Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - la bibbia per il calcolo delle somme

Calcolo di somme

1) ∑ k = 0 n ( m k ) ( - 1 k ) = la sommatoria può essere risolta tramite il teorema di Newton: ∑ k = 0 m ( m k ) ( - 1 k ) ( 1 - k m ) = - 1 + 4 4 m (&_minus;1) = - 1 + 1 m = 0 per m > 0 , 1 per m = 0 cioè ∑ k = 0 n ( m k ) ( - 1 k ) = δ ( m ) = 0 2) ∑ k = 0 m ( m k ) ( - 1 r ) = oe < m ≤ m - 1 funzione in tabularum k k = k - 1 ∑ k = k + 1 - 1 k = ∑ m = m + 1 = m + 1 + ∑ k = ∑ )m(∑ m ( k - 2 )(∑ m ( 0 )(□&-; e

= \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k} \cdot (-4)^k + 1

= \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k} \cdot (-4)^k + 1

= \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k} \cdot (-4)^k + 1

= (-4)^m \binom{m-1}{m} + 0

∀ \; 0 \leq m \leq n-1

3)

\sum_{k=0}^{n} \left( (-4)^{m-k} \cdot k^3 \right)

= \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} \cdot (-4)^k \cdot k^3

a

Essendo dunque in definitiva

\[ \sum_{k=0}^{m} f(x) = (1-x)^n \]

Risulta avevamo che il nostro x è pari a 1. Quindi scriviamo una volta e moltiplichiamo per x (dove x pari o 1):

\[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{m} f(x) \right) = n (1-x)^{n-1} \]

ed allora

\[ x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{m} f(x) \right) \right) = n (n-1) (1-x)^{n-2} \]

Effettuando questa operazione m altre volte avrà fatto, si ottiene:

\[ x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \frac{d}{dx} \left[ \cdots \frac{d}{dx} (f(x)) \right] \right) \right) = n (n+1) (n-2) \cdots 1(1-1)^0 = n! \]

Ricordando che la somma era moltiplicata per \(\frac{1}{n^n} = \left( \frac{1}{n} \right)^n\)

si ottiene in definitiva:

\[ \sum_{k=0}^{m} \left( \begin{array}{c} m \\ k \end{array} \right) (-1)^k \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^m = \frac{m!}{m^n} \]

∑_k=0^m ( ^mC_k ) (-1)^k k = ∑_k=1^m ( ^m-1C_k-1 ) (-1)^k k =

Osserviamo ora che

( ^mC_k ) = ^m!/_{k! (m-k)!} = ^m!/_(k-1)!(m-k)! = ^m(m-1)! /_(k-1)!(n-k)! = ( ^mC_k-1 )

Quindi la somma di partenza diventa:

= ∑_k=1^m ( ^m-1C_k-1 ) (-4)^k-1 (-1) =

= -m ∑_k=1^m ( ^m-1C_k-1 ) (-4)^k-1 =

= -m ∑_k=0^m-1 (1/k!) (-1)^k =

= -m( ^m-1C_k ) (-1)^k (4)^(m-1)-k =

= -m(-4+4)^m-1

4) ∑_k=0^m ( ^mC_k ) min(k, m-k)

Convinciamo con l’osserva di:

min(k, m-k) = {  k   se k ∈ [0, ⌊m/2⌋]  m-k   se k ∈ [⌊m/2⌋+1, m]