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Trigonometria

  • |sin α| ≤ |α|   ∀ α ∈ ℝ
  • -1 ≤ sin 2α ≤ 1   |   -1 ≤ cos 2α ≤ 1
  • sin2α + cos2α = 1
  • sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
  • sin(α - β) = sin α cos β - sin β cos α
  • cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
  • cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
  • sin 2α = 2 sin α cos α
  • cos 2α = cos2α - sin2α
  • 1 - 2 sin2α
  • 2 cos2α - 1

Prostafèresi

  • sin ρ + sin σ = 2 sin ρ + σ · cos ρ - σ
  • sin ρ - sin σ = 2 sin ρ - σ · cos ρ + σ
  • cos ρ + cos σ = 2 cos ρ + σ · cos ρ - σ
  • cos ρ - cos σ = -2 cos ρ + σ · cos ρ - σ

Tangente

  • tg(α + β) = tg α + tg β / 1 - tg α tg β
  • tg(α - β) = tg α - tg β / 1 + tg α tg β
  • tg 2α = 2 tg α / 1 - tg2α

PARAMETRICHE:

  • sin α = 2t/1 + t2 (VERIFICARE SEMPRE SE SI SCARTANO SOLUZIONI)
  • cos α = 1 - t2/1 + t2
  • tg α = 2t/1 - t2

ES.

sin x + cos x = 1

t = tg (x/2)

sin x = 2t/1 + t2 cos x = 1 - t2/1 + t2

2t + 1 - t2/1 + t2 = 1 + t2/1 + t2

2t2 = 2t

2t2 - 2t = 0

2t (t - 1) = 0 t = 0 ⋁ t = 1

t = tg (x/2)

x/2 = arctg 0 ⋁ x/2 = arctg 1

x = 0 ⋁ x = π/2

x = 2kπ ⋁ x = π/2 + 2kπ

LOGARITHI

  • log ( x1 x2 ) = log(x1) + log (x2)
  • log ( x1/x2) = log (x1) - log (x2)
  • log xb = b log x
  • loga X = logb X/logb a

Derivate:

f: x 0 R f è derivabile in x0 se esiste ed è finito

Derivate di funzioni elementari:

  • D xn = n xn-1
  • D loga x = 1/x log a
  • D ax = ax log a
  • D log x = 1/x
  • D ex = ex
  • D x1/n = 1/n x(n-1)/n
  • D sin x = cos x
  • D cos x = -sin x
  • D tg x = 1/cos2 x o 1 + tg2 x
  • D cotg x = -1/sin2 x
  • D arcsin x = 1/√(1-x2)
  • D arccos x = -1/√(1-x2)
  • D arctg x = 1/(1+x2)

Regole di derivazione:

  • D (f±g)(x) = D f(x) ± D g(x)
  • D (f·g)(x) = D f(x)·g(x) + f(x)·D g(x)
  • D (f/g)(x) = (D f(x)·g(x) - f(x)·D g(x)) / (g(x))2
  • D f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)
  • D g-1(x) = 1 / g'(g-1(x))

INTEGRALI INDEFINITI

  • ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
  • ∫ c g(x) dx = c ∫ g(x) dx

IMMEDIATI:

  • ∫ xb dx = xb+1/b+1 + c   -   ∫ sin x dx = -cos x + c
  • ∫ 1/x dx = log|x| + c   -   ∫ cos x dx = sin x + c
  • ∫ ex dx = ex + c   -   ∫ 1/cos2x dx = tg x + c
  • ∫ ax dx = ax/log a + c   -   ∫ 1/sin2x dx = -cotg x + c
  • ∫ 1/√(1-x2) dx = arcsin x + c   -   ∫ 1/(1+x2) dx = arctg x + c
  • ∫ sinh(x) dx = cosh(x) + c   -   ∫ cosh(x) dx = sinh(x) + c

• D: arth sinh(x) = 1 / √(1+x2) → ∫ 1 / √(1+x2) dx = arth sinh x + c = log(x + √(1+x2)) + c

• D: arth cosh(x) = 1 / √(x2-1) → ∫ 1 / √(x2-1) dx = arth cosh x + c = log(x + √(x2-1)) + c

• D: arth tgh(x) = 1 / (1-x2) → ∫ 1 / (1-x2) dx = arth tgh x + c

∫ sin2x dx = ∫ cos2x dx = sin x cos x + x / 2

Teorema Fondamentale Calcolo Integrale

F: x ∈ [a; b] → ∫ax g(t) dt

F è una primitiva di g(x)

Formula:

∫ab g(x) dx = [G(x)]ab = G(b) - G(a)

se G(x) è primitiva di g(x)

Integrali Impropri

Sia g(x) continua non limitata in [a, b) o (a; b]

limt→b⁻ ∫at g(x) dx o limt→a⁺ ∫tb g(x) dx

è integrale improprio

→ ∫ab g(x) dx = limt→b⁻ ∫ut g(x) dx (anche a ±∞)

Assolutamente Convergente:

|∫ab g(x) dx| ≤ ∫ab |g(x)| dx

Funzione Integrale

F(x) = ∫x₀x g(t) dt con x₀ ∈ [a; b] g(x) definita su [a; b]

È derivabile in [a; b]

E F'(x) = g(x)

Esempio: F(x) = ∫0√x et² dt

G(y) = ∫0y et² dt y = √x

F(x) = G(√x)

F'(x) = G'(√x)∙y'(x)

= e−t²/2√x ex

ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI:

Se Σn=1∞|an| converge → Σn=1∞an converge

CRITERIO DEGLI INTEGRALI:

∫1k+1g(x) dx ≤ Σn=1kg(n) ≤ g(t) + ∫1kg(x) dx

∫1∞g(x) dx ≤ Σn=1∞g(n) ≤ g(t) + ∫1∞g(x) dx

EQUAZIONI DIFFERENZIALI:

LINEARI OMOGENEE:

I ORDINE:

au'+bu=0     ax+b=0     → x=-b⁄a

u(t)=c e-b⁄at

II ORDINE:

au''+bu'+cu=0     ax2+bx+c=0

u(t)= :     • Δ>0     2 radici r e q distinte

  u(t)=c1 er t + c2 eq t

   • Δ=0     2 radici reali coincidenti

  u(t)=c1 er t + c2 t er t

   • Δ<0     2 radici complesse coniugate

    t ± i β

  u(t)=c4 e-d⁄c t cos(βt) + c2 e-d⁄c tsin(βt)

Soluzione:

VSoluzione = Vo + Z

Vo = Soluzione Generale Omogenea

Z = Soluzione Particolare Equazione Normale

Dettagli
Publisher
Lorenzo Unipi
A.A. 2013-2014
126 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Lorenzo Unipi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pisa o del prof Novaga Matteo.