Analisi Matematica I - Quaderno Esercizi III

Name: Analisi Matematica I - Quaderno Esercizi III
Rating: 4.0 (2 reviews)
Author: gio.cri

Revisionato il 08/07/2026

di gio.cri

Publisher

Vota 4,0/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Ultimo quaderno relativo alla preparazione dell'esame di Analisi Matematica I. In questo quaderno saranno sviluppate le serie numeriche, sviluppi in serie di Taylor, equazioni differenziale ed …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferone Adele

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

A.A. 2015-2016

63 pagine

Esercitazione

Scarica

Estratto del documento

f(x) =

I f(x) =

x > 0

∀ x ∈ ℝ

x > 0

∀ x ∈ ℝ

x > 0

1/e

D = [1/e, e]

non ci sono simmetrie

segue f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ

intersezione con gli assi

x = 0

nessuna intersezione con y

γ = 0

+ log x = 1

γ = 0

log x = 1/e x = e

log x = 1/2e

limiti

limx → 1/2⁺

limx → e^-

la derivata è lunga da calcolare

f(x) =

I f(x) :

x > 0

-1 ≤ log x ≤ 1

∀ x ∈ ℝ log x + 1

x > 0

0, 1/e, e

- [1/e, e]

non ci sono simmetrie

intersezione con gli assi

x = 0

f(x) =

y = 0

+ log x =

Limits

limx →

limx → e

la derivata è lunga da calcolare

Limite di funzione usando Taylor

lim_x→0 x cosx - sinx / x - arctgx

0/0 - 0/0 = 0/0
uso Taylor

lim_x→0 (1 - x²/2) - (x - x³/6) / x - (x - x³/3)

= lim_x→0 x - x³/2 - x + x³/6 / x - x + x³/3 =

lim_x→0 -x³/3 / x³/3 = -1

Sviluppo di Taylor

f(x) = ln(1 + 3x) u = 3

poniamo z = 3x

poiché 3x → z per x→0 si ha che d(x) = d(z) possiamo fissare tale sviluppo della serie a u=3

ln(1 + 3x) = 3x - (3x)²/2 + (3x)³/3 + o(x³) = 3x - 9x²/2 + 9x³ + o(x³)
f(x) = cos(x²) !(x²)

cos(z) = 1 - x²/2 + x⁴/4! - (-1) x^2u/(2u)! + o(x^2u+1)

O(x⁴) = o(x^2u) quindi possiamo arrestare la serie a Lagr, diremo

cos x² = 1 - x⁴/2 + x⁸/4! + o(x⁸)

f(x) = √(4 + x) - √(4 - x)

w = 3

(1 + x)^1/2 = 1 + x/2 - 1/8 (x² - 1) / 2 x² = 1/2 (1/2 - 1)(1/2 - 2) / 6 x³ - O(x²)

(4 - x)^1/2 = 2 - x/4

u = 1/4 possiamo Σ = -x

(4 + Σ)^1/2 = 2 + 1/2 Σ - 1/8 (Σ² - 1) / 2 Σ² = 1/2 (1/2 - 1)(1/2 - 2) / 6 Σ³ + O(Σ³)

x = 1 - x/2 + x/4 x² - x/12 3/8 x³ - O(x³)

x = 1 + 1/8 - x² / 8 + x/16 1/2³ = O(2³)

Σ = 1 + x / 3 - x² / 8 - x/16 + O(x³)

# = x / 2 + x² / 8 - x³ / 16 + O(x³)

x + x/2 + x/8 + x³ / 16 + O(x³)

X + x³ / 3 + O(x³)

1

f(x) = Sin(x²) - Sin(x)²

Poniamo t = x²

poiché O(x^m) - o(tⁿ) possiamo arrestare lo sviluppo a x³

sin x = x - _x³/6 + o(x³)

Sin u = x + _x³/6 + o(x³)

Sin x - Sin(x) = _x³/6 - (o(x) - _x³/6) = - x⁴/6

- o(x⁶)

2

f(x) = e^x³ - 1 - Sin(x³)

Poniamo t = x³

u = 1, possiamo fermarci _w=4

e^t = 1 + t + _t²/2 + _t³/6 + _t⁴/24 + o(t⁴)

Sin(t) = x³/6 + o(x¹³)

e^x3-Sin x³ = Δx + x⁴/6 + x⁹

6 + x⁹/24 + o(x¹³)

3

f(x) = (e^3x - 1) Sin 2x

Poniamo t = 3x e u = 2x

e^t = 1 + t + _t²/2 + _t³/6 + _t⁴/24 + o(x⁴)

Sin(u) = u ^u³/6 + o(u⁴)

f(x) = (4x + 3x⁴ + ax2)/2 - _2x³/6 + o(x³)

4x + ^x³/6 - f(x3)³

(2 x - _x³/6 - o(x^m+1) 6x = 4x h

+ ^ax³ 0 - ax³ x¹

6x + x² qx + 5x + o(x⁴)

Trascendo i valori grandi di x^m

4

f(x) = (e^-x - 1)³ u = 4

z = -x

e^z = 1 + z + ^z²⁄₂ + ^z³⁄₆ + ^z⁴⁄₂₄ + o(z⁴)

e^-x = -x + ^x²⁄₂ - ^x³⁄₆ + ^x⁴⁄₂₄ + o(x⁴)

(-x + ^x²

Anteprima

Vedrai una selezione di 14 pagine su 63