Appunti Completi del Corso "Analisi e Geometria 1"

Principio di induzione

Il principio di induzione (o dimostrazione per induzione) consente di dimostrare la validità di una tesi tramite la verifica di due condizioni: la validità del passo zero e la validità del passo induttivo.

Dimostrazione per induzione

Esempio: "dimostrare che per ogni n vale una certa proprietà". Si dimostra prima P(n) per n = 0, poi si assume come ipotesi che P(n) sia vera e che quindi valga per ogni n, e da tale affermazione si verifica che valga anche per P(n+1). Se è verificata anche per P(n+1) allora è dimostrata.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali: 1 segue 0, 2 segue 1, ecc. Insieme dei numeri interi relativi. Insieme dei numeri razionali (cioè delle frazioni). Se e solo se. Relazione d'ordine. Chiuso rispetto a + e x: ciò vuol dire che facendo una somma o un prodotto tra frazioni non si esce da Q.

Dimostrazione per assurdo

Poiché è un multiplo intero di 2, dato che 0 x 2 = 0. Radice di 2 appartiene a Q? Tale che equivale a chiedersi se esistono due numeri la cui frazione equivale a radice di 2. Differenza insiemistica. È il meno degli insiemi.

Si procede per dimostrazione per assurdo, cioè negando la tesi: supponendo che esso sia razionale, arriveremo ad una cosa contraddittoria; il che vuole dire che è sbagliato da dove siamo partiti. m/n deve essere un numero positivo che elevato al quadrato da 2. Quindi vuol dire che m è pari. Quindi per la proprietà dei numeri pari anche la radice è pari, quindi anche m è pari. Quindi anche n è pari.

Quindi se entrambi sono pari, non possono essere primi tra loro (cioè non avere nessun divisore in comune), quindi siamo arrivati ad una contraddizione, ad un assurdo. Visto che tutti i passaggi che abbiamo fatto sono corretti, l'errore era all'inizio, cioè l'aver supposto che appartiene a Q.

Insieme dei numeri reali

Lo definiamo in maniera assiomatica. Inoltre vale anche l'assioma di continuità. Valgono tutte le proprietà che valgono in Q. In questo caso sono assiomi perché li abbiamo definiti noi.

Successione di intervalli dimezzati

Intervalli. Successione degli intervalli. Ogni intervallo è costituito dalla metà dell'intervallo precedente. Se si volessero immaginare tutti gli infiniti intervalli, continuando a dimezzare si arriverebbe ad uno è un solo punto tra quelli che costituisce la retta. Ma questo vale per la retta, non per i numeri.

Allora si introduce l'assioma di continuità: Uno e un solo numero. Tale che data una successione di intervalli dimezzati [a, b], ne esiste uno e un solo numero reale contenuto in tutti gli intervalli oppure indica dove si finisce. Indica da dove si parte. L'intersezione di due insiemi è uguale ad un altro insieme, che contiene solo. Tale che l'intersezione di tutti gli insiemi. I numeri reali hanno la stessa forma della retta dei numeri [a, b] sia un solo numero λ.

Assioma di continuità

Retta (euclidea) è un continuum di punti. L'assioma di continuità permette anche di calcolare in maniera approssimata. A questo punto interviene l'assioma di continuità che ci permette di definire. I numeri a si stanno avvicinando da sinistra, quindi ci danno un'approssimazione per difetto. Invece i b si stanno avvicinando da destra, quindi ci danno un'approssimazione per eccesso. L'assioma di continuità non vale in Q. Infatti se si interseca l'assioma di continuità con l'insieme Q si ottiene l'insieme vuoto.

Allineamento decimale

L'allineamento decimale è la successione di tutte le cifre dopo la virgola, che di fatto ci "avvicinano" al numero esatto. Se il numero è minore di uno, un numero decimale può essere scritto così: Numeri decimali nell'insieme Q finiti razionali allineamenti decimali infiniti periodici (non di periodo 9) non è circa 1, ma è 1. Numeri decimali nell'insieme R finiti reali allineamenti decimali infiniti periodici e non periodici.

Conseguenze assioma di continuità

Siano. Allora n. Esiste un solo valore di x tale che x sia uguale a y perché -4 non è positivo, e nella definizione di radice n-esima y deve essere maggiore di 0 può anche essere negativo.

Successione di intervalli che definisce b

Conseguenze assioma di continuità. Siano. Allora. Tutte queste operazioni si fanno in R e non in Q, perché in Q non vale l'assioma di continuità. Sia definizione: si dice massimo di E si dice minimo di E. Il massimo e il minimo devono appartenere a E, in questo caso quindi 2 è il massimo perché appartiene a E, ma 0 non è il minimo, perché non appartiene a E, e non è possibile prendere un numero un po' più grande di 0 che sia definito tale che sia minore di qualsiasi x. si dice minorante di E si dice maggiorante di E se se.

Il massimo è esso stesso un maggiorante, ciò che cambia è che il maggiorante non deve essere per forza appartenente a E. Questo insieme dei maggioranti ha un minimo. Insieme di tutti i maggioranti. Il più piccolo dei maggioranti è come se prendesse il ruolo del massimo. Ha un massimo. Insieme di tutti i minoranti. Il più grande dei minoranti è come se prendesse il ruolo del minimo.

Definizioni di estremo superiore e inferiore

Si chiama "estremo superiore" di E il minimo dei maggioranti: se esiste maxE, allora supE = maxE. L'estremo superiore è caratterizzato dalle seguenti proprietà: Nessun numero più piccolo di supE è maggiorante. Cioè: Questo numero non è più maggiorante, ciò vuol dire che si trova un elemento di E che sia più grande di questo.

Si chiama "estremo inferiore" di E il massimo dei minoranti: definizione: se esiste il minimo di E, allora infE = minE. L'estremo inferiore è caratterizzato dalle seguenti proprietà: Nessun numero più grande di infE è minorante. Cioè:

Insiemi limitati

Definizione: Un insieme si dice "limitato superiormente" se ammette almeno un maggiorante. In questo caso non ci può essere un maggiorante, perché non ci sarà mai un numero superiore a +infinito. Se E non è limitato superiormente, allora supE = +infinito.

Definizione: Un insieme si dice "limitato inferiormente" se ammette almeno un minorante. Definizione: Un insieme si dice "limitato" se è limitato sia superiormente che inferiormente. Corollario: Se E è limitato, allora esiste sia un infE che un supE. Sia limitato superiormente. Allora esiste un. Per ipotesi E è limitato superiormente, quindi deve esistere un numero b che sia un maggiorante.

Inoltre deve esistere un numero a che non sia un maggiorante, per fare ciò basta prendere un numero e appartenente a E e dire che: Costruiamo ora una successione di intervalli dimezzati. Se c è maggiorante di E. Punto medio: Se c non è maggiorante di E. Iterando si ottiene una successione di intervalli dimezzati tale che: è un maggiorante non è un maggiorante. L'intersezione di tutti gli intervalli risulta essere un unico valore λ.

Assioma di continuità

Ora abbiamo intuito che λ è maggiorante, il prossimo passo è dimostrarlo. Affermiamo quindi che λ = supE, e consideriamo le due proprietà dell'estremo superiore: λ è un maggiorante di E. Dimostrazione per assurdo: se non lo fosse esisterebbe con. Poiché abbiamo perché è maggiorante di E. D'altra parte. Quindi: è assurdo perché l'assioma di continuità dice che esiste un solo λ che sta in tutti gli intervalli dimezzati, mentre ora abbiamo trovato due valori per questa intersezione: λ prima, e x adesso. Inoltre all'inizio abbiamo ipotizzato che x > λ (quindi anche che x fosse diverso da λ), e quindi a maggior ragione non possono essere la stessa cosa.

Nessun numero minore di λ è maggiorante di E. Dimostrazione per assurdo: Supponiamo, per assurdo, che esista un numero μ < λ, che sia maggiorante di E. si ha. Poiché. D'altra parte μ è maggiorante di E, mentre a non lo è, pertanto n. Così abbiamo trovato che questo numero μ è contenuto in tutti gli intervalli dimezzati, ma questo va contro il principio di continuità, perché solo λ ci può stare.

Limitato inferiormente

Sia. È limitato inferiormente. Allora. È lo stesso teorema che abbiamo appena fatto, ma con l'esterno inferiore. Riusciamo a trovare. Quindi riusciamo a trovare un numero più piccolo di ε che non è minorante, e questo procedimento può essere ripetuto all'infinito. Tale che l'insieme sta in Q, ma l'estremo superiore sta in R, quindi esce da Q.

Alcune proprietà dei moduli

Il modulo può essere descritto anche come il più grande tra a e -a. Dimostrazione: Visto che entrambi sono minori di, allora per forza è anch'esso minore di.

Proprietà fondamentale dei numeri complessi

= Unità Immaginaria. Insieme dei numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso parte reale parte immaginaria. Somma. Prodotto. Coniugato di z. Norma o modulo di z.

Alcune proprietà dei numeri complessi

Divisione. Tra i numeri complessi vale la disuguaglianza triangolare. Per rappresentare i numeri complessi abbiamo bisogno di due valori. Piano di Argand-Gauss a e b sono le coordinate del numero complesso. Sulle ascisse c'è la parte reale. Sulle ordinate c'è l'immagine. Se conosciamo la distanza che la retta passante per 0 e per (x,y) forma con l'asse x l'angolo Argomento. Siamo in grado di individuare univocamente z.

Forma trigonometrica di un numero complesso

Non si può applicare il procedimento inverso, cioè conoscendo il punto non si possono conoscere sia r che θ: - r sì, può essere calcolato tramite il modulo di z, - ma θ non può essere trovato. Infatti θ è determinato a meno di multipli di 2π. A questo problema si può ovviare restringendo l'intervallo da 0 a 2π. Quindi solo se θ appartiene a [0,2π), si può determinare univocamente. La scrittura trigonometrica è molto più agevole per fare alcuni calcoli, come il prodotto e le potenze.

Formula di De Moivre

Siano. Formula di De Moivre per il prodotto. Allora. Inoltre Formula di De Moivre per la potenza. Dimostrazione per il prodotto: Dimostrazione per la potenza: Utilizzando la formula del prodotto appena dimostrata possiamo scrivere: C'è una terza formula: Significato geometrico della moltiplicazione in C. Geometricamente stiamo: - moltiplicando i raggi tra loro, quindi stimo facendo una dilatazione o una compressione. - sommando tra loro gli angoli, quindi stiamo facendo una rotazione (sempre in senso antiorario).

(o Formula di Eulero) Preso un numero complesso possiamo associargli un r è un θ. Quindi possiamo scrivere z in questa forma che si basa sull'identità di Eulero: Forma esponenziale di un numero complesso. A questo punto possiamo riscrivere le Formule di de Moivre con questa notazione: Prodotto. Potenza.

Radici nei numeri complessi

Nei numeri complessi la radice non è più unica, come per i numeri naturali. Definizione: Dato una radice n-esima di w è un numero complesso z tale che: (è come la definizione della radice di un numero reale, ma non c'è la necessità che z sia positivo. Questo perché visto che i numeri complessi sono punti sul piano, e non su una retta ordinata, non ha senso dire che un numero complesso è più grande di un altro, e quindi non ha neanche senso la trattazione dei segni.)

Dato. Affinché siano uguali le parti moltiplicative devono essere uguali tra loro e le parti esponenziali devono essere uguali tra loro. Ciò che vogliamo trovare sono le radici di w. Poiché essi sono la parte reale del numero complesso. Da qui sembrerebbe che le radici siano infinite. Visto che continuando a sommare 2kπ posso trovare infiniti angoli. Le radici n-esime in C di w sono: Quindi le radici (diverse) di w sono esattamente n, e questo lo vediamo introducendo h.

Dimostrazione

Resto. Il resto è sempre minore di n, quindi: Possiamo togliere il 2sπ perché è un multiplo di 2π, quindi ci dice che il nostro angolo è uguale all'angolo h, più s giri, e quindi è un'informazione inutile, perché troviamo gli stessi angoli, quindi è come se trovassimo soluzioni coincidenti.

Calcolo delle radici di 1

Il calcolo delle radici di 1 ha una proprietà particolare: La radice di 1 è 1 con i numeri reali. Le radici complesse n-esime di 1 invece sono sempre n. Le radici n-esime di 1, z, si trovano sulla circonferenza unitaria (poiché il raggio è 1), e si trovano ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto alla circonferenza.

Radici seste dell'unità

Disegnare: La distanza di z dal centro è minore di 1. Per trovare la soluzione si intersecano le due condizioni. z sta in A. Geometricamente moltiplicare per -i corrisponde a fare una rotazione di π/2 in senso orario. Non c'è né compressione né dilatazione perché il raggio è 1. Non si possono togliere gli esponenti, perché non vuol dire che le basi sono necessariamente uguali. Prima si trova β, poi si trova α. I valori di α sono le tre radici cubiche di β.

Reale. Una funzione è un qualcosa individuato da tre cose, una funzione quindi è una terna. Una funzione non è solo f, ma è anche A e B. Una funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. A è detto "dominio". B è detto "condominio". Non è una funzione. È una funzione. Dominio: insieme di esistenza delle x. Codominio: insieme di esistenza delle y. Si chiama "immagine" di A (tramite f) l'insieme degli elementi y di B che provengono da qualche elemento x di A. Quindi è l'insieme degli y che la funzione può assumere. Definizione: L'immagine NON è il codominio, ma è contenuta in esso.

Si chiama "controimmagine" o "antiimmagine" di D l'insieme costituito da tutti gli elementi di A la cui immagine sta in D. Definizione: Se allora si dice "suriettiva". Sono gli elementi di B "colpiti" da f. Tutti gli elementi di B sono colpiti da f. Invertibile sull'immagine f(A). Se allora si dice "iniettiva". Una funzione iniettiva è anche detta: "uno a uno": Ad elementi diversi di A sono associati elementi diversi di B.

Se una funzione è iniettiva posso "invertire" le frecce. Inversa rispetto all'immagine. Quindi se una funzione è iniettiva è ben definita un'altra funzione: Elementi dell'immagine di f. Invertibile su B. Individuato univocamente da. Se una funzione è sia suriettiva che iniettiva, essa si dice "biunivoca" o "biettiva". Anche qua posso invertire le frecce. Non è suriettiva perché d non è colpito da nessuna freccia. È iniettiva perché 1, 2 e 3 sono diversi, e colpiscono tre elementi diversi: a, b e c.

Definizione: Il grafico è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per B. Il grafico è un oggetto algebrico, non è un disegno. Caso speciale: Se. Questo è il disegno del grafico! Bisettrice del I e del III quadrante. Funzione reale di variabile reale, quindi sia dominio che condominio sono R. A = B = R. È iniettiva? No, ci sono due modi per vederlo: - basta che trovo un valore di y che corrisponde a più di una x. - interseco il disegno della funzione con delle rette parallele all'asse x, e se una lo interseca in due punti allora non è iniettiva. È suriettiva? No, perché non tutti gli elementi di B vengono colpiti dalla funzione, quindi l'immagine è da 0 a +infinito.

Per essere suriettiva se interseco il grafico con delle rette parallele all'asse x, deve esserci sempre almeno un punto di intersezione. Ora è iniettiva. Ma comunque non è suriettiva. Ora è sia iniettiva che suriettiva. In questi esercizi deve sempre essere definito il condominio sul quale valutare l'immagine. Se faccio l'inversa 2. Il dominio della radice è l'immagine di x. Per poter disegnare il grafico dell'inversa bisogna scambiare le due variabili: Geometricamente scambiare le variabili significa effettuare un ribaltamento rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Prese due funzioni si chiama funzione composta la funzione. La composizione di funzioni non è commutativa. In questo non si può neanche applicare, perché f parte da A, ma g arriva in C. In questo caso posso farli entrambi perché sta tutto in R. Per calcolare numericamente le funzioni composte bisogna prima svolgere la prima funzione, e poi mettere il risultato al posto della x nella seconda funzione. Se è iniettiva -1. In pratica si sta applicando f, e poi con f si torna indietro, quindi si ottiene di nuovo x. Di solito non si indica né A né B, visto che tanto sono sempre questi valori.

Se A non è specificato, si intende che A è l'insieme di definizione: è l'insieme di tutte le x in R tali che f(x) ha senso. L'insieme di definizione è anche chiamato "Dominio Massimale", e viene indicato con D. Definizione: Sia. Una funzione