Formulario elettromagnetismo

ELETTROSTATICA NEL VUOTO

F = K       &hat;r         → forza interazione (legge di Coulomb)

        r²

₁

𝑓 = Q      r = Q      → campo elettrico

       a³4πε₀       4πε₀r²

𝑓 = ∫d𝑓 = ∫        r →

       6

                                      Q1Q2

       4πε₀r³

𝑓𝑓 = → d = densità carica volumetrico

                                      𝘀 = densità carica lineare

                                      ε = densità carica superficiale

φ(𝐳) =                 É                            → flusso campo elettrico (Gauss)

                                      S         ¹∫ ρldz,     ∫ c Δ A,     ∫ ⁴rC

𝐱            Ô                 =                     𝕏‥ ζ &XopfΛ;

V =        → energia potenziale

                           q_x,y,z,tV

div ∇E = ︲ ∇ε =                                    → divergenza campo elettrico

&& E = <<>> densità carica volumetrica

U = q_1q2q₃V

div v εε = ︲ ρ(x,y) ɹ²¹ ^N εε𝓅

vo = 6(1+πβ ⫓ _∑len mon(1))

Eq due ⋐®

→ gr. εε

V(ε) = ¼&x; εεε (x,y) εεε<H>

V_AB = - ∫e Ø ε = → differenza di potenziale elettrostatico

∇V = '

ELETTROSTATICA NEL VUOTO

F = K _q1q2 ^âr / r² → forza tra cariche (legge di Coulomb)

Ē = Q _âr / 4πε₀r² → campo elettrico

Ē = ∫ dĒ = ∫ _Q / 4πε₀r³ r

• ρ densità carica volumetrica
• λ densità carica lineare
• σ densità carica superficiale

∮_S Ē ân dS = Q_int/ε₀ → flusso campo elettrico (Gauss)

U = q₁q₂ / 4πε₀r → energia potenziale

• U = 1/2 ∫ ρ(x,y,z,t) V(x,y,z,t) dz → dist carica volumetrica
• U = 1/2 ∫ G(x,y,z,t) V(x,y,z,t) Σ δ
• U = 1/2 ∫∫ [ ρ(x,y,z,t) V(x,y,z,t) dz + G(x,y,z) V(x,y,z) δz ] Σ

div Ē = ∇ Ē = ρ(x,y,z,t)/ε₀ → divergenza campo elettrico

eq di Maxwell

V(r) = q/4πε₀r + V₀ → potenziale elettrostatico

V_AB - V_CB = - ∫_A^B Ē · dℓ → differenza di potenziale elettrostatico

- ∇V = Ē → gradiente del potenziale elettrostatico

ELETTROSTATICA NEI CONDUTTORI

Ėint = 0

Et = 0

CONDUTTORE È EQUIPOTENZIALE

SUP. ESTERNA È EQUIPOTENZIALE

CARICA ESTERNA (Qint = 0)

CARICO SUPERFICIALE

Ė = En ân (En = σ/ε₀)

• PROPRIETÀ DEI CONDUTTORI

C = Q/V (conduttori)

C = Q/ΔV (condensatori)

• CAPACITÀ ELETTRICA

• SFERA = 4πε₀R
• CONDENS.CARICO = 4πε₀ R₁R₂ / R₂-R₁

ELETTROSTATICA NEI DIELETTRICI

P̅ = q d̅

• MOMENTO DI DIPOLO

V(P̅) = Q d cosθ / 4πε₀ r²

E(r̅) = -∇ V(1, r, Θ, φ)

• ∂V/∂r 1/r ∂V/∂Θ 1/sinΘ ∂V/∂φ

C₀ = Q/ΔV₀ = ε₀ S/d

• CAPACITÀ CONDENSATORE CON IL VUOTO

C = εr C₀ dove εr = ΔV₀/ΔV

• CAPACITÀ CONDENSATORE CON UN DIELETTRICO

Ė = E͂c - E̅p

|σe| = |σe+σp| / ε₀

CAMPO ELETTRICO COND. E DIELETTRICO

[|σp| = [(εr-1)/(εr+0.ε)]

<P̅> = P̅²/3εrT = αc.E̅

• MOMENTO DI DIPOLO MEDIO (αc COEFF. POLARIZZABILITÀ)

P̅ = dp/db = ε₀ Xe E̅

• MOMENTO DI DIPOLO

P̅ = ε₀ [(εr-1) E̅]

σ_e = • n   →   d

ρ_e = -∇•P   →   d

Q_e = ∫_S σ_edS = 0   →   d

∇•D = ρ   →  1a eq Maxwell nei dielettrici

D = Ε₀Ε_r • E   →   d

E = D / Ε₀Ε_r

CORRENTE ELETTRICA

I = dq/dt,   dI = d/dt ∫ ρ_g dτ = - ∫ J•ndS   →   d

dq=ln&partial;q = qnV_d dS cosα   dove   σg = qnV_d   d

V_d = ΔV/2 = (|-e_◻E |)/m Δt &= E • (|-e_b| 2/m) = kE   velocità di deriv

Δτ = δΛτ =   E/m Δt = (2E′ ||)

∇•J = ∂ρ/∂t   →  

Eq continuità corrente elettrica

∇•J = 0,   ΣI=0   d   Kirchhoff

  - ΣΔV_i...

R = ΔV/I = ρ  ...   bisogna resistenza ( - serie   R_T=R₃+R₁)

    bisogna ( ⋅⋅   (vRef | Parm. | RL) )

W = δI/δt = d/dt (V^A-V^B)=I • ΔV   potenzi elettrici

(•••••••••••) w :3: Δ²V/R)

dW = •••l •• (G • &alphar;&surd; ••conductibilità)

E_emf= |∫ Eds - V^A - V^B   forza elettromotrice

  E = I/ ∫ S  

  E =| JdS/m   |  

  dove Pα ⊂ la remanenz...

CAMPI ELETTROSTATICI

• filo indefinito

\( \vec{E} = \int d\vec{E} = \int_{0}^{\infty} \frac{2 \lambda \cos{\theta}\, dl}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos{\theta}\, dl}{r^2} \)

so che: \( dl = r \, d\theta \quad r = \frac{R}{\cos{\theta}} \)

\( \Rightarrow \vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0} \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos{\theta} \, R \, d\theta}{R^2 \cos^2{\theta}} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \)

quindi \( \vec{E} = \frac{\lambda}{2\epsilon_0 R} \)

• piano indefinito

\( dQ = \sigma dS = \sigma 2\pi r \, dR \)

\( d\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\cos{\theta}\, dQ}{r^2} = \frac{\sigma R \cos{\theta} \, dR}{2\epsilon_0 r^2} \)

\( \vec{E} = \int d\vec{E} = \int \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left[ \frac{R\cos{\theta} \, dR}{r^2} \right] \quad dove \quad dR = \frac{x \, d\alpha}{\cos{\alpha}} \quad e \quad r \approx \frac{x}{\cos{\alpha}} \)

\( = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int \frac{x\cos{\alpha}}{x^2} \, d\alpha = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int \sin{\alpha} \, d\alpha = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} [-\cos{\alpha}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \)

quindi \( \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \)

• spira e quello

\( d\vec{E} = \frac{\lambda \cos{\theta}\, dl}{4\pi \epsilon_0 x} \quad so \quad che \quad r^2 = R^2 + x^2 \)

\(\cos{\theta} = \frac{x}{r}\)

\(\Rightarrow \vec{E} = \int \frac{\lambda \cos{\theta}\, dl}{4\pi \epsilon_0 x} = \frac{\lambda \cos{\theta} 2\pi R}{2 \cdot 4\pi \epsilon_0 x} = \frac{\lambda \cos{\theta} R}{2\epsilon_0 x^2}\)

quindi \( \vec{E} = \frac{\lambda R x}{2\epsilon_0 (R^2+x^2)^{3/2}} \)

E = ∫₀^R 2σzrdr / 4ε₀(z² + r²)^3/2 = 2σ / 4ε₀ ∫₀^R 2r / (z² + r²)^3/2 dr =

pongo x = (z² + r²)

2rdr = dx

= 2σ / 4ε₀ ∫₀^R x^-3/2 dx = 2σ / 4ε₀ [₀^R] (z² + r²)^1/2

= 2σ / 2ε₀ (1 - z / √(z² + R²))

CAMPO MAGNETICO STATICO

B = _μ0I/(4π) ∫ (dl × r) / r³

· filo   _μ0I/(2πr)

· spira   _μ0I/2        R²/(R² + z²)^3/2,       _μ0I/(2r)

· solenoide   μ₀In

· lastra   _μ0σ/2

F = q V × B       (usare per calcolare F  della  V  una q)

F = I ∫ (dl × B) = (μ₀/4π) (I₁I₂) (ρ/d)

forza interazione magnetica tra 2 fili di lunghezza finita

F = (μ₀/2πd) (I₁I₂)

dove: interazione magnetica tra 2 fili infiniti

• correnti equivalenti → attrazione
• correnti non equivalenti → repulsione

∮(B)  =  −∫Bdℓ = μ₀I = μ_0σconc    circolazione di B : B_sup(μ_0σsup)

N.B.

All'esterno il campo magnetico = 0

Se  presente  bobina  nel  conduttore  :  pertanto  A_sup  considerata  nel  vuoto

I ⊂ I/ _σsup

Se  I = I  / qualsiasi momento  =(conc)  nel 

All'esterno di un conduttore  utilizzata  I

formule moto  a carica

r = (_mV0/qB₀)       se il moto è qualsiasi uno V

P = V_II (2mπ/m)/qB₀   passo quanto si innalza elettr.

T= (2_πm)/(qB₀)

X = 2R = (2mV₀)/(qB₀)       dove si forma  q nello spettrometro

∇E = ρ/ε₀ ;   ∇B = 0 ;   ∇ × E = 0 ;   ∇ × B = μ_0σconc

CAMPO MAGNETICO VARIAZIONE TEMPO

Fel = E . q forza elettrica

Fm = q v0 B0 forza magnetica

Li pongo uguali se voglio E

Vc = - Q/C [1 - e^-t/τ] circuito RLC

Vrc = E0/R [1 - e^-t/τ] circuito RL

εem = - dΦ(B)/dt = ∫ Ede forza elettromotrice indotta

ΔV = - ∫ Ede differenza potenziale

Pdisp = Iind² R potenza dissipata

Q = ∫ Idt = ∫ demi/R = ∫ dΦ(B)/R

Iind = demi/R corrente indotta

ϕ(B) = ∫ B nds flusso di B

N.B. nel caso di rotazione E = v x B con v = ω x R --> E = ωRB

εem = -L dI/dt = -dΦ(B)/dt autoinduzione

Φa(B) = ∫ B nds

Φ(B₁) = ∫ ∫ B nds = M I₁ mutuainduzione (M coeff. mutuainduzione)

Ue = ∫ uεdτ = ∫ E²dτ energia elettrica [uε densità d'energia = 1/2 ε0 E²]

Um = ∫ umdτ = ∫ B²/2μ0 dτ energia magnetica [um densità d'energia = 1/2 B²/μ0]

Φ(B₁) = B S cos(ω0 t)

εem = ω0 B0 S sin(ω0t) generatori alternati

ONDE ELETTROMAGNETICHE

E = E₀ cos (kx - ωt + φ)

B = E₀ cos (kx - ωt + φ) / c

onde piane

E = E₀ cos (kx - ωt + φ)

B = E₀ cos (kx - ωt + φ) / c

onde sferiche

N.B. le onde si possono anche indicare con E = E₀ e^{i(kx - ωt + φ)} andando a considerare E₀ a dose parte reale

infatti in modo complesso di onde è E = E_oe^{i(kx - ωt)}, E₀₂ e^{i(kx - ωt)}

costanti che onde: K = 2π/λ = ω/v

λ = v/ν

numero d’onda

ω = 2πν

lunghezza d’onda

U_em = 1/2 ε₀E² + 1/2 (B²/μ₀) = ε₀E²

densità energia onda elettromagnetica

P = c²ε₀E x B

|P| = cε₀E² = E² / z

vettore di Poynting (il modulo = alla intensità)

I = c U_em = c ε₀E² = E² / z

intensità d’onda

( z = √(μ₀/ε₀) = impedenza )

< I > = c/2 ε₀E₀² = E₀² / 2z

intensità d’onda media

P_r = I z / c = E² / 2c

pressione radiazione

I₁ = I₀ cos² (α) (1°)

I₂ = I₀ cos² (2α - α₁) (2°)

lineare se φ = 0

circolare se φ = π/2 e E_o1 = E_o2

ellittica se φ ≠ π e φ ≠ π e E_o1 ≠ E_o2

tipologie di polarizzazione

Ottica

interferenza

<I> = <I₁> + <I₂> + 2E_0,1E_0,2 ¹/_T∫ |g(t)| dt

<I> = <I₁> + <I₂>

se ω₁ ≠ ω₂ e k₁ ≠ k₂

<I> = <I₁> + <I₂> + 2√(<I₁><I₂>) ^cosΔΦ/₂

se ω₁ = ω₂ e k₁ = k₂

→

<I> = <I₁> + <I₂> + 2√(<I₁><I₂>) costruttiva ΔΦ = n2π

<I> = <I₁> + <I₂> - 2√(<I₁><I₂>) distruttiva ΔΦ = (n+1)π

<I> = <I₁> + <I₂> quadratura ΔΦ = ^π/₂ + n2π

<I> = 2 <I₀> [1 + cosΔΦ] I_c = I₁

2 fenditure

<I> = 2 <I_∞> [1 + cosΔΦ]

con ΔΦ = kΔx = kdsinθ

pto massimo ΔΦ = 2kπ con m = 0

pto minimo ΔΦ = [2m + 1]π

figura interferenza

n fenditure

<I> = I₀ ^{sin [(NΔΦ)/₂]}/_{sin² [^ΔΦ/2]}

pto massimo assoluti ^ΔΦ/₂ = mπ

pto massimo relativo N ^ΔΦ/₂ = [2m + 1] ^N/₂

pto minimo assoluti N ^ΔΦ/₂ = mπ

N.B. P = N² I₀ ΔΦ_eff ≥ P_min

N² ≥ ^P_min/_I0ΔΦeff