cui superficie interna è completamente rivestita di platino.

La concentrazione di reagente in corrispondenza di metà del raggio è pari a 1/10 di quella relativa alla

-

superficie esterna, a sua volta uguale a 0.001 mol/l. Se il diametro della particella catalitica è pari a 2·10

3 2

cm ed il coefficiente di diffusione efficace è uguale a 0.1 cm /s, si calcoli la concentrazione di reagente

-4

ad una distanza di 7·10 cm dalla superficie esterna e si valuti il valore del diametro che dovrebbe avere

la particella affinché il fattore di efficienza sia pari a 0.8.

Esercizio 2

Si consideri una reazione irreversibile del 1° ordine in fase gassosa che avviene sulla superficie interna

di una particella catalitica sferica porosa. Alla temperatura di esercizio (400°C) la reazione avviene con

-6 -3 -1

una velocità pari a 10 mol·cm ·s . -5 -3

La concentrazione del reagente sulla superficie del catalizzatore sia pari a 10 mol·cm .

-3 2

a) Sapendo che il valore del coefficiente di diffusione efficace è pari a 10 cm /s, determinare la mas-

sima dimensione delle particelle di catalizzatore affinché, nelle condizioni di esercizio (400°C) venga

utilizzata il 95% della superficie catalitica

b) Se l’energia di attivazione del processo reattivo è 80 kJ/mol, quale frazione della superficie catalitica

verrà utilizzata se la stessa reazione verrà condotta a 500°C utilizzando le dimensioni di catalizzatore

del punto a)?

Esercizio 1

Una reazione catalitica eterogenea irreversibile del 1° ordine ha luogo in una particella catalitica sferica

porosa la cui superficie interna è completamente rivestita di platino.

La concentrazione di reagente in corrispondenza di metà del raggio è pari a 1/10 di quella relativa alla

-

superficie esterna, a sua volta uguale a 0.001 mol/l. Se il diametro della particella catalitica è pari a 2·10

3 2

cm ed il coefficiente di diffusione efficace è uguale a 0.1 cm /s, si calcoli la concentrazione di reagente

-4

ad una distanza di 7·10 cm dalla superficie esterna e si valuti il valore del diametro che dovrebbe avere

la particella affinché il fattore di efficienza sia pari a 0.8.

Schematizziamo il nostro problema:

Si tratta di una particella di cui conosciamo la concentrazione sulla super-

ficie e sappiamo che ad che sappiamo essere pari a .

2 10

1

Prima di tutto dobbiamo ricavare quanto vale la concentrazione ad una

10 −4

7 ∙ 10

distanza di dalla superficie esterna.

Scrivendo i bilanci otteniamo esattamente le stesse relazioni che abbiamo

ottenuto a lezione, quindi evitiamo di ripetere tali passaggi.

Figura 4.1.1. Schematizzazione della particella catalitica

Passiamo direttamente al ricavare il profilo di concentrazione che abbiamo esaminato nel caso di una

reazione del primo ordine che scritto in forma dimensionale risulta essere pari a:

1 sinh Φ

1

( )

= ( 4.1.1 )

sinh Φ

1

Essendo la concentrazione adimensionale:

= ( 4.1.2 )

E la direzione radiale adimensionale:

= ( 4.1.3 )

: coordinata radiale

: raggio della particella

Φ

Il termine è il modulo di Thiele al quadrato e per una generica reazione di ordine n risulta essere

1

espresso come: −1

2

2

Φ = ( 4.1.4 )

,

Nel caso di reazioni del primo ordine (n=1): 2

1

12

Φ = ( 4.1.5 )

,

1 1

= = ==

Sappiamo che per , che significa dire , e andando a sostituire tale condizione

2 2 10

nel profilo di concentrazione troviamo che: Φ

1

sinh

1 2 ( 4.1.6 )

2( )

=

10 sinh Φ

1

Φ

Non si tratta di un’espressione esplicitabile in termini di e va pertanto risolta per tentativi, risolvendo

1

si trova: Φ ≅ 6 ( 4.1.7 )

1

Anche se il problema non lo chiede possiamo ricavare il fattore di efficienza interna:

3 [Φ coth(Φ ) 1]

= − = 0.41 ( 4.1.8 )

1 1

12

Φ

Il valore di è molto basso e ci sta dicendo che circa il 40% della superficie del catalizzatore risulta

essere utilizzata per la reazione, il che ci sta dicendo che un 60% del catalizzatore è sprecata.

Ricavato il modulo di Thiele abbiamo che possiamo conoscere punto per punto il valore di concentra-

Φ

zione per il catalizzatore con cui abbiamo a che fare, infatti noto possiamo riscrivere il profilo di

1

concentrazione come: 1 sinh(6)

( )

= ( 4.1.9 )

sinh 6

In termini dimensionali:

sinh(6 )

( )

= ( 4.1.10 )

sinh 6

Bisogna stare attenti al fatto che il problema ci chiede il valore di concentrazione ad una distanza pari

−4

7 ∙ 10

a dalla superficie, cioè a: −4 −4

= − 7 ∙ 10 = 3 ∙ 10 ( 4.1.11 )

Da cui: −4

3 ∙ 10

(6 )

sinh ∙

−3

1 ∙ 10

−3

1 ∙ 10 −5 ( 4.1.12 )

[ ]

= = 4.86 ∙ 10

−4

3 ∙ 10 sinh 6

−4

7 ∙ 10

Siamo riusciti a trovare la concentrazione di a dalla superficie esterna.

Passiamo ora alla seconda parte dell’esercizio, ci viene detto quanto vale il fattore di efficienza interna

e la nostra incognita è trovare il diametro.

Scrivendo l’espressione del fattore di efficienza troviamo:

3 [Φ coth(Φ ) 1]

= − = 0.8 ( 4.1.13 )

1 1

12

Φ

Φ Φ

L’unica incognita risulta essere , risolvendo troviamo che risulta essere pari a:

1 1

Φ = 2.04 ( 4.1.14 )

1

Abbiamo trovato un modulo di Thiele con un valore più basso di quello ottenuto precedentemente e di

− Φ

conseguenza ci stiamo spostando, come è giusto che sia, verso la parte alta del grafico :

1

Al crescere del numero di Thiele diminuisce il fattore di efficienza interna.

Chiaramente avere un fattore di efficienza pari all’80% è un ottimo segno, ci sta dicendo che il cataliz-

zatore sta funzionando molto meglio e che l’80% della sua superficie viene sfruttato.

Applicando la definizione del modulo di Thiele: 2

1

12

Φ = ( 4.1.15 )

,

Siccome il catalizzatore è lo stesso del caso precedente, a meno delle dimensioni, possiamo ricavarci il

:

valore di 1 12

Φ

, ( 4.1.16 )

=

1 2

,

non cambia nei due casi e neanche quindi possiamo adattare tale scrittura al caso analiz-

, 1

zato in precedenza e in cui l’efficienza era del 41%: 2

2

2 6 0.1

Φ

,

1,1 6 −1

= = = 3.6 ∙ 10 ( 4.1.17 )

1 12 −3 2

(1 )

∙ 10

A questo punto, dal momento in cui non sta cambiando nei due casi, possiamo sostituirlo

1

nell’equazione (4.1.15) adattata al secondo caso: 22

1

2

Φ = ( 4.1.18 )

1,2

,

Da cui: 2

2

√(2.04)

2 0.1

Φ ( 4.1.19 )

,

1,2 −4

√

= = = 3.4 ∙ 10

2 6 −1

3.6 ∙ 10

1

L’operazione che abbiamo svolto si sarebbe potuta semplificare tenendo conto del fatto che attraverso

la definizione del modulo di Thiele avremmo potuto scrivere che:

12

1

2

Φ = ( 4.1.20 )

1,1

,

2 2

Φ Φ

Facendo il rapporto membro a membro tra e troviamo:

1,1 1,2 2

2

Φ

1

1,1 ( )

= ( 4.1.21 )

2

Φ 2

1,2

Da cui: Φ

1,1 1

=

Φ ( 4.1.22 )

1,2 2

Pertanto: Φ 2.04

1,2 −3 2 −4

(1 )

= = ∙ 10 = 3.4 ∙ 10 ( 4.1.23 )

2 1 Φ 6

1,1

A parità di tipo di catalizzatore è stato sufficiente ridurre la dimensione della particella catalitica per

aumentare l’efficienza del catalizzatore stesso, il che è legato al fatto che diminuendo le dimensioni

della particella favoriamo i processi diffusivi all’interno della stessa e come tale aumenta l’efficienza

interna del catalizzatore.

Chiaramente nel diminuire la dimensione siamo andati a mantenere tutte le altre caratteristiche inva-

riate.

Esercizio 2

Si consideri una reazione irreversibile del 1° ordine in fase gassosa che avviene sulla superficie interna

di una particella catalitica sferica porosa. Alla temperatura di esercizio (400°C) la reazione avviene con

-6 -3 -1

una velocità pari a 10 mol·cm ·s . -5 -3

La concentrazione del reagente sulla superficie del catalizzatore sia pari a 10 mol·cm .

-3 2

a) Sapendo che il valore del coefficiente di diffusione efficace è pari a 10 cm /s, determinare la mas-

sima dimensione delle particelle di catalizzatore affinché, nelle condizioni di esercizio (400°C) venga

utilizzata il 95% della superficie catalitica

b) Se l’energia di attivazione del processo reattivo è 80 kJ/mol, quale frazione della superficie catalitica

verrà utilizzata se la stessa reazione verrà condotta a 500°C utilizzando le dimensioni di catalizzatore

del punto a)?

Stiamo considerando una reazione catalitica del primo ordine e di conseguenza il modulo di Thiele ri-

sulterà essere pari a: 12

2 Φ

,

1

12 2

Φ = → = ( 4.2.1 )

, 1

Dal testo del problema sappiamo che l’efficienza del catalizzatore deve essere pari a 0.95:

3 [Φ coth(Φ ) 1]

= − = 0.95 ( 4.2.2 )

1 1

12

Φ

Φ

Da cui troviamo che risulta essere pari a 0.9.

1

Per definizione rappresenta il rapporto la tra velocità di reazione reale e quella in cui la concentra-

zione di A risulta essere dappertutto pari a :