Appunti Analisi matematica 1

1) IRRAZIONALITA DI √2 ..... PAG 1

• FORMULA DE MOIVRE
• RADICI N-ESIME IN C
• TEOREMA DENSITA
• TEO CANTOR
• TEO COMPLETEZZA
• TEO FONORMA ALGEBRA

2) LIMITI E CONTINUITA ..... PAG 5

• UNICITA DEL LIMITE
• TEO DEL LIMITE DELLE SUCC
• TEO LIMITATEZZA
• TEO PERM SEGNIO
• ALGEBRA LIMITI
• TEO CONFRONTO
• TEO MONOTONIA
• TEO BOLZANO-WEIERSTRASS
• TEO ASINTOTICI
• FORME INDEICISIONE
• NUMERO NEPERO
• TEO RAPPORTO
• TEO RADICE
• TEO LIMITE SUCCESSIONALE
• TEO CONTINUITA FUNZ COMPOSTA
• TEO WEIERSTRASS
• TEO VALORI INTERMEDI
• TEO ZERI

3) DERIVATE .......... PAG 17

• CONCETTO DERIVATA
• CONTINUITA FUNZ DERIVABILI
• ALGEBRA (SOMMA, PRODOTTO, COMPOSTA, INVERSA)
• TEO FERMAT
• TEO LAGRANGE
• TEO ROLLE
• TEO DIMONOTONIA
• TEO LHOPITAL
• FORMULA TAYLOR
• TEO TAYLOR-PEANO
• TEO TAYLOR-LAGRANGE
• DIM E IN CR√x
• CONCAVITA/CONVESSITA

4) INTEGRALI .......... PAG 33

• CALCOLO FUNZIONI PRIMITIVE
• REGOLA DI LEIBNITZ
• INTEGRALE DI RIEMANN
• TEO MEDIA INTEGRALE
• 1° E 2° TEO FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
• FUNZIONE INTEGRALE
• INTEGRALI IMPROPRI
• TEO CONFRONTO, MODULO, ASINTOTO

5) EQ DIFFERENZIALI ..... PAG 45

• PROBLEMA CAUCHY
• FORMULA RISOLUTIVA EQ DIFFERENZIALI LINEARI E VARIABILI SEPARABILI

6) GEOM ANALITICA NELLO SPAZIO ..... PAG 49

• OPERAZIONI VARIE
• RETTA
• PIANO
• SFERA
• DISTANZA PUNTO-PIANO
• PUNTO-SFERA

7) CURVE NELLO SPAZIO ..... PAG 58

• CLASSE E LUNGHEZZA CURVE
• TEO RETTIFICABILITA
• INTEGRALI CURVILINEI
• CURVE EQUIVALENTI
• TEO DELLE CURVE EQUIVALENTI
• PARAMETRO D'ARCO

Teorema Densità

∀p,q ∈ ℚ se p<q

∃r ∈ ℚ t.c. p<r<q

Teo Cantor

Ip: A finito n elem

Th: ∃ P(A)=2ⁿ elem

Accumulato A ~ P(A)

(Insieme delle parti → cardinalità maggiore di A)

Equipotenze tra insiemi

ℕ ∼ ℤ

• f(0)=0
• f(n)=n
• f(2)=1
• ecc

ℕ ∼ ℚ

• m n → 2 3 n ¹⁄₁   ¹⁄_m
• 2 → 2/2 ²⁄₁   ³⁄_n
• 3 → n ³⁄₁   ^m⁄_n

x transitività ℤ ∼ ℚ

Teo Completezza

A ⊆ ℝ

A sup limitato → ∃ sup A (≥ +∞)

inf limitato → ∃ inf A (≤ -∞)

Teo Approssimazione

q ∈ ℝ, p ∈ ℚ

|q-p|<ε ∀ε>0

Teorema Fondamentale dell'Algebra

Dato il polinomio di grado n P_n(z)

∃ (almeno) una soluzione di P_n(z) = 0 con z ∈ ℂ

Intorno

Dato x₀ ∈ ℝ e r > 0 intorno B_r(x₀) = {x ∈ ℝ | |x - x₀| < r}

Punto Interno

x₀ ∈ A interno ⇔ ∃ r > 0 t.c. B_r(x₀) ⊂ A

Insieme Aperto

A aperto ⇔ ∀x₀ ∈ A x₀ interno ad A

à = parte interna di A

Punto Accumulazione

x₀ ∈ ℝ è punto di acc per A ⇔ ∀r > 0 B_r(x₀) ∩ A ≠ x₀

Punto Isolato

x₀ ∈ ℝ punto isolato A ⇔ ∃ r > 0 t.c. B_r(x₀) ∩ A ⊆ x₀

Limite (Successioni)

Dato {a_n}_n∈ℕ succ reale

∀ ε > 0 ∃ N(ε) t.c. ∀ n > N(ε) |a_n - L| < ε

∀ M > 0 ∃ N(m) t.c. ∀ n > N(m) a_n > M

Teo Ruffini

Sia z₁ soluzione di P_n(z₁) = 0

Allora ∃ P_n-1(z) t.c. P_n(z) = (z - z₁)P_n-1(z)

Teo Asintotici

hp: a_n ∼ b_n ⇔ _{n → +∞}

Th: l = _{n → +∞} a_n = 1

Forme di Indecisione

1. P_n(x) ∼ _{n → +∞}
2. PotenzE
3. a_n = _{n → +∞}
4. a_n = _{n → +∞}

Teo Rapporto

hp: {a_n}_n∈N Succ Reale Non Oscillante

1. a_n > 0
2. l = _{n → +∞} a_n+1/a_n = l

Th:

• {L ∈ [0,1) ➔ _{n → +∞} a_n = 0⁺}
• {L ∈ (1,+∞) ➔ _{n → +∞} a_n = +∞}
• {L = 1 ➔ _{n → +∞} a_n = indeterminato}

Esempio: a_n = n²

In teoria l = _{n → +∞} a_n = +∞

Usando il teorema:

a_n+1/a_n = (n+1)²/n² ➔ _{n → +∞}

b² = 1 L = 1

SI SONO COSTRUITE 2 SUCCESSIONI {a_n}, {b_n}

a₀ ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n

b₂ ≥ b₃ ≥ ... ≥ b_n

b_n - a_n = ^b₀-a₀/_2ⁿ

f(a_n) f(b_n) < 0

CONSEGUENZE:

succ. monótona e limitate

a_n = a

n → +∞

l = a = b

= x₀

∈[a₀, b₀]

l = f(a_n)

l = f(b_n)

= f²(x₀)

PER HP.

= l(x₀) = 0

Teorema di Lagrange

f ∈ C⁰[a,b] derivabile in (a,b)

Th: ∃ c ∈ (a,b) tc f'(c) = ^f(b)-f(a)/_b-a

Dim:

g(x) = f(x) - f(a) - ^f(b)-f(a)/_b-a(x-a)

g(a) = g(b) = 0

g(x) ∈ C⁰[a,b] somma di funz continue

g(x) derivabile (a,b) somma funz derivabili

g'(x) = f'(x) - ^f(b)-f(a)/_b-a

X Il Teo di Weierstrass

∃ x_m ∈[a,b] tc f(x_m) ≤ f(x) ≤ f(x_M) ∀ x ∈ [a,b]

1° caso) x_m = x_M ⇒ g(x) = K ⇒ g'(x) = 0 ⇒ f'(x) = ^f(b)-f(a)/_b-a

2° caso) ∄ (X_M > x_m), essendo g(a) = g(b) almeno 1 deipunti estremanti non si trova agli estremi per cuiC = x_M, x_m ∈ (a,b)

E per Fermatg'(x_m) o g'(x_M) = 0

g'(c) = 0 = f'(c) - ^f(b)-f(a)/_b-a

f'(c) = ^f(b)-f(a)/_b-a

TEO TAYLOR-LAGRANGE

f: A→ℝ

n^{ma volte derivabile} in x₀∈A

Th: ∃ c ∈ A t.c f(x) - T_{f, n, x₀}(x) = _{f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) (x-x₀)ⁿ⁺¹}/^(n+1)!

DIM: η:0 f(x) - f(x₀) = f'(c)(x-x₀)

TEO LAGRANGE

DIMOSTRAZIONE

che e ∈ ℝ \ ℚ

f(x) = e^x

FUNZ DERIVABILE n VOLTE IN x₀=1 CON x∈[0,1]

f(1) = e

e - (1 + 1_/2 + 1_/6 ... + 1_/n!) = _e^c/^(n+1)! xⁿ⁺¹

2_{e^{c e}} ≤ 3

SE P.A. e = _l/^h (∈ ℚ)

∀η n! l_/h - (1 + 1_/2 + ... + 1_/n)! l = _e^c/ⁿ⁺¹ xⁿ⁺¹ ≤ 3_/n+1

SE n > h n! l_/h ∈ INTERO

SE n > max{_{h, 3}} 0 < n! l^l_/h1(1 ... + 1_/n) ³_/n+1 ≤ 3⁴

∄ q∈ℤ t.c 0_cq ≤ 3

PERTANTO e∈ℝ\ℚ