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Analisi probabilistica e teoria delle code - prova dicembre 2003

Prova d'esame di Analisi probabilistica e teoria delle code per il corso del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: in riferimento all'esercizio uno - calcolare la probabilità che non si verifichi alcun guasto prima di 3000 ore; qual’è la probabilità che dopo le 3000 ore di vita risultino funzionanti non più di due... Vedi di più

Esame di Analisi probabilistica e teoria delle code docente Prof. P. Legato

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ESTRATTO DOCUMENTO

Nel nostro caso, dai dati forniti nel testo dell’esercizio, risulta:

1 − −

λ 1 1

= =

min 0 . 25 min

4

1 1

− − −

µ 1 1 1

= = =

sec min 0 . 5 min

120 2

λ 0 .

25

ρ = = = 0

. 5

µ 0

. 5

quindi, sostituendo questi valori e calcolando F (t) per t=0 (attesa = 0 prima del servizio) si

W

ha: − − ⋅

0 . 5 (

1 0 . 5 ) 0

> = − = − ⋅ = − ⋅

Pr( 0 ) 1 ( 0 ) 1 0 . 5 1 0 . 5 1

attesa F e

W

ρ

= ≡

0 . 5

(che è la risposta al quesito 1.1)

1.2) la percentuale delle richieste la cui evasione comporta un’attesa superiore al minuto;

Calcoliamo la probabilità con cui una richiesta attende più di 1 minuto:

= ≤ = − > ⇒

F (

t ) P (

W t ) 1 P (

W t )

W µ ρ µ ρ

− − − −

(

1 )

t (

1 )

t

ρ ρ

> = − ≤ = − + ⋅ = ⋅

P (

W t ) 1 P (

W t ) 1 1 e e

− − ⋅

0

.

5

(

1 0

. 5

) 1

> = ⋅ =

P (

W 1

) 0

.

5 e 0

. 39

quindi, che è la risposta al quesito 2.2).

(

1.3) il tempo medio di soggiorno (attesa + servizio) di una richiesta all’interno del sito Web.

Calcoliamo il tempo medio di risposta (attesa + servizio):

ρ

− − −

[ ] [ ] 0

. 5

1 1 1

µ µ

= + = + = + =

E D E W 0

. 5 4

µ ρ

− −

(

1 ) 0 .

5

(

1 0 .

5

)

dove E[D] e E[W] indicano il valore atteso del tempo speso in stazione ed il tempo speso in

coda.

2) Si supponga di duplicare il sottosistema di gestione delle richieste utente e si valuti, con un

secondo modello a coda:

2.1) la variazione della percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna attesa:

Avendo un secondo sottosistema IDENTICO al primo per gestire le richieste degli utenti,

ovvero si passa al cosiddetto modello M/M/m con m=2 :

5

=

m 2 −

µ 1

= 0 . 5 min −

λ 1

= 0 . 25 min

λ

ρ = = 0 . 25

µ

2

La percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna attesa è 1-PB,

dove PB = prob. che un utente debba attendere prima di essere servito.

m

λ

 

1 1

− = − 

1 PB 1 P

 

µ ρ

− 0

 

m

! 1

Calcoliamo P :

0 −

1

 

1

∑ i m

 

λ λ

   

1 1 1

 

= + =

   

P 0 . 6

0    

µ µ ρ

 

! ! 1

i m

   

 

=

 

0

i

− = =

1 PB ... 0 .

9

Quindi

2.2) la variazione del tempo medio di risposta

Il tempo medio di risposta è:  −

 

m 1

[ ] ∑

 

[ ] [ ]

E S

  

= + −

E W E L 1 P

n

 

m

  

=

 

n 0

 [ ]

 1

= =

 E S 2 min

µ

[ ] [ ] − 

µ 1

= + m

λ ρ

 

E D E W [ ]

, dove 1

  

= =

E L P 0 . 025

0

 

 µ ρ

m

! 1

 

Calcoliamo quindi E[W]:

[ ]

[ ] 2

= + − − =

E W 0 . 025 1 P P 0 . 125

0 1

2 λ

 

1

= = =

 

P P ... 0

. 3

1 0

 

µ

dove P è stato calcolato precedentemente e 1

!  

0

quindi −

[ ] [ ] 1

µ

= + =

E D E W 2 .

125 6

3) Ritornando al caso di un unico sottosistema di gestione delle richieste utente, si supponga che

al più 3 richieste possano essere accettate dal sito (2 nel buffer d’attesa e una sotto servizio) e si

valuti, con un terzo modello a coda:

3.1) la variazione del tempo medio di attesa in coda per la generica richiesta accettata;

Siamo nel caso del sistema M/M/1/B con un solo servente e lo spazio di accumulo del buffer

limitato a 2 richieste, quindi la probabilità che siano presenti ”i” utenti nella stazione

(supposto che al massimo ne possono stare k =3, compresa quella sotto servizio) è

ρ

1 ρ

= =

i

P i 0,..., k

≤ ρ +

i |

i k k 1

1

λ

ρ = = 0 . 25

µ

dove

A questo punto, calcoliamo le probabilità P , P , P e P :

0 1 2 3

1 0 . 16

= =

P 0.848

0 4

1 0 . 16

1 0 . 16

= ⋅ =

P 0 . 16 0.13

1 4

1 0 . 16

1 0 . 16

= ⋅ =

2

P 0 . 16 0.021

2 4

1 0 . 16

1 0 . 16

= ⋅ =

3

P 0 . 16 0.0034

3 4

1 0 . 16

Calcoliamo il numero atteso di utenti all’interno della stazione:

3

= ⋅ =

E [ N ] i P 0 . 18

i

=

i 1

Ipotizzando che il flusso degli utenti accettati sia ancora un flusso poissoniano, il tempo medio

di attesa in coda per la generica richiesta accettata può essere valutato con la seguente

formula: −

( ) ( )

1

= ⋅ + = + =

E [

W ] E [ S ] E [ N ] 1 0 . 5 0 .

18 1 2 .

36

3.2) la variazione del tempo medio di risposta.

Il tempo medio di risposta è la somma del tempo medio di attesa in coda + il tempo medio di

servizio: − −

[ ] [ ] 1 1

µ

= + = + =

E D E W 2

.

36 0

.

5 4

.

36

7


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DESCRIZIONE ESERCITAZIONE

Prova d'esame di Analisi probabilistica e teoria delle code per il corso del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: in riferimento all'esercizio uno - calcolare la probabilità che non si verifichi alcun guasto prima di 3000 ore; qual’è la probabilità che dopo le 3000 ore di vita risultino funzionanti non più di due dei tre componenti?


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi probabilistica e teoria delle code e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Legato Pasquale.

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