Esercitazione 24 maggio 2013

I due vincoli considerati sono disegnati nella figura nella figura seguente: 4

Esercitazione 24 maggio 2013 Vincolo di incentivazione

Vincolo di partecipazione

3

I valori di e che soddisfano al vincolo di incentivazione sono quelli posizionati al di sopra

y z

della retta crescente, mentre quelli che soddisfano il vincolo di partecipazione giacciono al di sopra

della retta decrescente. L’area arancione indica i valori della coppia di compensi ( , ) che

y z

motiva gli agenti ad accettare l’impiego e ad agire come loro richiesto. Poiché il profitto netto del

principale è maggiore quanto minore risulta la retribuzione attesa dell’agente, il contratto ottimale

9

z =

per il principale è ( , ): esso soddisfa entrambi i vincoli e assegna al principale un

0

y =

1 2 52

profitto atteso pari a (

10 0 ) ( 30 9 )

− + − =

3 3 3

Mentre l’agente non ottiene un’utilità superiore a quella che avrebbe ottenuto se fosse stato

e

58 52

osservabile, il profitto atteso del principale cade da a , poiché il salario atteso da pagare

3 3

passa da 4 a 6. L’aumento del salario serve unicamente a compensare l’agente per il rischio che si

assume: il che consegue dalla non osservabilità dello sforzo comporta dunque un

moral hazard

costo in termini di efficienza: in questo caso, il costo sorge perché l’agente viene caricato di troppi

rischi.

Naturalmente, è anche necessario decidere se vale la pena di fornire al lavoratore gli incentivi

necessari a condurlo a scegliere il livello maggiore di sforzo: infatti, se il principale decidesse di

optare per = 1, non vi sarebbe bisogno di pagare alcun compenso d’incentivazione. In tal caso,

e

pagare un salario fisso di 1 - indipendentemente dagli esiti - è sufficiente a convincere l’agente a

partecipare, e poiché il lavoratore non fronteggia alcun rischio e i costi retributivi risultano

minimizzati. Ovviamente, l’agente sceglie = 1, come pianificato, cosicché egli ottiene un’utilità

e

2 1 47

di 1 e il principale un profitto di . Poiché il profitto è inferiore a quello

(

10 1

) (

30 1

)

− + − =

3 3 3

del caso precedente, l’incentivazione dello sforzo risulta conveniente.

Questo, naturalmente, è solo un esempio: in altri casi il tentativo di motivare l’agente può essere

5

Esercitazione 24 maggio 2013

inefficiente, poiché il costo dovuto all’imposizione di rischi a carico dell’agente può essere così

elevato da superare i vantaggi derivanti da uno sforzo maggiore. Inoltre, questo può essere vero

anche se, con osservabilità di si sarebbe scelto lo sforzo più elevato: si consideri per esempio,

e,

nel contesto del modello in esame, la situazione nella quale i ricavi nel caso più favorevole siano

pari a 20 invece che a 30. E’ facile anche immaginare dei casi nei quali, in presenza di una

molteplicità di livelli di sforzo possibili, sia conveniente offrire all’agente degli incentivi a

scegliere un livello d’impiego superiore a quello minimo, pur senza che sia il caso di indurlo ad

optare per lo stesso livello che verrebbe richiesto nel caso di perfetta osservabilità. In tali casi

l’inefficienza si manifesta nella duplice veste di far sopportare all’agente dei rischi altrimenti non

necessari, e di ridurre il livello produttivo al di sotto di quanto desiderabile.

La formulazione di concreti contratti d’incentivazione comporta aspetti molto più complicati di

quelli rivelati da questo esempio: alcuni di essi verranno considerati nelle prossime esercitazioni ed

altri saranno affrontati in altri corsi.

Esercizio 2

Analizziamo un altro esercizio sulla definizione di un contratto efficiente, ma in questo caso in

presenza di uno sforzo inosservabile e del conseguente problema di moral hazard.

problema di agenzia

Si consideri un : il principale, neutrale verso il rischio, deve assumere un

agente. L’impegno dell’agente può aumentare il ricavo dell’impresa. Tuttavia, i ricavi dipendono

anche da fattori esterni e l’impegno non è direttamente osservabile.

L’agente valuta il reddito da lavoro, w, e il suo sforzo, in base alla seguente funzione di utilità:

e,

1

2

( , )

U w e w e

= −

Si supponga che vi siano due livelli possibili di sforzo (e = 1 ed = 4) e che l’utilità derivante

e

5

all’agente dalla sua migliore alternativa esterna sia pari a .

Quando = 1 il ricavo è pari a 50 con probabilità 0,7 e a 200 con probabilità 0,3. Se, invece, = 4

e e

la probabilità di avere un ricavo pari a 50 è di 0,4 e quella di ricavare 200 è pari a 0,6.

1. Determinare se l’agente è avverso al rischio.

2. Derivare lo schema ottimale di compenso.

3. Lo schema ottenuto è efficiente? Perché? 6

Esercitazione 24 maggio 2013

Soluzione

1. Un agente avverso al rischio preferisce, a parità di valore atteso del reddito, un reddito certo a

uno incerto. L’agente avverso al rischio è, quindi, caratterizzato da una funzione di utilità

crescente con concavità verso il basso.

U w

Per verificare che si tratti di un agente avverso al rischio, quindi, è necessario studiare i segni

delle derivate prima e seconda della funzione di utilità rispetto al reddito: in particolare, la

derivata prima dovrà avere segno positivo (f.ne crescente) e la derivata seconda segno negativo

(f.ne concava).

Per la funzione in questione si ha:

1

1 −

' 0

2 ∀w ≥

( , ) 0

U w e w

= >

w 2 3

1 −

' ' 0

2 ∀w ≥

( , ) 0

U w e w

= − <

w 4

Perciò l’agente è avverso al rischio e avverso a fornire uno sforzo produttivo superiore a quello

minimale.

2. L’obiettivo del principale è quello di massimizzare il valore del ricavo atteso per l’azienda e,

pertanto, di fare in modo che l’agente adotti lo sforzo massimo = 4.

e

Il principale non conosce la prestazione dell’agente; se la conoscesse, potrebbe vincolarlo

contrattualmente, oppure stabilire direttamente i livelli salariali.

Presumibilmente, però, il principale non ha modo di osservare il livello di impegno dell’agente:

pertanto, la soluzione adottata è quella di allineare gli obiettivi dell’agente a quelli del principale

attraverso una remunerazione incentivante. Una tale remunerazione deve essere, quindi, legata

al ricavo dell’impresa e tale che:

Renda conveniente per l’agente lavorare per il principale 7

Esercitazione 24 maggio 2013

Renda conveniente per l’agente adottare il livello di impegno massimo

In altri termini, è necessario che il principale offra all’agente un compenso tale che:

L’utilità dell’agente derivante dal lavorare per il principale sia almeno pari a quella che

percepirebbe lavorando all’esterno

L’utilità dell’agente derivante dall’assumere l’impegno massimo sia almeno pari a

quella derivante dall’assumere l’impegno minore.

Il principale può offrire un salario di valore se il ricavo dell’impresa è 50 e un salario pari a z

y

se il ricavo è pari a 200. R=50 R=200

0,7 0,3

e = 1 0,4 0,6

e = 4

Caso di sforzo non osservabile

Sotto l’ipotesi che il suo impegno non sia osservabile, si supponga che l’agente adotti un valore

dello sforzo pari a = 1.

e

In questo caso la sua utilità attesa sarà pari a:

[ ] 0,5 0,5

( , ) 0,7(y - 1) 0,3(z - 1)

E U w e = +

1

e =

Nel caso, invece, si abbia = 4 l’utilità attesa dell’agente sarà:

e

[ ] 0,5 0,5

( , ) 0,4(y - 4) 0,6(z - 4)

E U w e = +

4

e =

Affinché l’agente desideri adottare il livello di sforzo più alto è necessario che la corrispondente

utilità attesa sia almeno pari a quella che percepirebbe se adottasse il livello di sforzo più basso,

pertanto deve risultare:

[ ] [ ]

( , ) ( , )

E U w e E U w e

≥

4 1

e e

= =

0,5 0,5 0,5 0,5

0,4(y - 4) 0,6(z - 4) 0,7(y - 1) 0,3(z - 1)

+ ≥ +

0,5 0,5 0,5 0,5

0,4y - 1,6 0,6z - 2,4 0,7y - 0,7 0,3z - 0,3

+ ≥ +

0

,

3 0

,

3 3

z y

− ≥

10

z y

≥ + 10 8

Esercitazione 24 maggio 2013

Il vincolo ottenuto viene denominato vincolo di compatibilità agli incentivi.

Inoltre, il compenso offerto dal principale deve essere tale da rendere conveniente per l’agente

non cogliere l’opportunità esterna: pertanto, l’utilità interna dell’agente dovrà essere almeno

pari a quella esterna.

[ ]

int est

( , )

E U w e U

≥

4

e =

0,5 0,5

0,4(y - 4) 0,6(z - 4) 5

+ ≥

0,5 0,5

0,4y - 1,6 0,6z - 2,4 5

+ ≥

0,5 0,5

0,4y 0,6z 9

+ ≥

0

, 6 0

, 4 9

z y

+ ≥

2

z y 15

≥ − +

3 15

10 y

Il vincolo ottenuto viene denominato vincolo di partecipazione.

I due vincoli devono essere rispettati contemporaneamente, quindi la coppia di valori del

y z

( , )

salario che deve essere presa in considerazione deve trovarsi nell’area di piano segnata in rosso.

15 B A

10 9

Esercitazione 24 maggio 2013

A B

I punti e hanno coordinate rispettivamente di:

( ; ) (

9

;

169

)

A y z

= =

A A

( ; ) ( 0

;

225

)

B y z

= =

B B

Fra i due punti a disposizione quello corrispondente allo schema di compenso ottimale è quello

che massimizza il valore atteso dei profitti del principale oppure, a parità di ricavi attesi,

minimizza il valore atteso del salario dell’agente (al principale converrà pagare di meno). Il

valore atteso dai profitti è dato da:

E E R w E R E w

( ) ( ) ( ) ( )

Π = − = −

Il valore atteso dei ricavi è noto ed è il medesimo in entrambi i punti, perché questi

garantiscono lo stesso livello di sforzo = 4. Pertanto, la massimizzazione del valore atteso dei

e

profitti del principale corrisponde al problema di minimizzazione del salario dell’agente.

Nei due punti A e B si ha:

( ) 0

. 4 0

.

6 0

. 4 9 0

.

6 169 105

E w y z

= + = ⋅ + ⋅ =

A A A

( ) 0

. 4 0 .

6 0

. 4 0 0

. 6 225 135

E w y z

= + = ⋅ + ⋅ =

B B B ( ; ) (

9

;