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Esercitazione Analisi 1

Proprietà della somma

  1. i=15Σ Xi = S(X1 + X2 + X3 + X3) = S(X1 + X2 + X3) = 5(X1 + X2 + X3) = 5(i=13Σ Xi)

  2. i=15Σ S = S + S + S + S + S = 4.S

    i=1MΣ C = M C

  3. i=13Σ (Xi - Yi) = X1 - Y1 + X2 - Y2 + X3 - Y3 = X1 + X2 + X3 + Y1 + Y2 + Y3 =

    VALE ANCHE PER LA SOTTRAZIONE

  4. i=15Σ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + X5, 3i=1Σ Xi = i=13Σ Xi + i=45Σ Xi

    i=1MΣ Xi = i=1ΛΣ Xi + i=Λ+1MΣ Xi con Λ ≤ M

  5. 3i=1Σ Xi2 (Mj=1Σ Yj) = (X1 + X2 + X3)(Y1 + Y2) = X1Y1 + X2Y1 + X3Y1 + X2Y2 =

    3j=1Σ Mi=1Σ Xi Yj

    i=1ΠΣ X (j=1MΣ Yj) = Mj=1Σ Mi=1Σ Xi Yj

Principio di induzione

  1. Dimostrare col principio di induzione che vale la seguente uguaglianza:

∑K=1M K2 = M(M+1)(2M+1) / 6

Base d'induzione ∑K=12 K2 = 1

1 · (1 + 1) (2 · 1 + 1) / 6 = 2 · 3 / 6 = 1 OK

Si vale per un n qualsiasi vale anche per m+1 (da dimostrare)

HP: ∑K=12 K2 = M(M+1)(2M+1) / 6

TS: ∑K=12 K2 = (M+1) (M+2) (2M+3) / 6

ΣK=1M K2 + (M+1)2 = M(M+1)(2M+1) / 6 + (M+1)2

= M(M+1) (2M+1) / 6 + 6(M+1)2 / 6

= M(M+1) (2M+1) + 6(M+1)

= M+1 (2M2+4M+4=M+6) / 6

= (M+1)(2M+4)/6 + 6 (M+1) / 6

= (M+1) (2M+1) (M+1)

= (M+1) (2M+4) + 3 (M+2) / 6 (M+3)

= (M+2) (M+3)

OK

∑K=13 K3 = (M(M+1) / 2)2

Per M=1

13 = (1(1+1) / 2)2

13 = (2/2)2

1·1 OK

HP: Vale per un n qualsiasi => TS. Vale per m+1

∑K=13 K3 = (M+1) (M+2) / 2 = (M+1)2

= (M(M+1) / 2) + (M+1)3

= M2(M+1)2+M12(M+1)2 0 arbitrarimente grande, ∃x ∈ A tale che x > M

M - 1 > M

M - 1 --------- ≥ M 1 M - 1 > M

M - 1 > M

M2 - M + 1 > 0

Poss posso costruire gli elementi di A con M > (M + √M2 + 1 + 2)/2 Sup A = +∞ A = { 2-u, m ∈ N - {0, 3} = {x ∈ R | x = 2-μ, m ∈ N - {0,3} } } = {x ∈ R | x = 2-u, m ∈ N - {0, 3} }

A = {2; 1; ... ; 24; ...}

Per u → +∞ 4/2u → 0, per cui devo dimostrare che 0 è Inf A, ma non min A perché 0 ∈ A.

2 è maggiorente di A (⇔) 2 ≥ x ∀x ∈ A

1) F = { z ∈ C / |z - 2 + i| = |z + i| }

|z - (2 - i)| = |z - (-i)|

A = (2 - i) = (2; -1)

B = (-i) = (0; -1)

∙)

Rappresentare l'area della regione di piano formata dalle soluzioni di:

|(z - 2) / (z|z - 2| - |z + i|)| < 0.

|z - 2| > 0

|z| > 2

|z - i| - 1 > 0

|z - i| > 1

|u| > 1

z - u = i

z - u + i

Area = 2π - 1/2 π = 3π

b)

Scrivere in forma algebrica tutte le soluzioni di modulo unitario dell'equazione precedente.

Prendo le soluzioni che stanno su una circonferenza di raggio 1.

z = e(cosθ + i sinθ)

  • z1 = 1 (1 + i 0) = 1
  • z2 = 1/√2 + i 1/√2 = 1/√2 + i 1/√2
  • z3 = i = i
  • z4 = -1/√2 + i 1/√2 = -1/√2 + i 1/√2
  • z5 = -1 ( - 1 + i 0 ) = -1
  • z6 = -1/√2 - i 1/√2 = -1/√2 - i 1/√2
  • z7 = 0 + ( - 1 ) i = - i
  • z8 = 1/√2 - i 1/√2 = 1/√2 - i 1/√2

Funzioni iperboliche

Seuh x = ex - e-x⁄2

dSeuh x/dx = Cosh x

Cosh x = ex + e-x⁄2

dCosh x/dx = Seuh x

Tanh x = Seuh x⁄Cosh x = ex - e-x⁄ex + e-x = z⁄ex + e-x = ex - e-x⁄ex + e-x

x ∈ ℝ ∪ x ∈ ℂ

Grafici:

y = Seuh x

  • Seuh 0 = 1-1⁄2 = 0
  • x → 0 → Seuh x → 0
  • Seuh 1 = e1 - e-1 ⇝ 1,17

f(-x) = e-x - ex⁄2 ≠ f(x)

-f(x) = e-x - ex⁄2 = -f(x) DISPARI

y = Cosh x

  • Cosh 0 = 1+1⁄2 = 1
  • x → ∞ → Cosh x → + ∞
  • Cosh 1 = e1 + e-1⁄2 ⇝ 1,5

f(x) = ex + e-x⁄2 = f(x) PARI

NON PERIODICA

1) Risolvere graficamente:

|x2 + 5 |x| + 4| > 1

y = x2 - 5x + 4

V(5/2, -9/4)

y = x2 - 5|x| + 4 ( | x | = x )

y = x2 - 5| x | + 4 ( | x | = -x )

y = | x2 - 5| x | + 4 |

| x2 - 5 | x + 4 | | > 1 per:

  • x < α
  • β ≤ x ≤ γ
  • δ ≤ x ≤ α1
  • β1 < x < γ1

y = | x2 - 5 | x | + 4 |

2)

f(x) = 2x+1/x+2

g(x) = | 1-x |

F(x) = dx+b/cx+d c (d/c, c/d) (-2, 2)

DF: ℝ-{±2/3} = (-∞, -2] ∪ (-2, +∞)

CF: ℝ-{2/3} = (-∞, -2) ∪ (2, +∞)

Dg: 1-x ≥ 0

x ≤ 1 (-∞, 1]

Cg: x ≥ 0 [0, +∞)

1) limx→0⁺ ex² - 1x = limx→0⁺ ex² - ex = limx→0⁺ ex² = 1+0

2) limx→0⁺ log (1 - e-52/log x) * x = limx→0⁺ log (x1/X + 1) * e2 * log x = c

3) limx→0⁺ log (x1/x)ex = log x = x * limx→0⁺ ex = 0

4) limx→0⁺ (log (1 - 2x)) / ( xx ) = limx→0⁺ ex log x = 0

5) limx→0⁺ ex²/(1+x²) = c∞/∞ = limx→∞ ec + √e.../ ce² = o

6) limx→0⁺ √1-2 = 0

7) limx→0⁺ 1 + x2/x²+2 = 1√1/z = √4x²+2

8) limx→0⁺ e cos(2x) = 1√1/x2 = e

9) limx→0⁺ log(1 + log(xx+1))

10) limx→0⁺ ex

Successioni

1) 2u = 1 - 3un è monotona?

2 mu = 1/3 \ u = 3

mu = 1/ m

1) un = 2un - 2

u = 2un - 5/2 = decrescente

un+1 < 2u

u = 2un = 8/3 - 3u

1 - 3(mu + 1)/ + - 3mu

mu = (1 - 3u)(mu + 1)

0 < 1 ∀ u ∈ ℕ - { o }

τu < 3μ + 1 , 3μ

2u = strettamente decrescente ∀ u &e; ∈ ℕ - { o }

Dettagli
Publisher
lgallo93
A.A. 2015-2016
116 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lgallo93 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi e geometria I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Visigalli Clementino.