Appunti Elettromagnetismo

Scenario:

Q_int = ø

V_int = V_o

E = E₀

Definizione:

Conduttore = regione z dove le cariche sono libere di muoversi.

Campo interno:

Sia conduttore z

Ē_int = ø

Dimostrazione:

Per definizione le cariche sono libere

F_q = ⌀

per l'equilibrio devono annullare la forza => sennò si sposta

F_q = q Ē => Ē_int = ⌀

Carica interna:

Sia conduttore in equilibrio

∫_int = ⌀ somma algebrica delle cariche interne = ⌀

∫_int = Σ ▽·Ē = ⌀

Potenziale interno:

Sia conduttore:

V_int = V₀ → Conduttore equipotenziale

Dimostrazione:

dV = ∇V ⋅ d = ⃗ ⋅ d = 0 → dV = 0 → V = costante = V₀

Carica totale interna:

Sia Σ superficie interna al conduttore

Q_int = 0

Dimostrazione:

∫_Σ ⃗ ⋅ d⃗ = Q_int / ε₀ = 0

Q_int = 0 → Q_Σ = Q → la carica la vedo riflessa sulla superficie

Campo esterno di superficie:

Sia conduttore

Sia Σ superficie esterna del conduttore con normale ⃗

⃗ = Q / ε₀ * ⃗ → Teorema di Coulomb

• Grandezze esterne non dipendono da esterno
• La dipendenza spaziale di E_L, V_D, G_E dipende solo della geometria

Dimostrazione di equazione di Laplace → funzioni armoniche non in programma

G =  Q_L 4π ε₂

E = G   ε₀

  ↑→ 0     r → ∞   ↑→ E → ∞

Scenario dielettrico

Riduce l'effetto del campo a causa della polarizzazione opposta. Dunque attenua il campo aumentando la capacità.

Dipolo:

• ^P = q^d
• Polarizzazione ^P = Δ^P / Δ^z
• Spostamento dielettrico: ^D = ε₀^E + ^P
• Maxwell: ∫_∑ ^D·d^∑ = Q_lib

Dipolo:

^P = q^d momento di dipolo elettrico

[P] = C m

^P è orientato da -q a +q

Energia di interazione:

Sia dato ^P-

Sia dato ^E

U_e = -^P·^E Energia di interazione dipolo-campo

• ^U_e tende a diminuire ⇒ ^P//^E
• ^P tende ad allinearsi con il campo ^E

Energia elettrostatica:

U_e = ∫∫∫_Vc 1/2 D · E dv

u_e = 1/2 D · E

Forza elettromotrice

∮ E⃗ • d l⃗ ≠ 0

La forza elettromotrice è la forza necessaria per spostare la carica lungo la linea di circolazione.

Per muoversi in assenza ha bisogno di F_est che vincano gli ostacoli:

F_est è F_est

Definizioni:

E_m = ^F_est/_q campo elettromotrice

E_m è V/m

Ф_C E⃗_m • d l⃗

fem elettromotrice

[E] V

In realtà non è una forza, ma un lavoro nell'unità di tempo, fatto dalle forze esterne nello spostare la carica.

Legge di Ohm generalizzata:

Circuito aperto:

E⃗ = E_m

ℓ ∆ V

E_m E⃗

E_m

q |E⃗_m | E⃗

∮ E⃗ • d l⃗

Circuito chiuso:

3^ISN E, E_m

OHM generalizzato locale

fem dipende Nastro + resistenza = OHM c integrale

Campo magnetico

• Carica puntiforme in moto:
  • Sia q carica in moto V
  • Sia r vettore con origine in q
  • B = ...
  • Dualismo con E

Campo di corrente elementare:

• Sia idl elemento di corrente
• Sia r vettore contato in idl
• dB = ...

Dimostrazione:

• Detto n-cariche ...
• dB = ...

Principio di sovrapposizione degli effetti:

• Sia idl₁, idl₂, ..., idl_n una distribuzione di correnti
• B(idl₁,idl₂,...,idl_n) = Σ B(idl_i (x))

Calcolo diretto del campo magnetico:

• Sia corrente ...
• B = ... metodo diretto

Φ H⋅dℓ = i int

∇×H = J cond

∂H/∂t = K conv

*Maxwell (Ampere) con sole le correnti di conduzione

Relazioni costitutive:

• B = B (H) Relazione generale
• B = μ 0 μ H Relazione lineare, ambiente isotropico
• M, χ m, H χ m = suscettività magnetica

Materiali:

• Diamagnetici: μ r ≅ 1 - 10⁻⁵ ≪ 1 (polarizzazione per lacune)
• Paramagnetici: μ r ≅ 1 + 10⁻⁵ ≫ 1 (polarizzazione per orientamento m.p. ≠ 0)
• Ferromagnetici: B = B (H)

Domini di Weiss: Singoli atomi - molecole

φ₁₂ = L di₁/dt - M₂₁ di₂/dt

φ è costituita da contributi di auto e mutua induzione

M₁₂ approssimato tra 2 spire

M₂₁ = M inverso

Non dipende solo dalla geometria

φ₂₁ = i₂

Esempio: circuito RL

φ_emf = φ_L + φ_R

φ_tot = φ_tot,_o + φ_e = φ_L + φ_R = 0 => φ - L di_i/dt - Ri = 0

-L di_i/dt = R - φ

-L di_i/dt = Ri

L ∫ di_i/i = ∫ R dt

-L/R ∫ di_i/i = ∫ dt

-L/R log_e [φ - Ri]_to = [t]_to

log_e (φ/R - i) = -t/τ

φ/R - i = e^-t/τ

-i φ/R = e^-t/τ

i = φ/R (1-e^-t/τ)

IV Maxwell locale:

∇ x = μ₀ + μ₀ε₀ ∂/∂t

• ε₀ ∂/∂t origina una densitá di corrente ̅
• L'accoppiamento ε₀ ∂/∂t permesso maximuito onda

Dimostrazione:

∮ ∇ x • d = ∮ μ₀ • d + ∮ μ₀ ε₀ ∂/∂t • d

=> ∇ x = μ₀ + μ₀ ε₀ ∂/∂t per arbitrariato di Σ

IV Maxwell superficiale:

• Sia Σ superficie di separazione tra 2 mezzi
• Sia ₁ ₂ campi nei mezzi
• Sia corrente di superficie che fluisce lungo Σ

=> Δ x n = μ₀

Dimostrazione

h < l

∮ B • d = μ₀ iᴇᴛ ∘ μ₀ ε₀ ∫ ∂/∂t • d_Σ

nΔ⤑ x ⤑u = μ₀

Corrente di spostamento:

= ε₀ ∂/∂t_{diritto di corrente di spadamento}

[] = A/m²

= ε₀ ∫ ∂/∂t • d_{corrente di spostamento}

[] = A