Riassunto esame Geometria e Algebra lineare, Prof. Nannicini Antonella, libro consigliato Lezioni di algebra lineare - note ed esercizi svolti di geometria analitica, Antonella Nannicini e L. Verdi

Cauchy Schwartz

|| ≤ ||x|| ||y||

se v.l. {x,y} ->

x = λx (dipendente da {x pari λ})

allora

[√ . √ = √() . √]

se lin. indipendenti, allora x + μy ≠ 0

x = λy, y = μx

>>0 sempre perché x non è multiplo

di nessun

x = λx1 + μx2 > 0

{ x,y>2 - ≤ 0,

< ≤ 0,

√

|| ≤ ||x|| ||y||

Matrice quadrata

si divide in una parte simmetrica e una antisimmetrica ed

una dim.

Sia A = A_s + B_A

= A_s + B^'_A

allora A = (A + A^') + (A _sA)

2

_as = A^'_s

_A = -A^'_a

B_a = -^EA

allora

A_s + B_A!= A_s + B_A

A [S]=V (generutoa) V= insieme dei vettori liberi, da alm. fierta, basatos 2 element lin. inl.

Teorema della base

doti v₁, vk e v uzciue v∈un su K ad alm fiunta ≠0 allarso V uno base di v seguirivo Vi, veriuca che V₁,...Vk∈[VI|{\prod}] siano cuis (inendente alte compta)vi scosse gase ucrove di base a V uno sistemo generatore, se corcon non soppo posci e veria eglo chq [?..--Vk-₃∈([V₁,V₂]) se cosi alters {[V₁,V₂]}sarro ind. e foramano uno base e sarro i generatore skel su su K (vyr) senno si pregunta gene a trovra uno base

Applicazione composta

Due essere lineari, cioè t,v,w se g: u→v e f: v→w, f e g devono essere linearig∘f(u1,u2)=f(u1,x1)+f(u2,x2)

torti u,v,w u1, u2∈U sono lineari se g perché g∘f(l1u1+l2u2)=g∘f(x1u1+u2x2)=g∘f(u1,x1)+f(u2,x2)=l1(g∘f(u1))+l2(g∘f)u2l1∘(f∘g)≡Iv allora ≡

Inversa

f: U→V uno opp. lin è invertibile in T u ' e sua inversase g∘f ' U ' =Iv

f invertibile ⇔ biunivoco

f: u→vu f' U ' v→DU v2=f' (u2)g(f)^u=f(g)univoco

L'inversa è unica perché se esistessero f(g)=Iv f ' =^ltori 2 con stessi dim.sli diverseallora f(g)=Ivnocndrmes per proddutoSia P u stesso dimenzionp →_P f = D ∈ anulo e unocininate del finiteidei vole che assume le basic

Teorema di uguaglianza

Siano u V e w svK di dim. finita sono isomorf.⇔hanno le stesse dim.

dim∪=dimK∪+dim In∪=tra se le dim. di caruo è uguale a quella di parteota, ogni insulto ad u e' gliacecto a w eesulsce LimDis (ux ilc)

2) stessa dim. u=v⇔w

f(u,)=w ^{personate ogfinita} esonanuux f (u+u', ) λ∘ f(x) + λ' f(v=f)=→wsubetictia

Teorema di Binet

det(AB) = det(A)det(B)

• > Se A, B, K(n) --> det(AB) = det(A)det(B)
• ingoli i.e. det A^t A^t = I (detA) ==> dunque detA  ≠  0 o == 1
• matrici simili hanno det = a
• > A *A^C =B C = 1_n c invertibile allora detA = detC^-1 otB detC
• detA = otB

det A = (1, n).

dunque per le soluzioni accanto sono uguali o s

determinante dice che le colonne accanto sono uguali le a.t = 0

se due colonne c.v. sono uguali a.e. sono comb. 1n ac.colonna allora --i.e.

sostituisco le soluzioni nelle matrici e calcolo le det. poi divido per il det di A, si usa <--> A ≠ 0 altrimenti non si fa  ≠  detA = detB

Cramer

AX = w se A invertibile, A ≠ o e se x ∈ k allora ammette una unica sol.

• X = ω : A^t = det(A_1 ; … ; A_n)^t / detA

Poi so che w ∈ ∞ centra immagine di AX quando sostituendo uno nei una colonna, che mi de' lo w.

-- XXA'

<-->

(X^A^−1 ) = (A(XA)^−1 )