Meccanica razionale - Schemi per risolvere esercizi di esame + esami svolti e commentati

STATICA

1. Analizzo Forze Agenti: _φ, F_p, Peso_m
2. EQ. CARDINALI (STATICA)
   • R^(e) = 0
   • M_(u/v) = 0
   • R_x = 0
   • R_y = 0
   • M_(e/u) = F x braccio = 0

   ...scegli come puo quello conveniente...

trova Θ₁, Θ₂, Θ₃, Θ₄ → EQUILIBRI

NB Se Θ₁ = Θ₃, Θ₂ = Θ₄ allora Θ_o = arcocos(...) → Equilibri condizionati

3. Trova D₂ e F_G per le diverse soluzioni

Stabilità

1. Posizione CM
2. Lunghezza Molla
3. En. Potenziale
4. Derivate
5. Configurazioni di Equilibrio

Stabilità

Per ogni Q scrivo la matrice Hessiana H(Q):

• Matrice diagonale
• Matrice non diagonale

Lagrange

• Grl -> num. coord. lagrangiare
• Reazione CM (P₀ = O1 s...)
• Devii V_P0
• En. potenziale

V = mg y₁ + k (lung. molla_n )² / 2

se ho 2 corp. V = V₁ + V₂

• En. cinetica -> corpo collegato in O

T = 1/2 I(O)₁ Θ²

I(O) = 1/3 m e²

-> corpo NON in O -> T = 1/2 m v_c² + 1/2 I(O) Θ²

↓

I(O) = 1/12 m e²

Se ho comp. durata

I₃₃ = I₃₃ + I₃₃

Min. dist. P_c - sistema n²

Lagrangiana

ℒ = T - V

• Derivate

∂ℒ / ∂q_i , ∂ℒ / ∂˙q_i

• Eq di Lagrange

d/dt (∂ℒ / ∂˙q_i) - ∂ℒ / ∂q = 0

-> da cui si ricavi q(t) = ...

• I eq. cardinale -> unita con la precedente mi fornisce B(t) = ...

* Se ti dai F forza viscosa in B

1 - F_i^NC = λ ∂b_i / ∂q

2 - Q_q^NC = F_i^NC ∂b_i / ∂q

3 - d/dt (∂𝓁 / ∂˙q_i) - ∂ℒ / ∂q = -Q^NC / ∂q

Q_q = forze generalizzate di Lagrange = F_lambda ∂ f / ∂q

Tutte tranne φ

Ponendo Q_q = 0 trovo config. di equilibrio

Puro rotolamento ^&vec;S = RΘ

Totale:

I = I₁ + I₂ = I₃

I_u = ⁴/₃ m₁ ℓ² - 5 m₂ ℓ² - m₃ ℓ² + ^ℓ2/₁₂ + ^ℓ2g/₄

(...)

tg²θ = ^{2 I_w}/_{Iu Iw} → per θ = ^π/₂ ⇒ tg∞θ = ∞ ⇒ I_u = I_w

= ⁴/₃ m₃^ℓ2/₁₂ - m₃ℓ^{g/₄ = m₂ ℓg/₃ + 25 m₂ ℓ2/₁₆- m₃ ℓ2/₁₂ = m₃g/₄ = λ2 + λ m₃}

con ℓ = ^√/₂

σ = ^m₂/_ℓ²/4 = ^m₃ℓ2/₁₂ = ^m₃/₂ → m₂ = ^{π ℓ2/4 12/19 - π/₈}

²⁰/64 m₂ ℓ²/4 m₃ ℓ²/12 - ^{ℓ2./12 m₃}

λ² = + ^ℓ2g/₄ = ^m₃/₄ = ^{5 ℓ2 = ℓ2g/₄ = πℓ2m/₈5 ℓ2/₄}

λ = ¹/₂ √^{9 - π}/₅8

- φ equilibrio

φ_q = k L senφ = 0

Nel equilibrio φ = π/4

φ_q = k L √2

p_e - P_e - mg = 0

P_e = mg

A_tuto P₀ (M₁ + M₂) φ_pe = 0

P_be (M₁ + M₂ + m) g

Teorema: sul campo ond uguale ed opposta

Att = h̅

M = 3m

BC = 2R

I_μ = I_μ(P₁) + m_s (p - 0)²

x_A = 1/m ∫₀^π ∫₀^R σ r cosθ dr dθ

y_μ = 1/m ∫₀^π ∫₀^R σ r senθ dr dθ

I_μ(P₁) = σ ∫₀^π ∫₀^R r³ cos²θ dr dθ

= -2/m R² cosθ|₀^π

N.B.

ma e Ρo

Τ r_d

= m_c (R - d)² - m_c d²

Compito 1

• Configurazioni di equilibrio
• Stabilità
• Reazioni all'equilibrio

m, l

R

R = O = _l/₂ senϕ^ = (s + _l/₂cosθ)ỹ

AO = s

BO = s + lcosθ

V = V_g + V_H + V_K2

V = mg_l/2cosθ - ₁/₂ ks² + ₁/₂k(ls + l²cosθ)

→ V = -mgs - mg_l/2cosθ - ₁/₂kk2 + kls + k_l²cosθ

∂V/∂s = -mg + 2ks + kls cosθ = 0

∂V/∂θ = mg_l/2 senθ - k_Lsenθ - KL₂cosθ senθ = 0

→ s = mg_l - klcosθ/2k

mg_l/2 senθ - lsenθmg - KL²senθcosθ = 0/l²cosθsenθ

mg_l/2 senθ - lsenθmg + KL²senθcosθ = -l²cosθsenθ = 0

ϑ₁ = 0 → s₁ = m_g - kl/2k

senθ = 0 → ϑ₂ = π → s₂ = ..._g + kl

ϑ₃ = π/2 → s₃ = m_g/2k

ϑ₄ = 3π/2 → s₄ = m_g/2k

2k    0

det(H_w) =   mgR₂πR^*-β m A²k₂

          -2R₂π^*2=mgδR+β2R^*4<0

(   )

16/11/19

MATRICE D'INERZIA

^NB: per calcolare la matrice d'inerzia centra la figura!!

Ix(O) = Io

Iy(O) = 0

mΦ

TOT.

Ix = πmR²/4π-1 + mR²/4 = 5mR²/4π-1

Ix = 0

Iy = πmR²/4π-1 - m^R_x

Iy = 0

IU = (π-1)mR²/4π-1

CENTRO DI MASSA

XC = -B/Sπ-2

(πR² - αR²/4)

EN POTENZIALE SISTEMA

2M

V = (M+m)g_{(s-3/4Lcosθ)} + 1/2ns² - F(s-Lcosθ)

∂V/∂s = -2Mg + ns + F

∂V/∂θ = 2Mg3/4Lsenθ - FLsenθ

s = 2Mg/F

θ₁=0

senoθ = 0

θ₂=π

oppure F = 3/2Mg

∂²V/∂s² = k

∂²V/∂θ² = 3/2MgcosθL - Fcosθ

∂²V/∂s∂θ = 0

H(θ₁) = |k 0| |3/2Mg-F|

STABILE se 3/2Mg > F

H(θ₂) = |k 0| |-3/2MgcosθL + FL|

STABILE se 3/2Mg < F

EN CINETICA

(P_o-0) = 3/4Lθ̇ senθ cosθ i + (ṡ - 3/4Lθ̇ senθ) j

V² = 9/16L²θ̇² cos²θ + ṡ² + 3/2ṡLθ̇ senθ + 9/12L²θ̇² sen²θ

T = 1/2M(ṡ + 9/16Lθ̇² + 3/2ṡLθ̇ senθ) + 1/2θ̇²(2/12 - 1/12)

Metto l'origine nel P_o rispetto asse

1/3(P_o-0)=1/3(A)-(3/12)-2M

= - 1/3ML² + 33/32ML² - 9/16L²2M

= 23/96ML²