Analisi probabilistica e teoria delle code - prova aprile 2003

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(a.a. 2002-03 - docente P. Legato)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 04-04-03

ESERCIZIO n°1

Un particolare sistema di elaborazione è organizzato in tre sottosistemi-componenti identici,

secondo lo schema detto "a ridondanza modulare tripla con voto di maggioranza". In particolare, i

tre componenti lavorano in modo indipendente, processando in parallelo lo stesso insieme di dati

acquisiti in tempo reale. Il comparatore dei risultati può essere considerato "perfetto" e la legge di

-1

guasto di ognuno dei tre componenti è una legge esponenziale di parametro pari a 1/9000 ore .

1. Come si può esprimere la variabile aleatoria “tempo al primo guasto”, in funzione dei “tempi al

guasto dei tre componenti”?

Sia X il tempo al guasto del componente i-esimo (i=1,2,3).

i 1

λ =

hanno distribuzione identica ed esponenziale di parametro .

Le v.a. X

i 9000

Sia Y la v.a. tempo al primo guasto del sistema, allora: Y = min { X , X , X }.

1 1 1 2 3 λ

Essa è distribuita con legge esponenziale, ma di parametro pari alla somma dei tre (3 )

2. Quanto vale il “tempo medio al primo guasto”? e il “tempo medio tra il primo e il secondo

guasto”? 3

− t

− 9000

1 e

Essendo: F (t) = , il tempo medio al 1° guasto è: E[Y ] = (9000/3) h = 3000 h.

Y1 1

Per determinare la distribuzione della v.a. tempo al secondo guasto, Y , bisogna considerare il

2

sistema come composto dai due componenti sopravvissuti e, si noti, che non importa sapere chi

siano, dal momento che sono identici. 2

− t

− 9000

Dunque: Y = min { X ,X } e quindi: F (t) = .

1 e

2 Y2

La determinazione del tempo medio tra il primo ed il secondo è agevole solo grazie alla

proprietà di assenza di memoria della distribuzione esponenziale.

E[Y ] = (9000/2) h = 4500 h

Risulta : 2

3. Derivare l’espressione della funzione di distribuzione della variabile aleatoria “tempo al 2°

guasto, ovvero al guasto del sistema “. Calcolare, per questa via, la probabilità che il sistema

risulti ancora funzionante all’istante t=2.000 ore e verificare che lo stesso risultato si otterrebbe

ricorrendo al concetto di “statistica dell’ordinamento”.

Sia X=Y +Y la v.a. tempo al secondo guasto. Allora X è somma di due v.a. distribuite con

1 2

legge esponenziale, ma con parametri differenti. Pertanto la distribuzione di X si ottiene come

convoluzione di esponenziali non identiche. 1