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Un vettore è caratterizzato da due parametri: dal suo modulo e dal suo versore.
A = | A | . α
In un sistema cartesiano, un vettore è caratterizzato da 3 componenti
ES:
A = x Âx + y Ây + ž Âz
| A | = √(Ax2 + Ay2 + Az2)
α A = A / | A |
Esercizio 1
Dato il vettore: A = 4Âx - 3ž
Risolvere αA
| A | = √(42 + 32) = √25 = 5
Esercizio 2
Dato B = -\hat{x} + \hat{y} \sqrt{2} - \hat{z} calcolare versore e modulo
\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|}
|\vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}
\hat{B} = -\frac{\hat{x} + \hat{y}\sqrt{2} - \hat{z}}{\sqrt{6}}
Due vettori sono uguali se hanno uguale modulo e hanno versore coincidente.
\vec{A} = c_A |\vec{A}| \quad \vec{B} = c_B |\vec{B}|
\hat{A} = \hat{B} \Leftrightarrow |\vec{A}| = |\vec{B}| \quad e \quad c_A = c_B
- Dati i vettori \vec{A} = \hat{x} A_x + \hat{y} A_y + \hat{z} A_z e \vec{B} = \hat{x} B_x + \hat{y} B_y + \hat{z} B_z, il vettore somma \vec{C} è dato:
- \vec{C} = \hat{x} (A_x + B_x) + \hat{y} (A_y + B_y) + \hat{z} (A_z + B_z)
- Il vettore differenza \vec{D} è dato:
- \vec{D} = \hat{x} (A_x - B_x) + \hat{y} (A_y - B_y) + \hat{z} (A_z - B_z)
ESERCIZIO
Sia f(x,y) = x + y , integrale su S = {0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 4}
d = dx dy
∫04 ∫04 (x + y) dx dy =
= ∫04 [x2/2 + yx]04 dy =
= ∫04 8 + 4y dy = [8y + 2y2]04 = 32 + 32 = 64
volume racchiuso tra S e la funzione.
Es 4
Data una lastra quadrata di lato L, calcolare la carica totale contenuta nella lastra quando la densità di carica superficiale assume queste espressioni:
- s = K [/²] {0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y ≤ L}
- s = Bx [/²] {0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y ≤ L}
- s = (xy + D cos(kx)) [/²] {0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y ≤ L}
a) Q = ∬0L ∬0L K dx dy
= ∫0L [Kx]0L dy = ∫0L KL dy
= [KLy]0L = K L²/
Esercizio 4
Trovare la carica elettrica distribuita in un cubo di lato 2m
contenuto nell'origine
ρv = 50x2cos(π/2 y) [μC/m3]
Q = ∭V ρv dv
dv = dx dy dz
= {-1 < x ≤ 1
{-1 < y ≤ 1
{-1 < z ≤ 1
Q = ∫-11∫-11∫-11 50x2cos(π/2 y) dx dy dz =
= ∫-11 50x2 dx ⋅ ∫-11 cos(π/2 y) dy ⋅ ∫-11 dz =
= [50x3/3]-11 ⋅ [2/πsin(π/2 y)]-11 ⋅ [z]-11 =
Esercizio 3
Dato le cariche puntiformi q1 = 5 mC e q2 = -2 mC poste in P1(2,0,4) e P2(-3,0,5) calcolare:
- Il campo totale generato dalle due cariche nel punto P (1,3,7);
- Calcolare la forza esercitata su q' = 1 mC posta nel punto P (1,3,7).
a
b
Etot = E1 + E2 = q1/4πε0 ( R - R1 / |R - R1|3 + q2 ( R - R2 / |R - R2|3 )
R1 = 2x + 4z
R2 = -3x + 5z
R = 2 - 3y + 7z
R - R1 = (λ−2)x + (3y) + (7−4)z = x - 3y + 3z
|R - R1| = √(1 + 9 + 9) = √19
R - R2 = (λ3)x + (−3) + (7−5)z = 4x − 3y + 2z
|R - R2| = √(16 + 9 + 4) = √29
Etot = 10−3/4πε0 [ 5/√19 (x−3y+3z) 2/√29 (4x−3y+2z) ]
Esercizio 1
Dato un foglio posto nel piano z = -3 con -2 ≤ x ≤ 2 e -2 ≤ y ≤ 2, con fs = 2(x2+y2+8)3/2 emm2
Calcolare il campo elettrico nell’origine P(0,0,0)
d = qr/4πε0|R|3 · ds = dx dy (carse singolo elemento)
dσe dφ = fs dx dy
|R| = √(x2 + y2 + 8)
qe = -5x - 5y + 2z3/x2 + y2 + 8
d = -(^x - ^y + 2^z)·2(x2y2+9)3/2
4E0 \(\sqrt{z2+h2}\)0
\(\frac{2Z_{2} E_{0}}{2Z_{2} E_{0}}\)
\(\frac{ZA}{2E_{0}}\) \(\sqrt{z2+h2}\)
\(\vec{E}\) = \(\frac{10^{−8}}{2.8.85\times102}\)
= 80.54 \(\frac{V}{m}\)
Calcolare la forza esercitata dal campo su una carica \(q = 50 nC\) posta in \(P(0,0,h)\)
Fq = \(|\vec{E}|= 50.10{−8}\) 80.54 \( = 4.10−6\frac{2}{4} N\)
Che cos’è E = 0.8?
\(E = \frac{\sum_{Z} S }{2\varepsilon_{0}}\)
(espressione in un piano infinito)
Potenziale (V)
Esercizio 1
Dato il campo E = ẋ 2(x + 4y) + ŷ 8 V/m calcola la differenza di potenziale fra i punti P2(2,6) e P1(0,0)
V21 = V2 - V1 = - ∫12 E · dℓ
Facciamo tutto in funzione di x
sostituiamo 3x al posto di y e al posto di dy sostituiamo 3dx.
dℓ = ẋ dx + ŷ 3 dx
dℓ = (ẋ + ŷ 3) dx
V21 = - ∫02 E ∣y=3x (ẋ + ŷ 3) dx
= - ∫02 [ẋ 2(x + 12x) + ŷ 8x · (ẋ + ŷ 3)] dx
= [prodotto scalare, somma del prodotto delle componenti]
V(R) = 1/4πε ε₀ (4 · 10⁻⁶/√16 + 5 · 10⁻⁶/√26) =
(20/6/2πε ε₀ - 9/6 √26) = - 5866 V
ESERCIZIO 6
Calcolare il potenziale V nell'origine generato da 4 cariche di 20 μC poste ai vertici di un quadrato posto nel piano x-y e di lato l = 2 m.
V(R) = 1/4πε ε₀ ∑i=14 qi/|R-Ri|
R = (0,0)
R1 = x - y
R2 = -x + y
R3 = -x - y
R4 = x - y
|R - Ri| = √1 + 1 = √2
Tutti hanno come modulo √2:
|R - Ri| = √2 ∀i
ESERCIZIO 4 (15/03/2021)
= ̂ 3 ( − ) + ̂ (2 + 5)
= ₀
= ∬ ⋅̂ d =
[ = ₀ ]
= ∬ ₀ ⋅̂ d = ₁ + ₂ + ₃ + ₄ + ₅ + ₆
Analizziamo l'espressione del compo. la direzione che contirbuta lungo x-y quindi il contirbuto lungo z sarà nullo.
₁ + ₂ = ∫₀³ ∫₀³ ₀ |_{=3} ⋅ ̂ dydz + ∫₀³ ∫₀³ ₀ |_{=0} dd =
= ∫₀³ ∫₀³ ₀ [̂ 3(3 − ) + ̂ (6t + 5)]⋅{̂ } dg dz +
+ ∫₀³ ∫₀³ ₀ [̂ (-3) + ̂ 5]⋅(-̂) dy dz
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