Esami svolti di "Meccanica razionale"

Si consideri il telaio rettangolare a sezione

dimensione totale M e cent. S₀, G_A, e D_I.

Speculare calcolare a distanza minima assunta.

Trascurare massa carrello.

Forza conserv. — Calcolo E potenziale

U_n = Ep_n + U_eq + U_elq + U_en2 + U_cp + (ΔX)_(L) + cost. + U_n

U_p = costante U_en = cost.

U_el2 = 1/2 k(IĀ/A²)

= 1/2 K(sinα εγ)² = 1/2 Kβ3αz²

U_el2 = -1/2 Kπ₂

U_en = ∫Δ s_x cos α dx = m ∫x dx

U_cp = ½ mω²[(1 + α/2) + α](x_i)²[x²(r² + α² + 2αx)]

U_cT = 1/2 I_pω_eq²

F_p = Ep - Ev = U²x + z² - U²ωz + ω₂x₂ - αx₂

Δs ∫∑μa² dC = ∫∫ μu² u dudv = ∫[F₀²]a[0α]

= 250 Mα²

k = 225.αx^ucu - 1/2 kp² + mu² f + mαa γ H m _eq + cost.

25Ka₂mcotα + H₀ω₂ = 0- k l₂ + mω₂a₂ = 0cosα(M₀ - 25Ka₂) = 0m(l₂ - k) = mω₂a₂

4 Posizioni di equilibrio

Matrice inerzia della telaio rispetto ad una linea assegnataSIST PIANO

Per differenzaA = ∫ _-2a^2a μ c₁ c₁ dc₁ dc₂ = - ^{H ₀ l_α(c₁3) | _-2a2a}

A + B - C = - ^{205 μ a2}₄₂

Moti non ostativi per q_i cost., Q_i cost.

1.

O₂ TU

T₀: T₀ = TA + TB

T_0x: T_0x = T_φ + ⁴/₃ M U^{2 2} ML² φ⋅² M (Lφω_xx) + ⁴ M u^{2 2} ML² Senφ

T_a; T₀₀ = ²/₃ m²

V_xx (O_x = O_-sequ) α senL² φ

Ta; ¹/₂ mL² (Lφω) T_a = ³ M U²

T₀ = ³/₈ ¹/₄ ML² + 2ML² u² (cosφ + ¹/₃)

2. L_φ: 2μφe^φ + K2L sen(φ-θ) = 0

dif ^d/_dt: ^d/_dt (2 μφπ(t+^x)) = sen ψ(φg) - 3K(u/4) knrkum(θ-φ) - 4uLhsztemqr

4ML² ψ (ω² φ + ⁴/₃) OL Rtli {o'1]x²+(β-y²) = 4L² ➔ con troppo defo di rascio L$

4. ^RULETTA rumbo non fevero: luogo dei pti occupati della C.I.R. nel S.O.R.osarno

γ ² = ^ρ/KLR

β_∞ = L^-sen ψ

OB/10/01

AD - lm u₁

CD - h c

EBM - be 1OB 3e

• I = I_a0 + I₁ + 1/12'h

ω e ω₁

O (h.c) e (h.0)

S) RE c u z in n A B C D

OA (v, 0) OB (x+x₀) OH (x₀)

OC (X-I_om) 3 I+ bh

OE (1+ I_f dry

OF (b+3/6) DE (x-cm)

U

U - 1/2 K (tan (t.cos

Up_e Urot (rx.

Up₃ T - k rc cos tabu) V

I = 1/2 B₃ x cosub -m x g ∑

d J - m

(1 + ω .)

1/2 .bhω

1/12 A m (2f b m).

m/b

U = 1/2 K

1/2 mr x 2/c (v² +

T - m

am). 5)+

qu b (n+ilderur

x / px

UK

Tena horizontale

μ = ...

A + B = CGr. piasmenteC = 24

C = ...

Foro quadato...

e² = ...

2) Equazioni di Lagrange e linearizzazioni nell'intorno di P₀ (θ₀,φ₀)

Q: cF=Ta+TΦ

T= T_a+Γ_aμθ̇₂

T_a=1/2 μ (â_ag)² θ̇_o²+M_P - Q - M_P - V - q_acc gμ a₂+ H_o

q=q_a (θ_A) + e_a a πq + g + b μ g q

... (Skipped non-readable characters)

H₂(256 - 3π)

=... (math not detailed)

Q: Ta = H₂(256-3π) 40(6-π)

U₂ = 1/2 μg (k̇²T ...)

T = 1/2 μ [(λ θ̇₂φ̇² + gq γ₂] -2.61 g

... (Equations continued)

(other terms not fully clear due to image quality)

OCV

• massa M lunghezza 2L
• conf. naturale k(R,1)
• conforme orizzontale
• F_eq K>0 -KOA -KOB

A⊂q = q₀

• svolgimento

pian orizzinale —> p. pos = costante U = U_eq + U_ad + aut. = -k l² [sen(θ-φ)] * sen(sωq) U_eq - ½ kω² - ½ k (2ländθ-φ) > tutto il resto è costante

Q_eq: ∂U/∂θ = -k l² [(θ-q)∂ cos(θ-q)] = 0 -kl² [cos(θ-φ)sin{sωq + ωcosωqsenθωq}] = 0

C_ad:[cosωq] = 0 q≠0 —> cosωq≠0 θq = π/2 | sin2q = 0 θ_q: π/2

∂U/∂u = + kl²[sen{(θ-u) + sen{σωq}]

∂U/∂q| = q=q_q = q = -2kl²[σωq] >0

θ_q: π_2 instabile

θ_q 3π/ stable

Svolgimento

A)

1) Determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio del sistema

Forze conservative → calcolo di potenziale

U_TOT=U_El+U_P0+U_R0+U_C0+U_CA+U_R1+U_CV1

U_P0, U_R0, U_C0 sono indici arbitrari, ho posto arbitrario. R_p=(3/4)R; F_A(t-sinθ)

OG(5,-R(1+3/2)) OA(0,R(1+3/2)) CA(3;0)

U_el=1/2Ks² U_P0=-Mgx₀ CD=(3/2)Rcosβ+3/2Rcosθ

U_C0=1/2Kg_out=-Mg, M_g+m_d=1/4MR²Please download images

U_R0=1/2J(ω₀+3/2ω₂)

U_R=1/2J(4/5ω₁)ω₁₂=JMg+dMgR=MgR

B_π=∫πsinβdβ; M_R²37π/4=β

U_R=1/2_int2J(MJω₁+ω₁)(π/2)ω²

U_Tot=AK(MJ+LR²)ω²

U_Equil=AKs²-3/2Mgx₁cos²πR+Mog

σ=G_mg

5/06/2013

LAMINA M R foro R/4

z = 0

ASTA M L z K

X = 0 A = 4L

K = 3Mg/2R

-K3 φ K > 0

Vincolo Asse OBA φ (t)

1. Configurazioni di equilibrio del sistema e studio stabilità

• OA = (0; 0; 4L) OP = (R cosφ, R sinφ, 0) OM = (0; 2/3R cosφ, 4L - 2/3R)
• OB = (0; 2/3R cosφ, 4L - 2/3R sinφ)
• OG = (2/3 cosφ, 2/3 sinφ, 0) BP = (R cosφ, R (sinφ - φ senφ), 2/3 R cosφ - 4L)

U_o = -Mg R2₀ + U_e cost.

= -Mg (L - 2/3R cosφ) - 1/2 K (4L² senφ - 2/3R cosφ) + cost.

= Mg R₀ cosφ - 4Mg L_y + 1/2 Mg [ (Polinomio φ 4L cosφ )] cost.

= Mg R cosφ + Mg 4R senφ + 4Mg L cosφ + cost.

• Q₀ = Mg R cosφ = 0
• Q_φ = Mg R senφ + Mg R senφ + 4 Mg L senφ = 0
• cosφ = cosφ = φ = π/2

• tgy = y sin( 3x ); 4₃ R tg = x 212 = 3/2
• x(y) = 3/4; y = cost φ = cosφ
• sinφ cosφ φ = φ

φ = Mg R < R cosφ -

θ_o = 0 φ = -Mg R cosφ / -φ θ_o = π