Analisi probabilistica e teoria delle code - prova gennaio 2003

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(a.a. 2002-03 - docente P. Legato)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 07-01-2003

ESERCIZIO n°1

Tutti i messaggi presenti su due buffers distinti e indipendenti vengono trasmessi ciclicamente su

una sola linea di trasmissione, svuotando prima l’uno e poi l’altro buffer. Da un monitoraggio HW,

risulta che occorrono, in media, 2sec per trasmettere tutti i messaggi nel primo buffer e 4sec per i

messaggi nel secondo.

Siano X1 ed X2 i tempi allo svuotamento rispettivamente dei buffer 1 e 2.

Scegliere due distribuzioni per modellare il “tempo allo svuotamento del 1° buffer” e il “tempo allo

svuotamento del 2° buffer” e calcolare:

• la probabilità che il 1° buffer venga svuotato in un tempo compreso fra 1sec e 2sec;

• la probabilità che il 2° buffer venga svuotato nei prossimi 2sec, posto che non è stato

svuotato nei primi 2sec.

λ

λ B1X1 - t

=(1/2), F (t)=1-e µ

µ B2X2 - t

=(1/4), F (t)=1-e

Prob{1<=X1<=2}=F(2)-F(1)= 0.6321-0.3935=0.2386

Prob{X2<=4|X2>2}=Prob{X2<=2}= 0.3935 (per la proprietà di assenza di memoria)

Ricavare la distribuzione del “tempo allo svuotamento di entrambi i buffers” e calcolare la

probabilità che lo svuotamento di entrambi duri più di 6sec.

Sia X il tempo allo svuotamento di entrambi i buffer:

Allora: X=X1+X2, pertanto la distribuzione del tempo allo svuotamento di entrambi i

λ µ

buffers è data dalla convoluzione di due esponenziali di parametro diverso ( e ), cosa

che è stata fatta nella terza esercitazione (diapositiva n°16).

λ µ

 

µ λ

− ⋅ − ⋅

− +

 

t t

1

Dunque: F (t)= e e

 

X λ µ µ λ

− −

 

λ µ

 

 

µ λ

− ⋅ − ⋅

− − + =

 

t t

 

1 1 e e 0.3965

Prob{X>6}=1-Prob{X<=6}=  

λ µ µ λ

− −

 

 

1