Domande aperte analisi numerica

T

trangolari dove L è la matrice triangolare inferiore e L la matrice trangolare superiore.

a a a l 0 0 l l l

11 12 13 11 11 12 13

a a a l l 0 0 l l

= x

21 22 23 21 22 22 23

a a a l l l 0 0 l

31 32 33 31 32 33 33

T

A = L x L

Si effettua il prodotto tra matrici e si uguaglia ad A e si determinano gli

elementi di L. T

si pone L =y

2 x

xT

Si pone A =L L =C dove

x L x y=C

1

y

1

y

1- si risolve per 2

y

3 xT T

Trovati i valori di y si pone L =y -> si calcola la L superiore e

x

impostare il sistema con incognite (x x x ).

1 2 3

07. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 8, 4, 2; 4, 6, 0; 2, 0, 3] e C=[ 1; 1; 1]. Determinare la matrice L di Cholesky.

12. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0.17; -0.25; 0.25; -0.20] e due cifre decimali.

13. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.25; 0.44; 1.11; 2.72] e due cifre decimali.

14. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[3, -2, 0; -2, 4, 2; 0, 2, 2] e C=[1; 4; 4]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un

vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0] e due cifre decimali.

Iterazione 1

Iterazione 2

15. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[1; 7; 16; 14].

Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0]

e quattro cifre decimali.

16. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali.

17. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0.25; 0.44; 1.11; 2.72] e due cifre decimali.

18. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.400; -0.085; 0.390; -0.800] e tre cifre decimali.

19. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 1; 1; 1; 1] e tre cifre decimali.

20. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ -0.250; 0.500; -0.170; -0.085] e tre cifre decimali.

21. La propagazione degli errori: cos'è, quando si verifica e come si può intervenire.

Cosa è?

Gli errori si amplificano durante la risoluzione numerica di un problema matemantico e la questione di come si propaghi l’errore

sul risultato è di fondamentale importanza.

Un algoritmo risolutore non è altro che una serie di operazioni elementari, il suo risultato finale dipende però da come gli errori si

amplificano nei vari passaggi successivi dell’algoritmo stesso.

Quando si verifica?

causa dell’accumularsi degli errori di arrotondamento dovuto al numero elevato di iterazioni effettuate per risolvere

Si verifica a

sistemi di grandi dimensioni.

Come si può intervenire?

Utilizzando i sistemi interattivi si può tenere l’errore sotto controllo fissando a priori una tolleranza dell’errore che va però

verificata ad ogni iterazione tra il risultato ottenuto e quello immediatamente precedente. Verificata la convergenza verso un valore

l’entità dell’errore è trascurabile.

che è la soluzione e fissata una tolleranza E s

22. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ -4, -1, 0, 1; 0, -2, 1, 0; 0, 1, 3, 1; 0, 0, 1, -2] e C=[1; 0; 1; 2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Gauss

Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali.

23. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, -1, 0, 0; -1, 4, -1, 0; 0, -1, 4, -1; -1, 0, -1, 4] e C=[-1; 2; 4; 10]. Eseguire due iterazioni con il

metodo di Gauss Seidel, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e due cifre decimali.

Lezione 18

05. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[1; 7; 16; 14]. Eseguire due iterazioni con il metodo di

Jacobi, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0.2500; 1.4000; 2.6667; 3.5000] e quattro cifre decimali.

06. Dato il sistema lineare Ax=C dove A=[ 4, 1, 0, 0; 1, 5, 1, 0; 0, 1, 6, 1; 1, 0, 1, 4] e C=[ 1; 7; 16; 14]. Eseguire due iterazioni

con il metodo di Jacobi, partendo da un vettore iniziale x(0)=[ 0; 0; 0; 0] e quattro cifre decimali.

11. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Bisezione utilizzando come

valori di partenza x1= 2.5 e x2= 3.

12. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Bisezione utilizzando come

valori di partenza x1= 2 e x2= 3.

13.Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando

come valori di partenza x1= 1 e x2= 2.

14. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di

partenza x1= 0 e x2= 2.

15. Nel metodo di Bisezione, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Cambia qualcosa

Per decidere quando interrompere le iterazioni del metodo di bisezione è

necessario un criterio.

L’ idea più semplice è quella di interrompere i calcoli quando l’errore scende al di sotto di un

valore prefissato.

Per valutare l’errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata, si

utilizza la stima dell’errore approssimato :

E

a

Dove x ratt è il valore della radice nell’iterazione corrente; x rprec è il valore calcolato

nell’iterazione precedente.

Bisogna precisare che E viene preso in valore assoluto in quanto ciò che

a

interessa è la sua grandezza e non il segno.

Quando | E | diventa minore di un valore di riferimento prefissato allora si

a

interrompe il calcolo.

16. Data la seguente equazione non lineare f=[ 46, 0, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di

partenza x1= -4 e x2=1.

17. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Bisezione utilizzando come valori di

partenza x1= -10 e x2= 1.

08. Nel metodo di Falsa Posizione, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Cambia qualcosa

Per decidere quando interrompere le iterazioni del metodo di è

Falsa Posizione

necessario un criterio.

L’ idea più semplice è quella di interrompere i calcoli quando l’errore scende al di sotto di un

valore prefissato.

Per valutare l’errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata, si

utilizza la stima dell’errore approssimato :

E

a

Dove x ratt è il valore della radice nell’iterazione corrente; x rprec è il valore calcolato

nell’iterazione precedente.

Bisogna precisare che E viene preso in valore assoluto in quanto ciò che

a

interessa è la sua grandezza e non il segno.

Quando | E | diventa minore di un valore di riferimento prefissato allora si

a

interrompe il calcolo.

09. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione

utilizzando come valori di partenza x1= 0.5 e x2= 2.

10. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, 0, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione

utilizzando come valori di partenza x1= 0 e x2= 2.

11. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione

utilizzando come valori di partenza x1= 2.9 e x2= 3.

12. Data la seguente equazione non lineare f=[ 46, 0, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione,

utilizzando come valori di partenza x1= -4 e x2= 1.

13. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -9, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa posizione

utilizzando come valori di partenza x1= 2 e x2= 3.

14. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1/6, 0, -1/6]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione

utilizzando come valori di partenza x1=0.03 e x2= 10.

15. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1/6, 0, -1/6]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione

utilizzando come valori di partenza x1= 0 e x2= 10.

16. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando

come valori di partenza x1= -0.5 e x2= 0.

17. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, 3, 1]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione utilizzando

come valori di partenza x1= 0 e x2= 4.

18. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo della Falsa Posizione

utilizzando come valori di partenza x1= -10 e x2= 1.

Lezione 23

07. Determinare lo zero della seguente equazione non lineare f=[ 1, 0, -1, -2] con il metodo di Newton Raphson utilizzando

come valore di partenza x0= 2 e due cifre decimali.

08. Determinare la radice positiva della seguente funzione f=[ 1, -1, -2] con il metodo di Newton-Raphson utilizzando come

valore iniziale x0=2 e quattro cifre decimali.

09. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -1, -2]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Newton-Raphson

utilizzando come valore di partenza x0= 2.33 e due cifre decimali.

10. Determinare la radice negativa della seguente funzione f=[ 1, -1, -2] con il metodo di Newton-Raphson utilizzando come

valore iniziale x0=-0.7 e quattro cifre decimali.

f(x )=-3

3

11. Data la seguente funzione f=[ 2, -3.46, 0.8, -1.39]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Newton-Raphson utilizzando

come valore iniziale x0=2 e quattro cifre decimali.

12. Data la seguente equazione non lineare f=[ 1, -2, 3, 6]. Eseguire due iterazioni con il metodo di Newton Raphson

utilizzando come valore di partenza x0=-5/4 e tre cifre decimali.

13. Nel metodo di Newton Raphson, quando ed in che modo si decide di interrompere le iterazioni?

Come criterio di arresto per il metodo Newton-Raphson si può utilizzare la formula che stima l’errore

approssimato E consentendo di valutare l’errore senza conoscere il valore esatto della radice cercata:

a

ratt rprec

Dove x il valore della radice nell’iterazione