Corpo appoggiato a un piano con all'estremità una molla

Corpo appoggiato a un piano con l'estremità una molla

Calcolo dell'allungamento della molla all'equilibrio

Un corpo di massa m = 5 kg è appoggiato lungo un piano inclinato liscio di angolo alpha = 30° e attaccato a una molla di costante elastica k = 40 N/m che si trova più in alto rispetto al corpo, stesa lungo il piano inclinato. L'estremità della molla dove non è attaccato il corpo è bloccata.

Si calcoli l'allungamento della molla all'equilibrio, detto (Delta)l. Dopo aver fornito al corpo una velocità iniziale di modulo v₀ = 5 m/s e verso in discesa, si trovi l'espressione della posizione in funzione del tempo, x(t), del corpo rispetto alla posizione di riposo della molla.

Se scegliamo come asse di riferimento uno parallelo al piano inclinato con verso in discesa, possiamo scrivere la forza totale che agisce sul corpo di massa m come:

F_tot = mg sin α - kΔl

da cui, essendo in equilibrio e quindi F_tot = 0 si ottiene l'allungamento della molla:

Δl = _{mg sin α}/^k

Usando i valori forniti m = 5 kg, alpha = 30° e k = 40 N/m, insieme al valore dell’accelerazione gravitazionale g = 9.81 m/s² si ottiene:

Δl = _{5 · 9.81 · sin 30°}/⁴⁰ ≈ 0.613 m

Equazione del moto e soluzione

Dopo aver fornito una velocità iniziale al corpo attaccato alla molla si può scrivere l’equazione del moto:

m _d²x/^dt2 = mg sin α – kx

dove x è la posizione della massa m rispetto all’origine dell’asse posta nel punto in cui la molla sarebbe a riposo. Ricordiamo che all’equilibrio il (Delta)l trovato precedentemente è la distanza dall’origine dell’asse così fissata. La soluzione dell’equazione differenziale mostrata precedentemente è della forma:

x(t) = A cos(ωt + φ) + B

con A, B, omega e phi costanti, essendo un moto armonico, infatti il corpo di massa m è soggetto ad una forza elastica e una forza costante. Calcoliamo intanto le due derivate:

_dx(t)dt = -Aω sin(ωt + φ)

e

_d²x(t)dt² = -Aω² cos(ωt + φ)

cioè

_d²x(t)dt² = -ω²[x(t) - B]

Inserendo le espressioni ottenute nell’equazione differenziale si ottiene:

-ω²[x(t) - B] = g sin α - kx(t)/m

da cui

(-ω² + k/m)x(t) = g sin α - Bω²

che deve essere un’identità per ogni t. Essendoci a primo membro una funzione di t e a secondo membro una costante si deve porre (essendo omega e A diversi da 0)

-ω² + k/m = 0

da cui

ω = √k/m

da cui si ottiene anche

g sin α – kB/m = 0

da cui

B = mg sin α / k

cioè B = (Delta)l. Si ha dunque

x(t) = A cos (√k/m t + ϕ) + Δl

Condizioni iniziali e soluzione finale

Poniamo ora, usando le derivate calcolate sopra, le due condizioni iniziali

• x(0) = Δl
• v(0) = v₀

ottenendo

cos ϕ = 0

da cui scegliamo, per comodità, phi = -(pi greco)/2 e

v₀ = - A _√k/m sin(-π/2)

da cui

A = _v0/_√k/m

L’equazione finale diventa quindi

x(t) = _v0/_√k/m cos (_√k/m t + ϕ) + Δl

Sostituendo i valori forniti m = 5 kg, k = 40 N/m e v₀ = 5 m/s, insieme al valore calcolato precedentemente (Delta)l = 0.613 m, si ottiene:

x(t) = ₅/_√40/5 cos (_√40/5 t - π/2) + 0.613