Analisi Matematica II - studio di funzione

Studio di funzione 1

f(x) = ^{x2 - 2} / _{x² - x - 2}

1. Dom P: ℝ\{0} = ] -∞ ;0[∪]0, +∞[
2. f(x) ≥ 0⟺ ^{x2 - 2} / _{x² - x - 2} ≥ 0⟺x∈D_omf
3. x = -1 ; x = 2 f_c(±) = 0 f('z)
4. lim f(x) = lim ^x2-2 / _{x² - x - 2} = (0|∞)
5. lim ¹ / _{x² x (- x² - ¹ / x²) = lim ¹ / x² x (- x² -2) = ±∞}
6. lim f_x = lim ¹ / _{x^{2 x2 - x - 2} / 1 | x = ± ^∞ / 2}
7. La retta d'eq x0 é ásmto vertical. 1ᵃ dx e sx
8. y = f(x)
9. |x² - x - 2| ^{x2 - x - 2 + 2x2 - x - 2 = 0}
10. X² -x -2
11. 2 and

f(x)

= ^x2-x-2/_x² x>2

(x + 2)/(x) 1 ≤ x ≤ 2

1 + ^x|-2| x<1

f'(x)

^x| x² - x ≤ 2

lim_{x → 2}

f(x) - f(-1)

lim_{x → -1} ¹/_x²|x²-x≤2

lim_{x → 2}

Studio di funzione 2

1. Studio di funzione (assegnato f(x)):

• Determinare Dom f
• "Studiare" il segno di f₁ ∏ (cioè determinare per quali x ∈ Dom f / f(x) ≥ 0
• Determinare i P.D.A (punti di discontinuità) di Dom f e calcolare i limiti di f in tali punti.
• Determinare gli asintoti del grafico di f (obliqui & r levato)
• Studiare il segno di f ' (x) determinando gli intervalli di monòtonia di f
• E i suoi estremi

i)

• Dom f:{ x ∈ R / x ≠ 5 } = R\{5} ⇒ ] -∞, 5 [U] 5, +∞ [

ii)

• ^{x² + 1} / _{x - 5} ≥ 0 ( ⇒ ) x - 5 > 0 ( ⇒ ) x ≠ 0 Potere il N° si scrive tmp: do

iii) P.d. a. = 5, i ∞

_lim^{x → 5+ x² + 1} / _{x - 5} = ∞

_lim^{x → 5 x² + 1} / _{x - 5} = -∞

_lim^{x → 5+ x² + 1} / _{x² + 1} = +∞

Studio di funzione 3

1. Studio di funzione

   f(x) = log(e^{x^2} – π)

   1. e^{x^2} > π ⟺ e^x > π ⟺ x² ⋅ log e^{x^2} ⋅ log e⟺ log e

      ⇒x² > log eπ ⇒ x > log_eπ∧(x = 1; 2

      ⇒ x > log_eπ ∪ x < – log_e[π

   2. Domen f

      .

      • f(x)
      • ≥
      • 0 ⟺ log_e(e^[xπ
      • x > √log_e
      • x < – √log_e][π – 1)

      x ≤ – √log_e( – π)))]

CONTINUO

lim_x→+∞ 2/x = 0 ⇒ lim_x→+∞ (-2/x) = 0

...

lim_x→+∞ √(1 + 4/x²) = 1

lim_x→+∞ √((4/x²) - 1) = 1

lim_x→+∞ (√(1 + (-4/x²) - 1)/(-4/x²))

lim_x→∞ 1/x √(x² - x²) = -1

lim_x→∞ √(x² - 1) + x = lim_x→∞ ((-√(1 + (-4/x²) + 1)/(-4/x²)) · (1/2))