Analisi Matematica I - Quaderno Esercizi III

f(x) = √(1 - (log₂x)²) / (1 + log₂x)

I_f(x) :

• 1 + log₂x - (log₂x)² > 0
• 1 + log₂x > 0
• x > 0

γ² ≤ 1

-1 < γ < 1

∀x∈ℝ

x > 0

1 - a < log x ≤ 1

∀x∈ℝ

log x + 1 mai verificata

x > 0

log e < (log_e)* (l’imagine centrale)*x log x (poiché x > x)⇒ 1/e < x < e

∀x∈ℝ

x > 0

O | 1/e | e

D_{1/e, e}

Non ci sono simmetrie

Segue f(x) > 0 ∀x∈ℝ

Intersezione con gli assi

X = 0 Nessuna intersezione con Y

f(x) =

γ = 0

+ log₂x = Δ

Limiti

lim_{x → e} -log x + 1 / Δ⁺

lim_{x → e} √(log²x + Δ) / 1 + log₂x= 0⁺

La derivata è lunga da calcolare

Limite di funzione usando Taylor

^lim_x→0 ^{XcosX - SinX}/_{X - arctgX} =

0-0/0-0 = 0/0

uso Taylor

^lim_x→0 ^{X( 1 - _X2/2 ) - ( X - _X3/6 )}/_{X - ( X³/³ )} =

^lim_x→0 ^{X - _X3/2 - X + X3/6}/_{X - X + X³/³} =

^lim_X→0 ^-_X3/3/_{+ X³/³} = -1

Sviluppo di Taylor

1. f(x) = ln(1 + 3x)     u=3

   poniamo f = 3x

   poiché 3x * f → x →0 si ha che d(x) = d(z) possiamo fissare

   lo sviluppo della serie a u = 3

   ln(1 + 3x) = 3x -_(3x)²/² + _(3x)³/³ + o(x³)= 3x - _9x²/² + _9x³ + o(x³)

2. f(x) = cos(ζ²)     ζ = (x²)

   cos(ζ²) = 1 - ^x2/₂ + ^x4/_4! - ... = (-1) ^ζ2u/ + o(x^2u+2)

   O(ζ⁴) = o(x^2u) quindi possiamo arrestare la serie a L₃

   ottenendo

   ^cosx² = 1 - _x⁴/² + _x⁸/^4! + o(x^O)

X = z + λ

z = x - λ

f(z) = 9 + 8z + 3z²

g(z) = f(z + λ) = 9 + (z + λ) 3(z + λ)²

(x - λ) = 9 - 1 - 3x + 3x

3x³ + 6x² + 3 + 1 + 2x - 3x² 2x - 1 = -3x - 3

No!

X = z + λ

z = x - λ

g(z) = f(z + λ) = 9 + (z + λ) + 3(z + λ)² (z + λ)³

9 + z + λ + 3(z² + λ + 2z) - (z³ + λ + 3z² + 3z)

z³ + 3z² + 3λ + 6z - z - 1 - 3z² - 3z + = - 4λz + 5 = 0

5 + 4 _{(x - λ)} + λ((x - λ)²)

1 x + 4 - log (x - 3/x)^1/3 = log (4/x)

x > -4

x + 4 - log (x - 3/x)^1/3 log (4/x)^1/3 ≥ 0

• x ≥ -4
• x + 4 - log (x - 3/x)(4/x) ≥ 0

x ≥ -4

x + 4 - log (4x - 12/x)₃ ≥ 0

Continuare e calcoli

Serie numerica

1. 3/x∑^∞(4/x+4 - x)^u

Studio prima la parte senza la x

n - 1

lim 3^1/(n+1) = (-ln(u+1) + (ln(u))

n →∞ 3^{3 - ln(u)}

Fare alcuni esempi, provare

(_u-3)^u

c.v.d.

Criterio della radice

√_n |a_n | ≅ x

= {1}/{u^3}

= {1}/{e³}-e

R=e x=e³

lim{(u-3)/} ^u e^3u

= e^3u

= {e^3x}

lim{(u-3/)-} ^u e^3u

{mu-}{}

(u-3)/u)

{u-}

(u/)^u≥0

Perchè è una serie a termini positivi possiamo sfruttare

il confronto asintotico che dice che amb.

Convergenti perchè a_n converge

[−e, e_{3] intervallo di convergenza}

3)

\[\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{(x-1)^2}\]

y(x) = e^{\frac{1}{x-1}} |x-1| \]

c = \frac{1}{2}

5)

[ \sin(x) y' + (\cos x) y = e^x

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{e^x}{\sin(x)}\]

y' = \frac{e^x}{\sin x}

y(t) = e^{-A(t)}[ c_1 + \int g(t) e^{A(t)} dt ]

dove \; A(t) = \int \frac{\cos u}{\sin u} du\]

y(t) = \frac{1}{\sin x} [ c_1 + \int e^x \sin x dx\]

y(t) = c_1 e^{-\log|sinx|} + t e^x

y(t) = \frac{1}{\sin x} ( c_1 + e^x cm)

C₁ = ∫ sin³x cos x

C₂ = ∫ sin x cos³x dx

C₁² = sin x cos³x

C₂ = ∫₀² f sin x cos³x dx

C₂ = ∫ sin²x cos x dx

t: sin x

dt = cos x dx

= ∫₀¹ dt = -∫₁³ - sin³x

= - ∫₀² sin x cos x dx

cos x = t

= -sin xdx dt

- ∫ t₂ dt = - t²/3 = - cos²x/3

Y_p(x) = - sin x/3 cos x - cos³x/3 sin x

Y(x) = Y₀(x) + Y_p(x) = C₁ cos x + C₂ sin x - sin³x/3 cos x - cos³x/3 sin x

√x = t

2x = t²

2 dx = 2t dt

calcolo l'integrale indefinito

∫ 1/t(t²/4+1) *

dt = arc tg √x + c

lim

∫₀^t

dx = lim [ arc tg √x ]

t ->∞

1/2√(2x +1)

t₀

lim arc tg

x√- arc tg

x√z = π/2 - 0

π/4 - π/4

L'integrale converge

e)

∫₀^∞ 9x+8

(x²)(x²)(x+1) dx

calcolo l'integrale indefinito

A

+

B x + C

(x+1) =

A(x+1) + (B x + C)(x+2)

(x+2) (x²)

=

A x + A 1 B x + 2 B x + C x + 2 C

(x+2) (x+1) =

A x = γ x + δ

(x²) (x+1)

∫ A + B - 0

3 B + C = 9

A 1 C = 8

A = -B

B = -

q - c - 2

∫ A - z

B = z

C = 5 & 2 B

√

∫- 2

x+2 dx

∫ 2 x + 5

x+1 dx

x∫ - 5

/

√x+18

+√

∫2 x

-5

dx &

√x+1 dx

√x+1 & C

= x =

√-2

1 log|x + 2| +

|log |x√+ 1 | 5 arc tg

|x√&

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5∫₁^{3x √x ∙ 2}d^x

L'integrale diverge

Limite di funzione

lim_x→0 log(cosx) / x ∙ tanx

lim_x→0 log(cosx)^(1/2) = lim_x→0 1/2 log cosx

1 rifare!

insieme di def.

\(\sqrt{x^2+2x} - |x-1|\)

• \(\sqrt{x^2+2x}\) e \(x-1\)>0 ⇔ 0<\(\sqrt{x^2+2x}\)-|x-1| <1
• x^2+2x >0 ⇔ x(x+2)>0 ⇔ x<-2 ∪ x>0

\(|x^2+2x|\) > \(|x-1|\)

• x>Δ
• x>1
• x^2+2x >x x>0
• x^2+2x \(\geq\)

x \(\geq\)4

• |x>1
• |x ≥ 2
• \((-\infty,-2)\cup (0, +\infty)\)

\(\sqrt{x^2+2x}\)\(|x-1|>x

• \(|x-1|+2 > 0\)
• x>1

Risposte: Procedimento sbagliato!