Analisi matematica - il calcolo di somme

Calcolo di somme

1)

la somma può essere riscritta in questo talo anci ripensitivi un bonom di Newton:

per m≠0

0 per m≠0

1 per m=0

Ora eni

2)

funzione risolutiva

k=k-1

Per le proprietà del triangolo di Tartaglia ovuio:

da cui

ottenimo k=k-1 fa la prima sommo e k=k-2 fa là accentro th.

3)

∑_k=0^m ( ( -4 )^m-k k³ )

Dividiamo la somma in 2 ioni fra m pari e dispari

∑_k=0^m ( ( -4 )^k k³ )

= ∑_k=0^m k³ - ∑_k=0^m k³

= ∑_j=0^m/2 ( 8 j )³ - ∑_j=0^(m-1)/2 8 j )³ - ∑_j=0^(m-1)/2 λlj₂

= ( 8 ) - ( ∑_j=0 3 ) - ( ∑_j=0^(m-1)/2 8 j³ ) - ( ∑_j=0 λlj₂ 1 = 8 - ( ∑_j=0 m/2 8 j³ )

- ∑_j=0^m-1 6 )³ - ∑_j=0 m₂

Esempio semplice in definizione

^m∑_k=0 f(x) = (1-x)ⁿ

Risulta ovvio che il nostro x e pari a 1. Quiidi divisiamo una retta e moltiplichiamo per x (che il pari a 1):

ˣ ^d⁄_dx (∑^m_k=0 f(x) ) = m (1-x)^n-1

ed ancora

ˣ ^d⁄_dx ( xˣ ^d⁄_dx (∑^m_k=0 f(x))) = m (n-1) (1-x)^n-2

Effettando questa operazione m وغيره مرة n volte avrai fatto, si ottiene:

ˣ ^d⁄_dx ( x.^d⁄_dx( x.^d⁄_dx (∑ ʃʈ͆ˉ ( f(x))) = m ( n+1)(n-2) تعليل ^{1-x 0}

= n!

Ricordando che la somma era moltiplicata per ¹⁄_n = (¹⁄_n) ⁿ

si ottiene in definitina:

^m _ʀ^{k=0 (مk‌) (-1)n-k ) = (m -1) n}

Osserviamo ora che

• _k=0^m(^mC_k)(-4)^k k = _k=1^m(^m-1C_k-1)(-4)^k =

Quand la somma di fortetta osserva:

• k=1mmCk(m - 1k-1)(-4)k =
• k=1mm - 1Ck - 1(-4) =
• = - m k=1m-1(m - 1Ck)(-4)k-1 =
• k=0m-1(m - 1Ck)(-1)k =
• = -m (m - 1Ck)(-1)k(4)(m-1)k=
• = (-1+4)m-1

Quand è osservante la stessa quantità coic n passeure con p ripetmenti a popieme per identit:

• _k=1^m(^mC_k)(-1)^k = -δ(n-1)

1. q) _k=0^m(^mC_k)min (k,m-k)

Osserviamo ora che

• _k=0^m(^mC_k)(-1)^kk = -δ(n-1)

• q) _k=0^m(^mC_k)min (k,m-k)

Osserviamo con l'osserva che

min (k, m- k)

• k se k ε [0,⌊ ^m C _k ]
• m - k se k ε [⌊^m⟩]

Si ha:

\(\sum_{j=0}^{n/2} (2j)^2 = 2 \sum_{j=0}^{n/2} (2j + 1)^2 - \sum_{j=0}^{n/2} 4j^2 - 4 = 2 \sum_{j=0}^{n/2} 4j^2 - \sum_{j=0}^{n/2} 4j^2 + 4j + 4 =\)

\( \sum_{j=0}^{n/2} 4j^2 + \sum_{j=0}^{n/2} 4j - \sum_{j=0}^{n/2} 4j =\)

\(4 \sum_{j=0}^{n/2} j^2 - 4 + 4 \left\{ \left( \frac{m}{2} j \right) ^2 - \sum_{j=0}^{n/2-1} 4j \right\} - \sum_{j=0}^{n/2-1} 4j - 4 =\)

\(2 \frac{m^2}{4} - \sum_{j=0}^{n/2-1} 4j^2 - \sum_{j=0}^{n/2-1} 1 = 2 \left( \frac{m}{2} \sum_{j=0}^{n/2-1} 4j \right)\)

\(=2 \sum_{j=0}^{n/2} 4 k^2 - \sum_{j=0}^{n/2} =\)

\(= m^2 - 4 \sum_{j=0}^{n/2-1} j - \frac{m}{2} =\)

\(= m^2 - 4 \left( \frac{m}{2}+1 \right) = m^2 - 4 \left( \frac{m}{2}-2 \right) - \sum_{j=0}^{8} m = m^2 - 4 \left( \frac{m^2}{8} - m \right) =\)

\( = m^2 - \frac{m^2-2m}{2}\)

\( = \frac{m^2+2m-2m}{2} - \frac{m}{2}\)

\( = \frac{2m + m}{2} =\)

\(= l \sum_{k=0}^{m}^2 - 4 m (\infty) \sum_{k=0}^{m}\)

² - 4 + 2 \left\{ \sum_{k=0}^{m-1} k \right\} =4 \sum_{k=0}^{m-1}\)

\((k+m-1)\) - 1 \left\{approximately\}

\(\sum_{k=0}^{m-1}\) =

\(m =2 \sum_{k=0}^{m} - 1 + 0 \left( theoretically 4k \right) =\)

quindi un definitivo fra m dispari