Compiti Passati svolti

Matematica per le Applicazioni Economiche - CLEM

II Canale

10/6/2016, A.A. 2015/2016

Cognome ......................... Nome ......................... Matricola ........................

A. A. di immatricolazione: 2015/16 □ Anni precedenti □ Laureandi □ compito A

√1) (T. p. ti) Una obbligazione del valore nominale di 100€ con cedole semestrali al tasso nominale r è in vendita quando mancano un anno e mezzo al rimborso, subito dopo il pagamento della cedola. Calcolarne prezzo e duration di M. al tasso di rendimento di mercato s (YTM). Approssimare il nuovo prezzo se il tasso di rendimento subisce una variazione Δs.

Dati:   r = 12%, s = 10%, Δs = –1%

P = 100 / (1 + 0.1 / 2)³   +   12 / 0.1   (1 - (1 / (1 + 0.1 / 2)³))    →    P = 86,383759825 + 16,38964188 = 102,7723248

P = 102,723248

D = 1 + 0.1 / 2 + 3 (0.1/2 - 0.1)

0.1/2 / 2 (1 - (1 + 0.1/2)³ - 1)   +   3(0.1/2)

D = 10.5 - 9,082117479 = 1,417832527 = D

ΔP = -D_m • P • Δλ

D_m = D = 1,417832521 = 1,417832521   →   D_m = 13.50306306

ΔP = -13.50306306 • 102,723248 • -0.01   →   13,87138075 = ΔP

P* = P + ΔP = 102,723248 + 14,387138075     #P* = 104,1103861

Matematica per le Applicazioni Economiche - CLEM

II Canale

10/6/2016, A.A. 2015/2016

Cognome ................................ Nome ......................... Matricola .........................

A. A. di immatricolazione: 2015/16 □ Anni precedenti □ Laureandi □ compito A

1) (T. p. ti) Una obbligazione del valore nominale di 100€ con cedole semestrali al tasso nominale r è in vendita quando mancano un anno e mezzo al rimborso, subito dopo il pagamento della cedola. Calcolarne prezzo e duration di M. al tasso di rendimento di mercato s (YTM). Approssimare il nuovo prezzo se il tasso di rendimento subisce una variazione Δs.

Dati: r = 12%, s = 10%, Δs = −1%

P = 100/(1 + 0,1/2)³ + 12/0,1 (1 − 1/(1 + 0,1/2)³) → P = 86,3835739285 + 16,33914848 = 102,7223228

P = 102,7223228

D = {1 + 0,1/2 + 3(0,1/2 − 0,1)/2} {1 − 0,1/2/[(1 + 0,1/2)³−1] + 0,1/2/ 0,1} → D = 10,5 − 9,082117479 = 1,417882521 → D

Per calcolare variazione di prezzo: ΔP = −DM · P · Δλ

DM = D/Δλ = 1,417882521/1,417882521 → 1,417882521 → DDλ = 1,3503616306/1,05

ΔP = −1,3503616306 · 102,72232248 · −0,01 → 1,387138075 → ΔP

P^* = P + ΔP &minus D P* = 102,72232248 + 1,387138075P* = 104,11032681

2)

(5 p.ti) Si vuole costituire, versando in un fondo che rende in ragione del tasso annuo r una rata costante, annua e posticipata R, un capitale pari a 10000€. Sin da subito, si programma di versare la prima rata alla data stabilita, poi la seconda e le successive regolarmente a partire della fine del terzo anno. Le rate in totale sono 5. Calcolare R.

Dati: r = 12%

3)

(5 p.ti) Data l'obbligazione {-100, 5, 5, 5, 105}/{0, 0.5, 1, 1.5, 2}, calcolarne il rendimento annuo r (YTM). Uno ZCB ad un anno del prezzo P e valore nominale 100€, ha lo stesso rendimento dell'obbligazione. Calcolare P.

4) (7 p.ti) Sul mercato sono presenti 3 titoli rischiosi i cui rendimenti sono perfettamente correlati positivamente con l'eccezione del titolo 2 e del titolo 3 il cui coefficiente di correlazione è pari ad x. Si investono 12000€ nel primo titolo e 12000€ nel secondo. Determinare, se possibile, x in modo che il portafoglio sia efficiente.

Dati: r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 1, σ₁ = 1, σ₂ = 1, σ₃ = 2.

E =

W₁ = ^12.000/_24.000 = 0,5

W₂ = ^12.000/_24.000 = 0,5

DET = [0,01 • (1-(1+x)) + 0,02 • (0,01) - 0,01 • (0,02(1+x)) + 0,01]

DET = [0,03+0,01+0,01] - [0,02+0,02+0,02x] ➔ 0 = 0,04+0,01x - 0,04 - 0,02x ➔ 0 = -0,01x ➔ x = 0

Individuare la risposta corretta nelle seguenti domande a risposta multipla. Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni risposta sbagliata -1 punto, risposta non data 0 punti.

5) Dire se è possibile rimborsare un prestito di ammontare pari ad 11000€ con rate annue anticipate di ammontare pari a R=1000€ se il tasso è pari al 10%, e, se sì, calcolare il numero delle rate.

1. n = 10;
2. n = 100;
3. Non è possibile.
4. nessuna delle precedenti;

6) Il valore finale di un investimento raddoppia in 15 anni ad un determinato tasso annuo di interesse nel regime dell’interesse semplice. Quanto tempo occorre per quadruplicarlo allo stesso tasso?

1. 30 anni
2. 45 anni
3. 100 anni
4. nessuna delle precedenti;

7) Il montante r_e(t) in capitalizzazione composta al tasso r di un capitale unitario è sempre maggiore del montante r_s(t) in capitalizzazione semplice allo stesso tasso dello stesso capitale.

• Vero
• Falso

8) (5 p.ti) Formulare e risolv