Appunti Completi del Corso "Analisi e Geometria 1"

Funzione semplice minorante:

Definizione: Insieme di tutte le funzioni semplici maggioranti

Insieme di tutte le funzioni semplici minoranti in

Definizione: Una funzione limitata si dice integrabile (secondo Riemann) in

Definizione di integrale definito

Se una funzione è integrabile, tale valore comune si chiama integrale (di Riemann) di esteso all'intervallo

e si indica con

se si chiude l'ultimo

funzione caratteristica

limitata in

Somma superiore di Riemann

Somma inferiore di Riemann

vale

(quindi la funzione è integrabile)

Questo è un altro modo di scrivere

la condizione di integrabilità la sommatoria si indica

con questa S storta il passo diventa

Origine del simbolo: sempre più piccolo

se M e m diventano f(x)

Siano e due funzioni integrabili (secondo Riemann) nell'intervallo

allora la somma è integrabile in

Siccome vale per le funzioni semplici,

e vale vale anche per le funzioni generiche

è integrabile

allora

Se è

integrabile inè allora lo è anche in ogni intervallo e in

Se è integrabile inè allora lo è anche in

ci sono due classi di funzioni che sono sempre derivabili a priori:

• le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato
• le funzioni monotone in un intervallo chiuso e limitato

intervallo chiuso e limitato

Una funzione continua in , è integrabile in

Una funzione crescente e limitata in , è integrabile in

(decrescente) Le funzioni monotone possono anche non essere continue, perché tanto hanno sempre e solo discontinuità di tipo salto

funzione limitata e definita in ma non integrabile (secondo Riemann)

cioè se x è razionale

se Non si può disegnare

cioè se x è irrazionale

Una funzione semplice maggiorante deve essere in tutti i punti razionali di

Qualunque intervallino si prenda, al suo interno c'è sempre un razionale, e quindi la funzione semplice è in tutto

D'altra parte una funzione semplice

minorante deve essere in tutti i punti irrazionali di Ma in ogni intervallino c'è sempre un irrazionale, quindi la funzione semplice minorante è sempre in tutto non è integrabile (secondo Riemann)

Il problema è che gli intervalli, per quanto piccoli sono finiti, mentre l'oscillazione tra 0 e 1 è infinita. Vale solo se

In generale: Vale anche se

Sia una funzione integrabile nell'intervallo poniamo a allora se è continua, allora per la definizione di inf e sup:

per la proprietà :

Il numero reale poiché è continua, per il Teorema dei valori intermedi:

Supponiamo che a allora vale ancora

Infatti per quanto dimostrato prima si può togliere il - scambiandogli estremi di integrazione

Sia una funzione integrabile in sappiamo che è integrabile in qualunque sottointervallo, prendiamo allora come estremo sinistro e prendiamo l'estremo destro variabile

Funzione Integrale

Integrale definito:

- Si sa quando esiste

difficile da calcolare Integrale definito: Integrale indefinito (primitive):Pregi - Si sa quando esiste - A volte si sa calcolareDifetti - È difficile da calcolare - Non si sa quando esiste
chiuso e limitato
Sia una funzione continua nell'intervallola sua funzione integrale è derivabilee si ha ( ovvero è una primitiva di )( cioè )
Inoltre se è una qualunque primitiva diallorain particolare
La prima parte risolve il problema di esistenza dell'integrale indefinito
La seconda parte risolve il problema di calcolo dell'integrale definito
A volte questo teorema si spezza in due:- la prima parte si chiama: secondo teorema del calcolo integrale- la seconda parte si chiama: primo teorema del calcolo integrale
E inoltre questa formula è chiamata: Formula Fondamentale del Calcolo Integrale: h può essere sia positivo che negativo( può essere sia che )
Per il Teorema della media integrale contra e( nel teorema della media integrale non

importa l'ordine tra <strong>e</strong>) non si sa dove sia
Perciò In entrambi i casi &xi; tende a x poiché è continua
Sia una qualsiasi primitiva di <em>(definizione di primitiva)</em> è costante incorollario del teorema di Lagrange
In particolare:
se prendiamo <strong>Se non è continua non vale più il teorema fondamentale</strong>
Sia <em>limitata e integrabile (secondo Riemann)</em> in <strong>a</strong> <strong><= x <= b</strong> allora
Facciamo vedere che <strong>Teorema della media integrale</strong>
per il <strong>Teorema del confronto</strong>: è una primitiva
Ci sono due modi: 
- Si calcola <em>la G(x)</em> tra <strong>a</strong> e <strong>b</strong>
- Si calcolano tra <strong>a</strong> e <strong>b</strong> i singoli elementi
della formula dell'integrazione per parti.
<em>derivabile e invertibile</em>
Sia una primitiva di <strong>f(x)</strong>
Ci sono due modi: 
- Ma questo metodo richiede il calcolo di <em>F(b) - F(a)</em>
- Ma con questo metodo dobbiamo cambiare gli estremi di integrazione
Sia <em>integrabile</em>
Sottografico
Ma può cambiare segno:
In generale:
Siano <em>integrabili</em>
In generale:
Per il calcolo dell'area degli integrali definiti ci sono due condizioni:

limitato

limitata

Tuttavia se si toglie l'una o l'altra condizione, in alcuni casi è ancora possibile calcolare l'area

L'intervallo non è limitato

Questa regione di piano con una base di lunghezza infinita può avere un'area?

Definizione: Sia f(x), diremo che f(x) è integrabile (in senso improprio) in [a, b], se:

∫f(x)dx esiste finito il limite a+∫f(x)dx e converge

Se il limite ∫f(x)dx o esiste ma è infinito, diremo che f(x) NON è integrabile (in senso improprio)

positivamente

diverge

non converge negativamente

converge

diverge

limitato

Ora è l'altezza che è infinita

Definizione: Una funzione non limitata in [a, b], per qualche a < x < b, si dice integrabile (in senso improprio) in [a, b], se ∫f(x)dx esiste finito il limite a+∫f(x)dx e converge

Se il limite ∫f(x)dx o esiste ma è infinito, diremo che f(x) NON è integrabile (in senso improprio)

converge

diverge

Se la funzione è illimitata in un punto che non è un estremo bisogna separare in due casi.

Sono due

Integrali diversi, per questo usiamo due lettere. Non si può fare un solo integrale. Se si ha una singolarità sia a destra che a sinistra, bisogna separare l'integrale e studiare i due casi separati. A piacere.

Quindi in generale se si ha più di una singolarità, esse vanno studiate separatamente, non possono essere condensate in un integrale solo. Non converge.

È giusto che la somma di queste due aree faccia 0, ma questo non è l'integrale improprio.

Come stabilire se un integrale converge o meno senza usare la definizione, cioè senza calcolare la primitiva? Converge. Converge.

Converge per forza perché sta sotto a che ha un'area finita, quindi come potrebbe avere un'area infinita e cioè divergere? Diverge. Diverge.

Se l'area di è infinita, poiché sta sopra anche la sua area deve necessariamente essere infinita. Sia integrabile in e supponiamo che e allora è integrabile in senso improprio in e.

intervallo illimitato)
Siano due funzioni integrabili in supponiamo che L possa essere infinito, quindi g(x) può essere 0 infinito di ordine inferiore rispetto a f(x) dello stesso ordine. Assumiamo che g(x) possa essere infinito di ordine superiore rispetto a f(x). A volte questi due casi si chiamano: Teorema del Confronto Asintotico Generalizzato.

Funzioni definite in un intervallo limitato)
Siano due funzioni integrabili in supponiamo che A volte questi due casi si chiamano: Teorema del Confronto Asintotico Generalizzato.

Se i teoremi sono ancora validi, f(x) è continua in a per il teorema del confronto. Come g(x) prendo f(x), cioè confronto f(x) con una funzione che "va come" f(x) (sfruttando il limite notevole).

g(x) è continua in a per il teorema del confronto. Diverge, lo confronto con Diverge, quindi non si può confrontare con questo. Lo si può confrontare solo se anche questo diverge.

Per il segno della funzione in un intorno di δ, non conosciamo il segno, è uguale al segno.

Per qualche ora sappiamo il segno definito per il teorema del confronto visto che f "va come", la confrontiamo proprio con l'integrale improprio converge assolutamente se l'integrale improprio converge assolutamente se se Se un integrale converge assolutamente, converge anche semplicemente. Non è vero il contrario. Perché non è vero il contrario? Cit: "vi do giusto un cenno del perché non è vero"... 14 min!!! Cambia continuamente segno, quindi non si possono usare i teoremi precedenti. Usando la definizione però, si è in grado di dire che questo integrale converge diverge. I criteri del confronto e del confronto asintotico danno condizioni sufficienti ma non necessarie. Cioè non è vero che tutti gli integrali che convergono vanno a 0 velocemente cambiano segno. Visto che non hanno limite, il teorema del confronto fallisce, ma questo non vuol dire che l'integrale non converga si dimostra infatti che

converge converge Area di un qualsiasi triangolino converge Quest'area converge anche se la funzione non va a 0 È un'equazione che coinvolge: la variabile , la funzione e la derivata prima L'incognita è la funzione Si chiama di primo ordine perché è coinvolta la derivata prima. Se fosse coinvolta la derivata seconda, sarebbe di secondo ordine. Si chiama ordinaria perché è coinvolta solo la derivata prima.