Riassunto esame Geometria e Algebra lineare, Prof. Nannicini Antonella, libro consigliato Lezioni di algebra lineare - note ed esercizi svolti di geometria analitica, Antonella Nannicini e L. Verdi

Cauchy-Schwarz Inequality

| x y |² ≤ | x x | | y y |

Se x = λx (dipendente da x prendi λ), allora | x x^' x x^'' | = | < x, x > | ↔ | x y | ≤ | x x | | y y | = | x x |^1/2 | y y |^1/2

Linear Independence

Se lin. indipendenti, allora x + μy ≠ 0 (< x + μy, x + μy > ) > 0 sempre perché x non è moltiplicato per nessun

Some Mathematical Expressions

< x^' , x^'' x^' , y >² < y , y > λ² = < y , y > | x y |² + λμ 2 < x , y > - λ² | y y | + μ² | y y |² | ↔  x , y

< x , y >² - x² x y < y , y > ≤ 0 | x y | < || x || || y ||

Square Matrices

Si divide in una parte simmetrica e una antisimmetrica, eol^o clina.

Sia A = A_s + B_A λ allora A = (A + A^T) + (A - A^T) / 2

Properties of Matrices

Se A_S tA = A_S B_A t = - cA B_A allora

A^s t + B_A^T = A^s + B_A

A^s- A^s =  B_A - B_A^T

A^S - A^S = B_A - B_A'

A^S' = A^S     B_A' = B_A

Inverse of a Matrix

Unicadati AB^- = BA^- allora

A^-T AB = BA = A^B| = B^A

<  agli  | ab =>       < ab = B^A|T  | A = A^-T = A'

Alternativa

1. A^' A^- I = A |

 Unico perché A' = A^- I A' I = A^- I

Invertibility

Annobalitible <=> Det ≠ 0

Ipotesi A( A₁₁ A₁₂) Inv. ≤ Det ≠ 0 inverso a  A^-1(A₂₁ A₂₂)

 Facendo A = (A₂₂ - A₁₂| colonna )

Additional Mathematical Properties

Parentesi che₁(A,B) = i AB - BA     Struttura metrica su Mn,m

Se A, B = B allora 8 < AB, B > < AB >

Traco B_A = - B < A, > + g B < | A|  = 0 → B = B^am - 0^| traco < x,y >

Conclusion

Non ci sto: una → fai f nel D modulo |A B|, <  n ⟮0 Sia A com A < B > < >→ G > |[A; 8C] + C[B,C]A| e T[A B B]

Sinutrito anche x morta G, ≈ ,... Cauchy Schwarz < x | x > || y ||² | < x | y > < x | y >^-1 >

Uguaglianza vale se sono lin. dip. perché se x = λx (dipendente da x perché λ) allora< v, x >, x < x, x >

< x | y > = || x || | | y | | se [luss lin. indipendenti allora x + y ≠ 0 x + y, x + y > 0 sempre perché x non € multiplotico con nessun < x', x' >, x', y' >, y' >, y', y' > y', y' > λ² - y < y | y > || < x, y >² - < x, |x| |y > | y > < x, y > | < || || < | y | | y | ||

A = A^s + B_A A = A^s + B'A

Matrice quadrata si divide in una parte simmetrica e una antisimmetrica, eol² unica, dim. Sia A = A^s + B_A allora A = (A + A') + (A - A') / 2

A = A^s' + < A | A Inversa matrice unicadati AB = B = I allora AB = B' = IB ' B B'B = BA^-1; A' = A^-1; A' == A; | unico perché A', A'AA'^-1; A'^-1; = A^-1; A^-1

Invertibile <=> det ≠ 0

Ipotesi ( A₁₁ A₁₂) inv.