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Analisi probabilistica e teoria delle code - prova luglio 2003

Prova d'esame di Analisi probabilistica e teoria delle code per il corso del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il "rischio di guasto" di un componente, il tasso di guasto di un componente, l'affidabilità del componente, la possibilità che questo funzioni.

Esame di Analisi probabilistica e teoria delle code docente Prof. P. Legato

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ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(a.a. 2002-03 - docente P. Legato)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 01-07-03

ESERCIZIO n°1

Quesito n°1

Il "rischio di guasto" di un componente sta crescendo linearmente col tempo d'uso, secondo un

coefficiente pari 0.2. Qual è la probabilità che il componente funzioni ancora fra 2 unità di tempo?

Soluzione.

Il tasso di guasto del componente è h(t) = 0.2 t;

l’affidabilità del componente è

 

t

= −

 

R (

u ) exp h (

t ) dt

 

0

quindi la possibilità che il componente funzioni ancora fra 2 unità di tempo è

 

2

 

2 2 [ ]

t

= − = = − ⋅ = − =

 

 

R ( 2

) exp 0

. 2

t dt ... exp 0

. 2 exp 0

.

4 0 .

6703

 

2

   

0 0

Quesito n°2

La durata media del servizio effettuato da una risorsa è decomponibile in due fasi in cascata. La

durata complessiva è pari a 4 unità di tempo e si pensa che la prima fase duri ¼ del tempo

complessivo. Qual è la probabilità che il servizio venga completato entro 2 unità di tempo?

Soluzione.

Siano X1 ed X2 due v.a. continue con distribuzione esponenziale:

X1=”durata della I fase” ed X2=”durata della II fase”;

quindi X = X1 + X2 = “durata del servizio”

E[X]=4; E[X1]=(1/4)*4=1; =>E[X2]=3.

λ λ

-1 -1

Dai valori attesi di X1 ed X2 ricaviamo =E[X1] =1, =E[X2] =0.33.

1 2

Le funzioni di distribuzione e densità sono pertanto:

λ λ

− −

= − = −

 

t t

 

( ) 1 ( ) 1

F t e F t e

1 2

X X

 

1 2

λ λ

λ λ

− −

= =

t t

 

f e f e

1 2

X X

1 1 2 2

La probabilità che il servizio venga completato entro 2 unità di tempo è:

P(X<=2) = F (2).

X

Bisogna calcolare la F (t), pertanto la distribuzione della somma di variabili aleatorie indipendenti:

X [ ]

t t λ λ

λ

− − −

∫ ∫

= − = − =

t x t

( )

F (

t ) F (

t x ) f ( x ) dx1 1 e e dx ...

2 1 1

X X X 1 1

2 1 1 1

= =

x x

0 0

1 1

λ λ

− +

 

t

( )

e 1 2

t t

λ λ

λ −

= − = =

t x

... e x e ... 0 . 0725

 

1 2 1

λ

1 1 = =

 

x x

0 0

1 1

2

λ λ

quindi, sostituendo i valori di , e t(=2), si ricava F (2)=0.0725.

1 2 X

Quesito n°3

Una risorsa impiega mediamente 20 min per effettuare un servizio all’utente. Sapendo che con

probabilità 0.6 un utente in arrivo troverà la risorsa occupata e nessuno in coda e con probabilità 0.4

la troverà occupata e con uno in coda, qual è la probabilità che l’utente in arrivo debba attendere il

suo turno per più di 28 min ?

Quesito n°4

Qual è il tempo medio di vita di un sistema parallelo, composto di due componenti con tasso di

-3 -1 -3 -1

guasto costante e pari, rispettivamente, a 4x10 h e 6x10 h ?

Soluzione.

Definiamo la v.a. X = “tempo al guasto del sistema”;

=

E

[ X ] R (

t ) dt (*)

0

dove R(t), l’affidabilità del sistema parallelo, è:

2 ( )

= − −

R (

t ) 1 1 R (

t ) (**)

i

=

i 1

 u

− h ( u ) du −

 1 3

= = 4

*

10 u

 R (

t ) e e

0

 1 u

dove  ∫

− h ( u ) du −

2 3

= = 6

*

10 u

 R (

t ) e e

0

 2

Sviluppando la produttoria (**) e sostituendola nell’integrale (*) si ottiene

2


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi probabilistica e teoria delle code e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Legato Pasquale.

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