Meccanica razionale - Schemi per risolvere esercizi di esame + esami svolti e commentati

STATICA

1. Analizzo Forze Agenti

ϕ, F₀, F_e, F_asta

2. EQ. CARDINALI (STATICA)
• R^(e) = 0
• M^(ω) = 0
• R_x = 0
• R_y = 0
• M^(u) = F x braccio = 0

→ scegli come polo quello + conveniente

→ attento se c'è l

Tante be soluzioni

ϴ₁ = ϴ₂ = ϴ₃ = ϴ₄

→ EQUILIBRI

NB

• Se ϴ₁ = ϴ₀, ϴ₂ = ϴ₀ dice
• ϴ₀ = arccos ( ) ⇒ Equilibri condizionati
3. Trova I_R e I_ϴ per le diverse soluzioni

STATICA

1. Analizzo Forze Agenti
   • , F_p, Fascia
2. EQ. CARDINALI (STATICA)
   • R^(e)=0
   • M_(u.n.)=0
   • R_x=0
   • R_y=0
   • M^(c)_(u.n.)=F×braccio=0

   tab. soluzioni

   • ₁-_________, ₂- ____________ ⟶EQUILIBRI

   NB se ₁=_c, ₂=_d

   • _o=arccos(_) ⟶ Equilibri condizionati
3. Trova I_d e I_g per le diverse soluzioni

STABILITA'

1. Posizione CM

   (P0 - O) = λ_^ i_^ + ʲ_^

2. Lunghezza MOLLA

   L² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²

3. EN. POTENZIALE

   V = mgʸ + 1/2 k ||L||² - F ×

   F = COSTANTE (= CONSERVATIVA) con x = dist. punto in cui agisce F = 0

4. Derivate

   ∂V/∂S , ∂V/∂Θ

5. Configurazioni di EQUILIBRIO

   { ∂V/∂S = 0 ∂V/∂Θ = 0

   → Q₁ = (S₁, Θ₁)

6. STABILITA'

   Per ogni q scrivo la MATRICE HESSIANA H(q):

   • Matrice DIAGONALE

     A + ε B + ⇒ STABILE

     A - ε B + ⇒ INSTABILE

   • Matrice NON DIAGONALE

     Det > 0 ⇒ A + ε B + ⇒ STABILE

     Det < 0 ⇒ INSTABILE

   ∂²V/∂S² ∂²V/∂S∂Θ ∂²V/∂Θ∂S ∂²V/∂Θ²

senΘ → π - Θ cosΘ → Θ

tgΘ → π + Θ

TRIANGOLO

I_ML = σ∫₀^a dx ∫₀^f(x) dy = σ∫₀^a f(x)dx

f(x) = f\[\left(\frac{a - x}{a}\right)\]

= σ∫₀^a \[\left(\frac{f\left(\frac{x}{a}\right)}{a}\right)\] dx

= \[\frac{σ}{a}\] ∫₀³ f(x)dx = \[\frac{σ}{3}\] ∫₀^a f(x)dx

= \[\frac{σ}{3}\] ∫₀^a \[\left(\frac{a \times x}{a}\right)\] dx

= \[\frac{σ}{12}\] R² <- \[\frac{ax}{R²}\] o

= \[\frac{m}{a}\] R² = \[\frac{mR²}{6}\]

I_s = I_zz (P₀) + mP_0xP_0y²

I_zz (P₀) = mr²

I_zz (O₀) = \[\frac{3mα²}{a}\]

I_zz = m2 α² → m2 α²

= \[\frac{1}{6}\] mα²

I_xx = \[\frac{1}{6}\] m \[R² + 7α²\]

I_a = I_zz + mP_0x || P_0αO1

= σ_ - m \[\frac{h}{3}\] a

I_ML => normale; senza Huygens

I_zz = Huygens

I_zz (O') = I_zz (O₀) → Mr \[\left(\text{dist.} P₀\] nel triangolo)²→ Ms → \[dist. α lα nella figura\]²

• a = b
• b = α + \[\frac{0}{3}\]

I_zz (O₁) = I_zz (P₀) + Mr dist. Po rispetto letti Huyens - Mr dist. Lomg e lungo x rispetto (x₁y₁)

• \[\frac{h}{3}\left(\frac{h}{3}\right)\]
• \[b + \frac{a - b}{3}\]

Huygens

I_u(O) = I_u(R_O) + M |RO|²

I_σ(O) = I_σ(R_O) + M |PO - QI|²

> O se figura adiacente asse

CM

x₀ = ∫₀^M x dm / ∫₀^M