Analisi probabilistica e teoria delle code - prova settembre 2003

X

B

X =”tempo al guasto di R”

R 1

λ λ −

= = = 4

10

con distribuzione esponenziali di parametri e

A B 10000

1

λ −

= 4

1 .

25 * 10 .

c 8000

Consideriamo la v.a. X =”tempo al guasto del sottosistema seriale AB”;

AB

∞

[ ] ∫

=

E X R (

u ) du

AB AB

=

u 0

Essendo AB un sistema seriale, si ha :

[ ] [ ]

= ⋅ = − ⋅ − =

R (

t ) R (

t ) R (

t ) 1 F (

t ) 1 F (

t )

AB A B XA XB

[ ][ ]

λ λ λ λ

− − − +

= − + ⋅ − + =

t t ( ) t

1 1 e 1 1 e e

A B A B

1

∞ ∞

[ ] λ λ

− +

∫ ∫

= = =

u

( )

E X R (

u ) du e du 5000

A B

Quindi .

AB AB

= =

u u

0 0

2) Assumendo che la commutazione riesca sempre e precisando ulteriori, eventuali, ipotesi:

2.1) ricavare media e varianza del tempo di vita del sistema;

Soluzione.

Ipotesi: i componenti sono indipendenti, la commutazione riesce sicuramente e si realizza in

tempo trascurabile. 1 1 1 1

= + = + = + = + =

E

[

Y ] E

[ X X ] E

[ X ] E

[ X ] 13000

AB R AB R λ λ λ λ λ

+

AB R A B R

= + =

VAR

[

Y ] VAR

[ X X ]

AB R [ ]

( ( )

)

( ( )

)

+ + − −

VAR

[ X ] VAR

[ X ] 2 E X E X X E X

AB R AB AB R R

1

4

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

4

3

= 0

2.2) impostare la formula che definisce la distribuzione del “tempo di vita del sistema”.

Soluzione.

Ipotesi: la commutazione riesce sicuramente e si realizza in tempo trascurabile.

Definiamo la v.a. Y =”tempo al guasto del sistema” Y = X +X ;

AB R

Le funzioni di distribuzione e densità sono:

λ λ λ

− + −

= − = −

 

( ) t t

 

F (

t ) 1 e F (

t ) 1 e

A B R

X X

 

AB R

λ λ λ

λ λ λ

− + −

= + =

e

( ) t t

 

f (

t ) ( ) e f (

t ) e

A B R

X A B X

AB R R

Dai risultati ottenuti sulla distribuzione della somma di variabili aleatorie indipendenti, si ha:

[ ]

( )

t t ( ) ( )

λ λ λ

λ λ

− − − +

∫ ∫

= − = − +

( t x

1

) x

1

F (

t ) F (

t x

1

) f ( x

1

) dx

1 1 e e dx

1

R A B

Y X A B

X AB

R

= =

x

1 0 x

1 0

3) Proporre un modello di comportamento del commutatore che consideri la probabilità (1-p)

che la commutazione non riesca al primo tentativo.

Soluzione.

Introduciamo la v.a. X, definita come segue:

X=1 (la commutazione riesce)

X=0 (la commutazione fallisce)

Con il seguente modello bernoulliano

P (1) =p

X

P (0) = 1- p

X 2

4) Quali formule occorre usare per calcolare la distribuzione del tempo di vita del sistema e il

tempo medio al guasto del sistema, coerentemente col punto 3) ?

4.1) Presentare la formula ed usarla per calcolare il tempo medio al guasto del sistema,

assumendo che sia: p = 0.9.

Soluzione.

Densità condizionata della Y

t

∫

= −

f (

t ) f (

t v ) f ( v ) dv

=

| 1

Y X XR XAB

=

v 0

=

f (

t ) f (

t )

=

Y | X 0 XAB

Grazie alla formula della densità congiunta si ottiene

=

f (

t , x ) f (

t | x ) P ( x )

Y , X Y | X X

pertanto si ha:  t

∫

⋅ − > =

 p f (

t v ) f ( v ) dv t 0, X 1

= 

f (

t , x ) XR XAB

=

v 0

Y X

,  − ⋅ > =

(

1 p ) f (

t ) t 0, X 0

 XAB

La densità marginale della Y è quindi t

∫

= + = − ⋅ + −

m

( )

f (

t ) f (

t , 0

) f (

t ,

1

) (

1 p ) f p f (

t v ) f ( v ) dv

Y X Y X X X X

, ,

Y AB R AB

=

v 0

(1)

L’affidabilità è t

∫

= − = −

( m ) ( m )

R (

t ) 1 F (

t ) 1 f (

t ) dt (2)

Y Y

0

Dall’affidabilità possiamo ricavare il tempo medio al guasto del sistema

∞

[ ] ∫

=

E Y R (

t ) dt

0

che è la risposta al nostro quesito.

Risolviamo ora la seconda parte (l’integrale di convoluzione) della formula (1):

( ) ( )

t t λ λ λ

− − − +

λ λ λ

∫ ∫

− = ⋅ +

( )

t v v

f (

t v ) f ( v ) dv e e dv

R A B =…

X X R A B

R AB

= =

( )

v 0 v 0

− −

− − ⋅ − ⋅

⋅ −

4 4

4 1 . 25 10 t 0 . 75 10 t

3

.

33 10 e e 1

…=

Sostituendo il risultato appena ottenuto nella (1) si ottiene

3