Elettromagnetismo, onde e relatività - esercitazioni

ESERCITAZIONI

Esercizio 1

Lungo una curva uniformemente con λ = dq. "Densità lineare al cambio". Voglio calcolare E al punto qualunque P dello spazio.

E⃗ = λ/4πε₀ ∫ r⃗²

Per trovare il campo elettrico dovrei sommare tutti i campi elettrici generati dai carichi in punti infinitesimi, sommandomi dei contributi elementari facendo uso di:

dE⃗ = λ dq/4πε₀ r²

quindi possiamo scrivere dE = 1/4πε₀ dq/r².

Così c’è

Ab= ∫_da^db

Per:

E = ∫ dE = 1/4πε₀ ∫ dq/r² cosα

o: r=R/cosα

E⃗=Rcosα

dq=λ(R)dα = R/cos²α dα

E = 1/4πε₀ ∫ cosα/R² cos²α = 1/4πε₀R ∫ sin2α

Risultato

E=λ/2πε₀R

Esercizio 2

Abbiamo una superficie uniformemente caricata e densità superficiale al cambio. σ = dq/dS Lasco ch é al diametro R.

E = 1/4πε₀ ∫ dq/r²

Voglio scrivere dS in coordinate polari

dS = dz dy = |J| dadβ = (∂x/∂ρ ∂x/∂β) (∂y/∂ρ ∂y/∂β) | | dρdβ = (∂z/∂ρ ∂z/∂β)

x = ρcosθ

y = ρsinθ

R = ρcosθ dz _~^~ =

cosθ sinβ + sinθ cosβ cosθ sinβ

ρdρdβ

dσ

→ ₀

1 4πε₀ R²

= ∫ 4πε₀

sinθ 1 cosθ 1 = R² cosβ

ε - cosα R da col cosθ = 1 4πε₀ ∫ ∫ sopra dα dθ

= 1 2⁴

4πε₀ ^~_~ ∫ ∫ in da = G ^{(-cosαθ )| π/2} ₀ =

Esercizio 3 Flusso dell’anello esterno carico attraverso una superficie gaussiana data dal piano infinito uniformemente carico.

Se scelgo che le linee sono perpendicolari Il flusso dell’anello parallelo ad

un piano del cilindro nullo. Questo vuol dire che mi basto vedere pure suo lato del cilindro

’’ = ∫dφ = ∫ε dS = ε ∫as = E 2παε

qint = q = θ C₂π² ε₀ ε₀ ε₀

= q 2πr₂ = q 2πrε = ε₀ [ g] = q 2ε⁰

Esercizio 4 Flusso dell’anello generato da un filo uniformemente carico Unione teorico ad casco φ_ε = ^~_~ qint ε₀ esaminavo una superficie gaussiana data da un cilindro di raggio qualsiasi sulla retta λ = dq (dev’era lineare ovviamente)

φ_ε = [ε dσ ]^∞ ∫ε dS = εγ ^∞ as = εγ 2πε

Nota sulla soluzione particelle imponendo q = costante

^2q/_3RC = ^p/_2RC = 9p - ^pC/₂

Da cui q(t) = 9q(m0) e^{-t/_3RC + pC/₂} e quindi ho lim _t->0 q(t) = 9q(m0) + ^pC/₂ => 0 = 9q(m0) - ^pC/₂

q(t) = ^pC/₂ (1 - e^-t/_3RC)

e i_B = dq/dt = ^pC/₂ (1 + e^-t/_3RC) + ^t/_{+ 3RC})

= ^p/_2R e^-t/_3RC/C

ESERCIZIO 9

Ricomporre il circuito

Nota subito che un microammeter ha mancanza massima nascosta nel ramo e R, sa che qui è una resistente collegata con cortocircuito!

Abbiamo che dq/dt = i_S

Il problema richiede di trovare gli orari dell'ammassarsi quando è a regime arrivo = q = costante

se q è costante

• dq => i₅ = 0
• i_A = i₂ + i₅ (modo a)
• i₃ = i₂ + i₆ (modo b)
• i_N + i_A = 0 (modo c)
• Kirchhoff applicato ai nodi

• ^p/_C - i_NR_N = 0
• p - ⁱR₃R₂ + i₂R₂ = 0
• i_R = i₂ + i₃
• p - i_NR_N - i₂R₂ = 0
• i₃ = i_A ^R₁/_{R2 + 2R2}
• p = i₂ ^{R₁R₃R₂R₃ + R₁}

Abbiamo inoltre che dal nodo P si ottiene che

i(t) = i₁(t) + i₂(t) = 2i₂(t) + costante

0 = i(0) - 2i₂(0) + cost = cost = -2i₂(0)

=> i₁(t) = i_L(t) - 2i₂(0)

Ora consideriamo le maglie grosse

V(t) = i(t)R - 2di₁/dt = 0 e i(t) = i₂(t) - 2i₂(0)

=> di₁/dt = -2di₂/dt

V(t) = i(t)R - 2di₁/dt = 0

∫di₁/dt + i(t)R - V(t) = 0

di₁/dt + R/L i(t) - V/L(t) = 0

Comincia a studiare l’omogeneo associato

di₁/dt = R/L i(t) = ∫i₀