Domande aperte Analisi Matematica

VEDI QUADERNONE

05. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ex.

06. Scrivi il polinomio di Taylor di quarto grado, centrato in 0, di f(x)=e^(xsin x).

07. Scrivi il polinomio di Taylor di terzo grado, centrato in 0, di f(x)=cos ln(1+x).

08. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ln(1+x).

09. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=cos x.

10. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=sin x.

Lezione 32 – Funzioni monotone, estremi di funzioni

14. Enuncia il teorema che pone in relazione la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima.

Data la funzione f nell’intervallo (a, b) che sia derivabile in (a, b)

a) se la sua derivata prima f’(x) >0 allora la funzione f è crescente in (a, b)

b) se la sua derivata prima f’(x) <0 allora la funzione f è decrescente in (a, b) ∈ (x1, x2) tale che

Per cui per il teorema di Lagrange, presi due punti x1, x2 nell’intervallo (a, b) con x1 < x2, esiste un punto x0

15. Fornisci la definizione di punto di minimo relativo e di punto di minimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di

minimo relativo non assoluto. ∈

Data la funzione f nell’intervallo (a, b) si dice che il punto x0 (a, b) è:

a) il punto di minimo relativo per f se esiste un intorno x0 tale che l’ordinata di x0 sia <= delle ordinate di tutti gli altri punti di quell’intorno.

b) il punto di minimo assoluto per f nell’intervallo (a, b) se esiste un punto x0 tale che l’ordinata di x0 sia <= delle ordinate di tutti gli altri punti nell’intervallo (a, b)

Qui abbiamo in a il punto di minimo relativo e in x2 il punto di minimo assoluto

16. Fornisci la definizione di punto di massimo relativo e di punto di massimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di

massimo relativo non assoluto. ∈

Data la funzione f nell’intervallo (a, b) si dice che il punto x0 (a, b) è:

a) punto di massimo relativo per f se esiste un intorno x0 tale che l’ordinata di x0 sia >= delle ordinate di tutti gli altri punti di quell’intorno.

b) punto di massimo assoluto per f nell’intervallo (a, b) se esiste un punto x0 tale che l’ordinata di x0 sia >= delle ordinate di tutti gli altri punti nell’intervallo (a, b)

Qui abbiamo in x1 il punto di massimo relativo e in b il punto di massimo assoluto

17. Cosa sono i punti stazionari? Come sono legati alla ricerca di massimi e minimi relativi?

Premesso che perché una funzione sia derivabile in essa devono esistere i limiti destro, i punti critici o di stazionarietà di una funzione f sono punti in cui la derivata prima

di una funzione f si annulla e quindi accade che la disuguaglianza tra i due limiti sia =0

In linea di massima quindi in quel punto coincidono anche i massimi e i minimi sia relativi che assoluti.

Ciò nonostante non è detto che la funzione derivabile in un punto con derivata nulla, abbia proprio in quel punto un massimo o un minimo.

Per esempio nella funzione il punto x0 = 0 è il punto di stazionarietà in quanto vi si annulla la derivata prima, ma NON è il punto di massimo o minimo relativo

in quanto la funzione risulta crescente sia a destra che a sinistra del punto x0.

Lezione 34 – Studio grafico di funzioni

03. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), definita e derivabile per x>-1, passante per l'origine, con limite per x che tende a -1 pari a

+∞, f(2)=1 massimo, f'>0 solo per 0<x<2, y=0 come asintoto orizzontale. Determina il numero di soluzioni dell'equazione f(x)=k al variare di k reale.

04. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x^3-3x, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi.

05. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=|x|^3-3x^2, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare

lo studio della derivata seconda.

06. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=ln(x^2-2x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda. 2

07. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x^(e1-x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda.

08. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x^2-1)^(-1/2), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda. -1 1

09. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=(x^2-4x)^-1, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della

derivata seconda.

10. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), sapendo che: è definita e derivabile per x≠1, il limite per x che tende a 1 è +∞, y=2 asintoto orizzontale

completo, f'>0 per x<1 e per x>4, f(4)=0. Stabilisci il segno di f(x).

11. Traccia il grafico della funzione dispari f(x), definita per ogni x diverso da 0, con limite per x che tende a 0 pari a 1, f'>0 solo per |x|<1, f''>0 solo per

|x|>2, f(1)=2 massimo. Stabilisci se x=-1 è un punto di massimo o minimo, precisando se è relativo o assoluto.

12. Traccia il grafico della funzione f(x), definita e derivabile per x<0 unito a x>1, che tende a 0 in 0, con limite per x che tende a 1 da destra uguale a

+∞, y=x+3 asintoto obliquo completo, f(-1)=1/2 massimo locale, f(2)=7 minimo locale, f'>0 solo per x<-1 o x>2.

13. Traccia il grafico qualitativo di f(x), definita e derivabile per ogni x reale, sapendo che è pari, ha minimo uguale a 1 in x=3, f(0)=2, f'>0 per |x|>3,

f''>0 per |x|>1, il limite per x che tende a -∞ è +∞.

14. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x) sapendo che è definita e derivabile per x>0, il limite in 0 vale e, y=x/2 è asintoto obliquo, f'<0 per x<2, f'>0

per x>2, f(2)=1. Stabilisci il segno di f(x).

15. Rappresenta il grafico qualitativo della funzione f, definita per ogni x reale tranne in 0, che ha y=2 come asintoto orizzontale sinistro, x=0 come asintoto

verticale destro e y=x come asintoto obliquo destro, mentre il limite per x che tende a 0 da sinistra è 0, e la derivata di f è negativa per x<2 (dove definita) e

positiva per x>2, con f(2)=-2.

16. Tracciare il grafico qualitativo della funzione derivabile con continuità f(x), sapendo che il dominio è l'intervallo ]0,+∞[, x=0 e y=1 sono asintoO, f'(x)>0 per

0<x<2 e f'(x)<0 per x>2, f(2)=2.

Lezione 36 – Proprietà dell'integrale definito

01. Enuncia il teorema della media integrale e forniscine l'interpretazione geometrica. ∈

Il teorema della media stabilisce che se la funzione f nell’intervallo [a, b] è continua, esiste un punto c [a, b] tale che:

Dal punto di vista geometrico il teorema può essere interpretato affermando che:

• l’area al di sotto del grafico di una funzione non negativa nell’intervallo [a, b] è uguale all’area di un rettangolo avente: a)

come base la distanza (b-a) dell’intervallo

b) come altezza il valore della funzione in un punto interno ad [a, b]

Lezione 37 – Teorema fondamentale del calcolo integrale

02. Fornisci la definizione di primitiva di una funzione e l'esempio di una funzione f(x) e di una sua primitiva F(x).

La primitiva di una funzione f nell’intervallo [a, b] è ogni funzione F (x) tale che la sua derivata F’ (x) coincida con la funzione f nell’intervallo [a, b]

Ad esempio se f (x) =1 è una funzione, F (x)= x è una primitiva della funzione f (x) =1

03. Enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Data la funzione continua f nell’intervallo [a, b] → R, la funzione integrale

è derivabile in tutto l’intervallo [a, b] e si ha che: F’ (x) = f’ (x) dove F è una primitiva della funzione f

Lezione 43 – Serie numeriche

03. Spiega cosa sono le somme parziali di una serie e definisci la somma di una serie.

∈ N,

In una successione di numeri reali Yn con n sono dette somme parziali ad esempio le seguenti quantità (S = somma):

La somma di una serie di numeri rappresenta il limite della successione delle somme parziali.

Lezione 44 – Criteri di convergenza

04. Enuncia il criterio del rapporto per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

In una data serie numerica con termini positivi se accade che se:

a) la serie è convergente

b) la serie è divergente

Da segnalare che il criterio del rapporto per serie numeriche non stabilisce il comportamento della serie numerica se λ= 1

Lezione 45 – Altri criteri di convergenza e serie alternanti

10. Definisci la convergenza assoluta di una serie numerica e spiega come è legata alla convergenza (semplice) di una serie. Una serie numerica è

assolutamente convergente se è convergente la serie numerica dei suoi valori assoluti e ovvero:

Ogni serie assolutamente convergente è sempre semplicemente convergente. Non vale il contrario, in quanto una serie semplicemente convergente può divergere nel caso

si prenda in considerazione la serie numerica dei valori assoluti.

11. Enuncia il criterio della radice per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

Da segnalare che il criterio della radice per serie numeriche non stabilisce il comportamento della serie numerica se l= 1

12. Enuncia il criterio di Leibniz per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione.

Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza applicabile a serie aventi termini di segno alterno, secondo cui se una successione a termini positivi, quindi y1 >0 è

monotona e decrescente con , allora la serie converge e la sua somma è un numero positivo S <= y1

Lezione 48 – Revisione 3

01. Enuncia e dimostra un teorema su limiti, continuità o successioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. TEOREMA: ogni

successione estratta da una data successione regolare ammette lo stesso limite della successione data

02. Enuncia e dimostra un teorema sulle derivate o sulle loro applicazioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni.

(a, b).

∈ ∈

TEOREMA: siano f, g (a, b) → R derivabili in x Allora sono derivabili i x anche le funzioni: f + g, fg, αf per ogni α R, f/g se g (x) <> 0

03. Enuncia e dimostra un teorema sul calcolo integrale o sulle serie numeriche, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. TEOREMA:

data la funzione continua f nell’intervallo [a, b] → R, la funzione integrale

È derivabile in tutto l’intervallo [a, b] e si ha che: F’ (x) = f’ (x)

Dove F è una primitiva di f

Lezione 53 – Equazioni differenziali

01. S