Compiti Passati svolti

Matematica per le Applicazioni Economiche - CLEM

II Canale

10/6/2016, A.A. 2015/2016

Cognome ......................... Nome ........................ Matricola ........................

A. A. di immatricolazione: 2015/16 □ Anni precedenti □ Laureandi □ compito A

1. Una obbligazione del valore nominale di 100€ con cedole semestrali al tasso nominale r è in vendita quando mancano un anno e mezzo al rimborso, subito dopo il pagamento della cedola. Calcolare prezzo e duration di M. al tasso di rendimento di mercato s (YTM). Approssimare il nuovo prezzo se il tasso di rendimento subisce una variazione Δs.

   Dati: r = 12%, s = 10%, Δs = -1%

2) (5 p.ti) Si vuole costituire, versando in un fondo che rende in ragione del tasso annuo r una rata costante, annua e posticipata R, un capitale pari a 10000€. Sin da subito, si programma di versare la prima rata alla data stabilita, poi la seconda e le successive regolarmente a partire della fine del terzo anno. Le rate in totale sono 5. Calcolare R. Dati: r = 12%

A = R(1+r)⁰ + R(1+r)³ + R(1+r)⁴ + (1+r)⁵ + R(1+r)⁶

10000 = R (1 + 4,1401927 + 1,57351936 + 1,763241683 + 1,973827685)

R = 10000 / 7,141611728 = 1296,211516

3) (5 p.ti) Data l'obbligazione {-100, 5, 5, 5, 105}/{0, 0.5, 1, 1.5, 2}, calcolarne il rendimento annuo r (YTM). Uno ZCB ad un anno del prezzo P e valore nominale 100€, ha lo stesso rendimento dell'obbligazione. Calcolare P.

SEMESTRALI QUINDI CUMNO=10% ; QUOTATO ALLA PARI QUINDI C= lambda =10%

ZCB K= 1 ANNO VN=100 P = 100 (1,0976)^-1 = 91,10787172

DEVO CALCOLARE IL TASSO EFFETTIVOi₂ = (1,r)^1/2 -1 = 0,04880 * 2 = 9,76%

2) (5 p.ti) Il t.i.r. del flusso di cassa X = {-100, 10, 90, 20} è r; allora

1. 5% < r ≤ 8%
2. 8% < r ≤ 10%
3. 10% < r ≤ 12%
4. nessuna delle precedenti.

3) (5 p.ti) Il piano di ammortamento seguente è relativo ad un debito di ammontare pari a ε, con quote di rimborso posticipate ed annue al tasso i = 15%. Calcolare C e completare il piano (lasciando indeterminata la x), determinando a quale intervallo appartenga x, tenendo conto che durante l'estinzione del debito non si chiedano in prestito ulteriori somme.

QI = quota interesse, QC = Quota capitale, DR = Debito residuo.

1. 0 ≤ x ≤ 10
2. 10 < x ≤ 40
3. 40 < x ≤ 50
4. nessuna delle precedenti.

4. (7 p.ti)

Dati due titoli rischiosi A e B di rendimenti r_A ed r_B e scarto quadratico medio σ_A e σ_B, determinare nel diagramma media - deviazione standard le coordinate del portafoglio di minima varianza (MVP) se i rendimenti dei due titoli sono indipendenti.

Dati: r_A = 5%, r_B = 15%, σ_A = 1, σ_B =2.

σ² = α²σ_A² + 2α(1-α)ρσ_Aσ_B + (1-α)²σ_B²

POICHE’ INDIPENDENTI, ρ=0

MIN σ² ↔ ↔ α²σ_A² + (1-α)²σ_B² = 0

↔ 2ασ_A² - 2(1-α)σ_B² = 0

↔ 2ασ_A² - 2σ_B² + 2ασ_B² = 0

2α(σ_A² + σ_B²) = 2σ_B²

α(σ_A² + σ_B²) = σ_B²

α = σ_B²/(σ_A² + σ_B²) = 2²/2(1² + 2²) = 4/10 = 0,8

1-α = 0,2

r = 0,8•0,05 + 0,2•0,15 = 0,07

r_C = 0,07

σ² = 0,8²•1 + 0,2²•2² ↔ ↔ σ² = 0,64 + 0,16 = 0,8

σ² = 0,8 σ = √0,8 → σ ≈ 0,894427191

Individuare la risposta corretta nelle seguenti domande a risposta multipla.

Ogni risposta esatta vale 2 punti, ogni risposta errata -1 punti, risposta non data 0 punti.

1. La struttura a termine dei tassi sia piatta. La duration di una obbligazione a 10 anni con yc = 10% e cedole semestrali in un determinato istante dopo l'emissione sia pari a 5.6; lo yield passi dal 10% al 9%. Il prezzo subisce una variazione percentuale di circa

   • 0.05358%
   • 0.05333%
   • -0.05213%
   • Nessuna delle precedenti.

2. Il mercato operi con una struttura a termine dei tassi per la quale i(0,1) = 10%, i(0,2) = 15%. Quale rendimento ci si aspetta ora per operazioni che inizieranno tra un anno della durata di un anno?

   • 4.54%
   • 38.26%
   • 20.22%
   • Nessuna delle precedenti.

3. La duration di un BTP, calcolata all'istante dell'emissione, della durata di 5 anni del valore nominale di 100€, pagante cedole semestrali al tasso nominale del 10%, è 5.03

   • Vero
   • Falso

4. Esporre il modello di Markowitz e le equazioni dei portafogli efficienti.