Appunti Analisi matematica 1

1) Irrazionalità di √2

Formula de MoivreRadici n-esime in ℂTeorema densitàTeo CantorTeo completezzaTeo Fondam algebra

2) Limiti & Continuità

Unicità del limiteTeo del limite delle successioniTeo limitatezzaTeo permanenza del segnoAlgebra limitiTeo confrontoTeo monotoniaTeo Bolzano-WeierstrassTeo asintoticiForme indeterminateNumero NeperoTeo rapportoTeo radiceTeo limite successionaleTeo continuità funzione compostaTeo WeierstrassTeo valori intermediTeo zeri

3) Derivate

Concetto derivataContinuità funzioni derivabiliAlgebra (somma, prodotto, composta, inversa)Teo FermatTeo LagrangeTeo RolleTeo di monotoniaTeo L'HospitalFormula TaylorTeo Taylor-PeanoTeo Taylor-Lagrangedim ∂f |ℝConcavità/Convessità

4) Integrali

Calcolo funzioni primitiveRegola di LeibnizIntegrale di RiemannTeo media integrale1° e 2° teo fondamentale del calcolo integraleFunzione integraleIntegrali impropriTeo confronto, modulo, asintotici

5) Eq Differenziali

Problema CauchyFormula risolutiva equazioni differenziali lineari e variabili separabili

6) Geom Analitica nello Spazio

Operazioni varieRettaPianoSferaDistanza punto-pianopunto-sfera

7) Curve nello Spazio

Classe e lunghezza curveTeo rettificabilitàIntegrali curvilineiCurve equivalentiTeo delle curve equivalentiParametro d'arco

1) Irrazionalità di √2

Pag 1

• Formula de Moivre
• Radici n-esime in ℂ
• Teorema densità
• Teo Cantor
• Teo completezza
• Teo fondam algebra

2) Limiti & Continuità

Pag 5

• Unicità del limite
• Teo del limite delle succ
• Teo limitatezza
• Teo perm segno
• Algebra limiti
• Teo confronto
• Teo monotonia
• Teo Bolzano-Weierstrass
• Teo asintotici
• Forme indecisione
• Numero Nepero
• Teo rapporto
• Teo radice
• Teo limite successionale
• Teo continuità funz composta
• Teo Weierstrass
• Teo valori intermedi
• Teo zeri

3) Derivate

Pag 17

• Concetto derivata
• Continuità funz derivabili
• Algebra (somma, prodotto, composta, inversa)
• Teo Fermat
• Teo Lagrange
• Teo Rollé
• Teo dimonotonia
• Teo l'Hopital
• Formula Taylor
• Teo Taylor-Peano
• Teo Taylor-Lagrange
• Dim e IR √ℚ
• Convavità/convessità

4) Integrali

Pag 33

• Calcolo funzioni primitive
• Regola di Leibniz
• Integrale di Riemann
• Teo media integrale
• 1^o e 2^o teo fondamentale del calcolo integrale
• Funzione integrale
• Integrali impropri
• Teo confronto, modulo, asintoto

5) Eq differenziali

Pag 45

• Problema Cauchy
• Formula risolutiva eq differenziali lineari e variabili separabili

6) Geom analitica nello spazio

Pag 49

• Operazioni varie
• Retta
• Piano
• Sfera
• Distanza punto-piano punto-sfera

7) Curve nello spazio

Pag 58

• Classe e lunghezza curve
• Teo rettificabilità
• Integrali curvilinei
• Curve equivalenti
• Teo delle curve equivalenti
• Parametro d'arco

Teorema Densità

Pr: ∀ p q ∈ Q se p < qTh: ∃ r ∈ Q tc p < r < q

Teo Cantor

Hp: A finito n elemTh: ∃ P(A) = 2ⁿ elem

Asseriamo A ~ P(A)

Equipotenze tra Insiemi

N ~ Zf(0) = 0f(n) = -nf(n) = 1ecc

N ~ Q

m / n → Z 2 3 ♻ n

1 → 2 → 2/2 → m / n2 → 3 → 2/33 → 2/2m / n× transitivitàZ ~ Q

Teo Completezza

A ⊆ R

a sup limitato → ∃ sup A ( < +∞ )inf limitato → ∃ inf A ( > -∞ )

Teo Approssimazione

q ∈ R p ∈ Q

|q - p| < ε ∀ ε > 0

IRRAZIONALITÀ DI √2

∃ q ∈ ℚ TC q² = 2 con q = m/n, m, n ∈ ℤ

DIM:

m, n PRIMI TRA LORO

→ m² / n² = 2 → m² = 2n²

PARI ⇒ m PARI

SE m PARI ALLORA:

• m = 2k
• m² = 4k²
• 4k² = 2n²
• 2k² = n²
• → n PARI

IMPOSSIBILE CHE m, n PARI E PRIMI TRA LORO, CUD

√2 ∉ ℚ

IRRAZIONALITÀ DI √2 (2)

A: { q ∈ ℚ⁺ TC q² ≤ 2 }

B: { q ∈ ℚ⁺ TC q² ≥ 2 }

q² < 2 < ϱ²

⇒ q² < ϱ²

q < ϱ

ESSENDO FUNZIONI MONOTONE CRESCENTI ALLORA: