Esercitazioni elettromagnetismo

Flusso di un vettore

Sia superficie orientata S, un campo vettoriale e un elemento di superficie con il vettore normale.

Superficie orientata: superficie su cui ogni ds è misurabile e ha una forma orientato con la normale che ne denota la comunitazione vettoriale.

Flusso di vettore a rispetto a una superficie S

φ_s = ∫_S A cos θ ds = ∫_S A ⋅ cos θ ds

Un vettore genera flusso nullo su superfici parallele. Genera flusso massimo su superfici ⊥ al vettore.

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• Sistemi di coordinate
  • Assi ortogonale
  • Terna destrorsa (x̂ × ŷ = ẑ ŷ × ẑ = x̂ ẑ × x̂ = ŷ)
  • Invarianza per punti

Vettore posizione

OP = (x_P, y_P, z_P)

OQ = (x_Q, y_Q, z_Q)

• ∫_S ds = lim_ΔS→0 ∑ ΔS_n = ∫_S ds
• |z_P - z_Q| = |R|
• √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

(x₂ - x₁)(y₂ - y₁) - e²

SISTEMA CILINDRICO

P(ρ, φ, z)

P(x, y, z)

• versori ortonormali
• terna destrorsa
• φ tangente alla sup. lat.
• ρ ⊥ alla sup. lat.

versori cambiano direzione a seconda della posizione di A

A = A_ρ ρ̂ + A_φ φ̂ + A_z ẑ

CILINDRICHE

• ρ = √x² + y²
• φ = atan_y/x

CARTESIANE

• x
• y
• z

CILINDRICHE

• ρ
• φ
• z

CARTESIANE

• x = ρ cos φ
• y = ρ sen φ
• z

ρ̂ = cos φ x̂ + sen φ ŷ + 0 ẑ

φ̂ = −sen φ x̂ + cos φ ŷ + 0 ẑ

ẑ = 0 x̂ + 0 ŷ + 1 ẑ

x̂ = cos φ ρ̂ − sen φ φ̂

ŷ = sen φ ρ̂ + cos φ φ̂

ẑ = ẑ

φ deve essere noto poiché i versori cambiano a seconda dell’angolo

Coordinate Sferiche

3 versori

r̂, θ̂, φ̂

r̂ è normale alla superficie della sfera

θ̂, φ̂ sono tangenti

φ̂ è piano || al piano xy

r = raggio

θ = angolo formato da r̂ e asse z

φ = angolo formato da asse x e dalla proiezione di r̂ sul piano xy

r ∈ [0, ∞[

θ ∈ [0, π]

φ ∈ [0, 2π]

Da cartes. a sferiche

r = √(x² + y² + z²)

θ = atan(√(x² + y²) / z)

φ = atan(y / x)

Da sferiche a cartesiane

x = r sen θ cos φ

y = r sen θ sen φ

z = r cos θ

• Ar = [sen θ cos φ, sen θ sen φ, cos θ]
• Aθ = [cos θ cos φ, cos θ sen φ, -sen θ]
• Aφ = [-sen φ, cos φ, 0]

ds = r dθ dφ

ds = z dφ dz

Volume sfera

V = ∫dV

dV = r² sen θ dφ dθ dz

V = ∫∫∫ r² sen θ dφ dθ dz

Tutte a distanza 3 da ogni asse

A(0,3) B(6,2)

Sovrapposizione degli effetti

U = U₁ + U₂ + U₃ + U₄

U₂ = 2U₁ + 8,67⋅10^-16 V

E = -∇U

In questo modo sommo quantità scalare e poi me calcolo il gradiente.

E = ∇U

∇U = ∂_U/∂x² + ∂_U/∂y²

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CAMPI ELETTROMAGNETICI

Potenziale elettrostatico

V(x,y) = 5x² + y² V

U_e = 1/2 ε∫E² dv

E = -∇V = -∂V/∂x⟶ -∂V/∂y

⇨ -10x, -14y V

U_e = ε/2 ∫∫∫(100x + 14y²)

U_ed = 23 976

Condizione reale conducibilità σ raggio = b

H⟶, E⟶, P_oss...?

Ho simmetria cilindrica perché dipende solo da z, e la figura è un cilindro H = H(z) φ