Esercitazione 25 maggio 2015

V

investimento di A A

1.6 (V +V ) - 800

investimento totale A B

0.8 (V + V ) - 400

ricavo totale atteso di A A B

profitto netto atteso di A 0.8 V - 0.2 V - 400

B A

V = 600

decisione massimizzante di A A

decisione attesa di B ricavo atteso di A V = 600

B 40

perdita attesa di A

Tabella 1.1: Ricavi e profitti per l’impresa A

Gli esercizi 1, 2 e 3 che verranno esaminati nel seguito propongono tre soluzioni differenti a uno

stesso problema: investimento in R&S per sviluppare una nuova tecnologia da parte di due aziende

in presenza di moral hazard.

Esercizio 1

(Massimizzazione del valore totale)

Supponiamo che vi siano due imprese, l’impresa A e l’impresa B, che stanno considerando la

possibilità di fare un investimento congiunto in R&S. Il ricavo totale dell’investimento è

0.5

200(V +V ) , dove V e V sono i valori degli investimenti delle imprese: esse si aspettano di

A B A B

dividersi ugualmente i ricavi ottenuti, mentre ciascuna di loro deve assorbire il costo dei rispettivi

investimenti.

Si mostri che le scelte che massimizzano il valore totale sono quelle in cui il valore

complessivamente investito dalla due imprese è uguale a 10000 euro.

Quanto surplus totale viene corrispondentemente creato? 2

Esercitazione 25 maggio 2015

Soluzione

Il ricavo totale delle due imprese è

0.5

R =200(V +V )

tot A B

Esse si aspettano di dividere in maniera equa i ricavi e sostengono i rispettivi investimenti V e V .

A B

Perciò: 0.5

R =R =100(V +V )

A B A B

Il profitto congiunto è dato da:

Õ 0.5

=R -(V +V )=200(V +V ) -(V +V )

TOT TOT A B A B A B

L’investimento congiunto efficiente è quello che massimizza il valore totale delle parti, perciò:

¶

P ( )

1 -

= + - =

1 2

TOT 200 V V 1 0

( )

¶ + A B

V V 2

A B

( )

+ =

1 2

V V 100

A B

( )

+ =

*

V V 10000

A B

L’investimento congiunto efficiente è pari a 10000.

Il surplus complessivo derivante dall’investimento congiunto è pari a:

( ) ( )

= P = - = - =

1 2

S 200 * 10000 10000 20000 10000 10000

TOT TOT

Questo esercizio propone una soluzione di impresa integrata, per la quale, quindi, gli obiettivi dei

decisori A e B sono completamente allineati: questa situazione corrisponde a quella efficiente dal

punto di vista dell’allocazione delle risorse e, infatti, il surplus complessivo delle parti è massimo

(si veda il Principio di Massimizzazione del Valore, adottato nella soluzione dell’esercizio).

Esercizio 2

(Opportunismo: dato V fissare V ottimo)

B A

Relativamente al problema precedente, si supponga ora che le imprese non possano scrivere un

contratto basato sul livello degli investimenti effettuati da ciascuno, poiché esse non possono

osservarne il reale valore. Si mostri che, se l’impresa A si aspetta dall’impresa B un investimento

pari a V , la scelta ottimale della prima è di investire 2500-V .

B B

Quanto dunque si investirà complessivamente e quanto surplus totale verrà creato?

Soluzione

Il ricavo totale delle due imprese è 3

Esercitazione 25 maggio 2015

0.5

R =200(V +V )

tot A B

Esse si aspettano di dividere in maniera equa i ricavi e sostengono i rispettivi investimenti V e V .

A B

Perciò: 0.5

R =R =100(V +V )

A B A B V

L’impresa A ipotizza che l’impresa B investa . Conseguentemente, l’impresa A deciderà di

B

investire l’importo V tale da massimizzare il proprio profitto.

A

Il profitto dell’impresa A è dato da:

( )

P = - = + -

1 2

R V 100 V V V

A A A A B A

La condizione di massimizzazione del profitto è:

¶

P ( )

1 -

= + - =

1 2

A 100 V V 1 0

¶ A B

V 2

A

Perciò si ha:

( )

+ =

1 2

V V 50

A B

+ =

V V 2500

A B

= -

*

V 2500 V

A B

L’investimento complessivo sarà:

V +V =(2500-V )+V =2500

A B B B

In corrispondenza si avranno un ricavo totale e un surplus totale generati dall’investimento pari a:

= × =

R 200 50 10000

TOT = - + = - =

S R (

V V ) 10000 2500 7500

TOT TOT A B

L’esercizio 2 introduce nel sistema delle due imprese una fonte di inefficienza: le due imprese si

accordano per sviluppare la tecnologia congiuntamente, ma non riescono a stabilire il reale valore

del livello di investimenti effettuato da ciascuna. In una tale situazione possono insorgere

comportamenti opportunistici e fenomeni di moral hazard. A causa dell’inefficienza insita nel

sistema il surplus totale a disposizione delle parti risulta diminuito rispetto al valore che assumeva

nell’esercizio 1, indipendentemente da come, poi, venga ripartito fra le imprese. Pertanto, ciascuna

impresa non può far altro che massimizzare la propria utilità individuale nell’ambito di un sistema

caratterizzato da un livello di benessere intrinsecamente ridotto. 4

Esercitazione 25 maggio 2015

Esercizio 3

(Concorrenza)

Continuando con l’esempio, supponiamo che se le imprese non firmano un contratto esse possono

sviluppare separatamente, e in competizione fra loro, il progetto di ricerca in esame. Un prodotto

vendibile sul mercato può essere ottenuto da entrambe le imprese se esse investono almeno il 35%

³

V 0

.

35

V

di quanto investito dal concorrente. Se , allora il profitto netto dell’impresa A è

A B

( ) ,

- -

1 2 e corrispondentemente per l’impresa B.

200 V 0 . 35

V V

A B A 10000

Si mostri che se ciascuna impresa si aspetta che l’altra investa , allora essa investirà la

0 .

65

medesima cifra.

A quanto ammontano i profitti totali? In questo caso le imprese sono in grado di accordarsi su di un

progetto congiunto?

Soluzione ³

V 0

.

35

V

In questo caso, se l’impresa A avrà un profitto pari a

A B

( )

P = - -

1 2

200 V 0 .

35

V V

A A B A

10000 .

=

dove V B 0 . 65 V

Anche in questo caso l’impresa A sceglierà l’investimento in modo da massimizzare il proprio

A

profitto.

¶

P ( )

1 -

= - - =

1 2

A 200 V 0

. 35

V 1 0

¶ A B

V 2

A

( )

- =

1 2

V 0 . 35

V 100

A B 10000 10000

= + = + = =

*

V 10000 0 . 35

V 10000 0 . 35 V

A B B

0 . 65 0 . 65

Il profitto totale generato dagli investimenti delle due imprese sarà dato da:

P = P + P

TOT A B

Dato che le due imprese hanno funzioni di profitto simmetriche ed effettuano lo stesso investimento

i profitti ottenuti saranno gli stessi. Perciò:

P = P + P = P

2

TOT A B A

( )

P = - - =

1 2

200 V 0 . 35

V V

A A B A 5

Esercitazione 25 maggio 2015 1 2

æ ö

10000 10000 10000

= - - =

ç ÷

200 0 .

35

è ø

0 .

65 0 .

65 0 . 65

1 2

æ ö

10000 10000 10000

= - = × - =

ç ÷

200 0 .

65 200 100 4615

è ø

0 . 65 0 .

65 0 .

65

Quindi:

P = P = × =

2 2 4615 9230

TOT A

Questo esercizio propone una situazione in cui le imprese decidono di sviluppare la tecnologia

indipendentemente l’una dall’altra e in competizione fra loro. In questo caso, l’inefficienza del

sistema fa diminuire ancora una volta il surplus complessivo, ma lo mantiene comunque più elevato

rispetto al caso affrontato dall’esercizio 2. Pertanto, potendo scegliere fra la situazione proposta

dagli esercizi 2 e 3, le imprese sceglieranno di non accordarsi e di sviluppare la tecnologia in

competizione fra loro.

Esercizio 4 1/2

Sara, che ha la funzione di utilità U = y , ha a disposizione un’opportunità di reddito che potrà dar

luogo a un reddito di 4 oppure di 16, ciascuno con probabilità ½.

1. Determinare il valore esatto dell’equivalente certo del reddito incerto di Sara.

2. Determinare il valore esatto del premio per il rischio.

Soluzione

1.

Poiché nel caso in esame è nota la funzione di utilità, equivalente certo e premio per il rischio

possono essere calcolati in modo esatto, sulla base delle loro definizioni. L’equivalente certo è la

somma certa EC che dà a Sara un’utilità pari all’utilità attesa del reddito incerto. L’utilità attesa del

reddito incerto è:

1/2 1/2

E[U(y)] = 1/2 (4 ) + ½ (16 ) = 1+2 =3

L’ EC si calcola dalla funzione di utilità ed è pari a: U(EC) = E[U(y)]. In questo caso quindi si ha:

1/2

U(EC) = (EC)

Quindi: 6

Esercitazione 25 maggio 2015

1/2

EC = 3 da cui EC = 9

2.

Per definizione, il premio per il rischio è la differenza tra il valore atteso del reddito incerto (o

reddito atteso) e il suo equivalente certo, cioè come la somma di denaro con cui è possibile

compensare un individuo per indurlo ad accettare il reddito incerto al posto di quello certo.

–

Pr = E(R) EC

Il reddito atteso è:

E (R) = 1/2 (4) + 1/2 (16) = 10

Quindi il premio per il rischio è pari a:

–

Pr = 10 9 = 1

Esercizio 5

Gianni ha a disposizione due progetti di investimento, R ed S. Da R può ottenere un reddito netto x

r

di 55 oppure di 85, ciascuno con probabilità ½, mentre da S può ottenere, sempre con probabilità ½

ciascuno, un reddito netto x di 62 oppure di 70.

s

1. Quale progetto sceglierà Gianni, se ha un coefficiente di assoluta avversione al rischio pari a

0,05?

2. Supponiamo però ora che Gianni possa condividere il rischio con Paolo, che pure ha un

coefficiente di avversione al rischio di 0,05. Quale sarà la quota del reddito incerto che spetterà

ai due individui?

3. Se la scelta tra i due progetti avviene dopo che si è deciso di condividere il rischio, quale

progetto verrà scelto?

4. Gianni accetterà di cedere una quota del reddito incerto inizialmente a sua disposizione solo se

Paolo gli paga qualcosa per questo, mentre Paolo potrà a sua volta accettare solo se tale

pagamento non è troppo elevato. Determinate entro quale intervallo dovrà essere compreso tale

pagamento affinché la condivisione risulti accettabile per entrambi.

Soluzione

1. Per vedere quale progetto s