Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - la bibbia per il calcolo delle somme

Calcolo di somme

La somma ∑_k=0^m ( ^mC_k ) (-1)^k può essere riscritta in modo tale da rappresentare un binomio di Newton:

∑_k=0^m ( ^mC_k ) (-1)^k (1)^m-k = (-1 + 1)^m

Questa espressione si avvicina a 0 per m > 0 e a 1 per m = 0. Da cui:

∑_k=0^m ( ^mC_k ) (-1)^k = δ(m)

Consideriamo la somma:

∑_k=0^m ( ^mC_k ) (-1)^r con 0 ≤ m ≤ n-1

Funzione incidente k' = k-1:

= ∑_k=1^m+1 ( ^mC_k-1 ) (-1)^k-1

= ∑_k=2^m+1 ( ^mC_k-2 ) (-1)^k-2 + ( ^mC₀ ) (-1)^k-1 = 1

Per le proprietà del triangolo di Tartaglia usando:

( ^mC_k-1 ) = ( ^m-1C_k-1 ) + ( ^m-1C_k-2 ) da cui:

= ∑_k=0^m+1 ( ^m-1C_k-1 ) (-1)^k-1 + ∑_k=2^m+1 ( ^m-1C_k-2 ) (-1)^k-1 + 1

Calcolo delle somme

Σ_k=0^m (^m/_k)(-1)^k può essere riscritta in questo modo dal teorema un binomio di Newton:

Σ_k=0^m (^m/_k)(-1)^k(¹)^m-k = (-1+1)^m

Questo porta a 0 per m > 0 e a 1 per m = 0. Allora:

Σ_k=0^m (^m/_k)(-1)^k = δ(m)

Σ_k=0^m (^m/_k)(-1)^r con 0 ≤ m ≤ m-1

Poniamo in talmente k^- = k - 1:

Σ_k=1^m+1 (^m/_k-1)(-1)^k-1

= Σ_k=2^m+1 (^m/_k-2)(-1)^k-1 + (^m/₀)(-1)^k-1 = 1

Per le proprietà del Triangolo di Tartaglia ossia:

(^m/_k-1) = (^m-1/_k-1) + (^m-1/_k-2)

Da cui:

Σ_k=0^m+1 (^m-1/_k-1)(-1)^k-1 + Σ_k=2^m+1 (^m-1/_k-2)(-1)^k-1 + 1 =

= ^m⁄₂ ∑_k=1^m-1 ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k + ∑_k=0^m-1 ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k+4 + 1 =

∑_k=1^m-1 ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k + ∑_k=0^m-1 ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k + 1 =

∑_k=0^m-1 ( ^m⁄_k ) (-4)^k + 1

Ora tornando fuori dalla prima somma il termine per k = m e dalla seconda quello per k = 0, otteniamo:

= (-4)^m ( ^m-1⁄_m ) + ∑_k=1^m-4 ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k - ∑_k=1^m-1 ( ^m-1⁄_k ) (-4)⁰ ( ^m-1⁄₀ ) + 1 = 0

→ e ci attribuiamo le 2 somme:

= (-4)^m ( ^m-1⁄_m ) + ∑_k=1^m ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k - ∑_k=1^m-1 ( ^m-1⁄_k ) (-4)^k

Ora eu:

∑_k=0^m ( ^m⁄_k ) (-4)^k = (-4)^m ( ^m-1⁄_m ) con 0 ≤ m ≤ n-1

Calcolo di somme per m pari e dispari

∑_k=0^m ( (-1)^m-k k³ )

Suddividere la somma in 2 componenti per m pari e dispari:

∑_k=0^m ( (-1)^k k³ ) = ∑_k=0 k³ - ∑_k=0 k³