Analisi Matematica III - Esercizi

R

9) Data la seguente funzione 1

3 3 2n−1 ,

f (x, y) = x + y

calcolarne le derivate parziali, dove esistono, per ogni .

∈

n Z

+

10) Studiare la continuità e la derivabilità in tutti i punti di della seguente

2

R

funzione: se

( 2 2 6

xy log(x y ), xy = 0,

f (x, y) = se

0, xy = 0.

11) Data la funzione se

3

( x y 6

x + sin , (x, y) = (0, 0),

6 2

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

a) stabilire se è continua nell'origine,

b) calcolarne le derivate parziali nell'origine, qualora esistano.

12) Data la funzione per

2

( 2 sin x+y 6

, (x, y) = (0, 0),

α

4 4

(x +y )

f (x, y) = per

0, (x, y) = (0, 0),

trovare i valori del numero reale per cui

α > 0

a) è continua nell'origine,

f

b) ha derivata parziale rispetto a in ,

f x (0, 0)

c) ha derivata parziale rispetto a in .

f y (0, 0)

6

E. Buzano, Esercizi di Analisi III.

13) Considerata la funzione

 2

( ( ) )

−1

x cos xy se 6

, (x, y) = (0, 0),

 2α 8

|x|

f (x, y) = +y se

0, (x, y) = (0, 0),



calcolarne la derivata (se esiste) nel punto e nella direzione

(0, 0) (cos θ) i +

, in funzione di e .

∈ ∈

(sin θ) j θ [0, 2π] α ]0, +∞[

14) Data se oppure

( 2

|y|

1, > x y = 0,

f (x, y) = altrimenti

0, ,

si calcoli per ogni versore di .

0 2

f (0; v) v R

15) Data la funzione

2 2

− −

 y log 1 x y se ,

6

, (x, y) = (0, 0)

 α

2 2

f (x, y) = (x + y ) se ,



0, (x, y) = (0, 0)

a) determinarne il dominio;

b) stabilire per quali valori di è continua nel suo dominio;

∈

α R

c) stabilire per quali valori di è derivabile nell'origine.

∈

α R

16) Data la funzione  2

( )

sin y se

√ 6

, (x, y) = (1, 0),

 2

f (x, y) = 2

(x−1) +y se

0, (x, y) = (1, 0),



a) calcolare le derivate parziali dove esistono;

b) studiare la continuità di ;

f

c) studiare la continuità delle derivate parziali nel loro dominio di esistenza.

17) Determinare al variare di tra i versori di il valore massimo della

2

v R

derivata direzionale , dove

0

f (1, 0); v x+y −

f (x, y) = e x cos y.

Determinare inoltre una direzione lungo la quale abbia in derivata

v f (1, 0)

nulla.

18) Stabilire se le seguenti funzioni sono continue o derivabili in :

2

R

a) ,

f (x, y) = arctan xy

b) ,

p 5

|x

f (x, y) = y| se

( 1

2 6

x arctan , y = 0,

c) y

f (x, y) = se

0, y = 0,

se

( 1

2 6

x sin , xy = 0,

d) xy

f (x, y) = se

0, xy = 0,

e) .

3/2

|x|

f (x, y) = tan y

19) Calcolare (se esiste) il gradiente nell'origine delle seguenti funzioni:

7

E. Buzano, Esercizi di Analisi III.

a) ,

|xy|

f (x, y) = xye

b) .

2 2

|x

f (x, y) = + y| sin x + y

20) Stabilire quali delle seguenti funzioni ammettono derivate parziali nell'ori-

gine e, in caso aermativo, calcolarle:

se

( sin(xy) 6

, x = 0,

a) ,

x

f (x, y) = se

y, x = 0,

√

b) ,

− −

f (x, y) = 2 cos x cos y

√ 2

( y se

− 6

, x = 0,

ye 4

c) 3 x

f (x, y) = se

0, x = 0,

d) ,

2 2

|y|

f (x, y) = sin x + y

se

( 2

|y|

1, > x ,

e) f (x, y) = se 2

|y|

0, x .

6

21) Data la funzione per

sin(xy)

√

( 6

, (x, y) = (0, 0),

2 2

x +y

f (x, y) = per

0, (x, y) = (0, 0),

calcolare .

∇f (0, 0)

22) Trovare per quali valori di la funzione è derivabile

α

|xyz|

α > 0 f (x, y, z) =

nell'origine. Dierenziabilità

1) Calcolare il dierenziale delle seguenti funzioni:

a) ,

2

f (x, y) = x + 2y

,

b) xy

f (x, y) = ,

c) x+y

f (x, y) = 1−xy

√

d) ,

2

f (x, y) = 1 + x

e) ,

f (x, y) = sin(xy)

f) ,

y

f (x, y) = arctan x

g) ,

f (x, y, z) = log(xyz)

h) .

y z x

f (x, y, z) = x + y + z

2) Studiare la continuità e la dierenziabilità delle seguenti funzioni:

a) ,

3/2

|x|

f (x, y) = tan y

b) ,

|x−y|

f (x, y) = e

c) ,

p 2

|x

f (x, y) = + y|

d) ,

|x|

f (x, y) = sin(xy)

e) ,

|xy|

f (x, y) =

f) .

|x|

f (x, y) = log(1 + y)

3) Stabilire se le seguenti funzioni sono dierenziabili nell'origine:

se

( 1

2 2 6

x + y sin , (x, y) = (0, 0),

a) 1/2

2 2

(x +y )

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

8

E. Buzano, Esercizi di Analisi III. se

( 1−cos(xy) 6

, (x, y) = (0, 0),

b) 4 4

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

1

( se

− 6

2 2

e , (x, y) = (0, 0),

x +y

c) f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

se

2 3

( x y 6

, (x, y) = (0, 0),

d) 4 4

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

1

( se

− 2 2

2 2

e , x + y < 1,

−y

1−x

e) f (x, y) = se 2 2

0, x + y 1,

>

se

( 1−cos(xy) 6

, (x, y) = (0, 0),

f) 2 2

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

se

4 4

( x +3y

2 6

x log , (x, y) = (0, 0),

g) 4 4

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

√

 2 2 2 se

sin x +y +z

√ 6

, (x, y, z) = (0, 0, 0),



h) f (x, y) = 2 2 2

x +y +z se

0, (x, y, z) = (0, 0, 0),



4) Data la seguente funzione se

( log(xy+1) 6

, (x, y) = (0, 0),

2 2

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

discuterne la continuità, la derivabilità nelle varie direzioni e la dierenziabilità

nell'origine.

5) Data la seguente funzione q 2

3 −

(x 1) y,

f (x, y) = 2 +

a) calcolarne le derivate lungo tutte le direzioni uscenti dal punto ,

(1, 0)

b) provare che non è dierenziabile nel punto .

f (1, 0)

6) Determinare per quali valori di la seguente funzione è dierenziabile

∈

α R

nell'origine: se

α

(

2 2 2 2

−

x y , x > y ,

f (x, y) = se 2 2

0, x y .

6

7) Data la funzione √ 2

( y se

− 6

ye , x = 0,

4

3 x

f (x, y) = se

0, x = 0,

si verichi che in (0, 0)

a) è continua;

f

b) è derivabile lungo ogni direzione;

f

c) vale la formula tale che

0 2

∀ ∈ kvk

f (0, 0); v = df (0, 0)v, v = 1;

R

9

E. Buzano, Esercizi di Analisi III.

d) non è dierenziabile.

f

8) Studiare la continuità e derivabilità su tutto di

2

R

se

( y

sin , 0 < 2πx < y,

x

f (x, y) = altrimenti

0, .

La funzione è dierenziabile nell'origine?

f

9) Data la funzione se

( α

|x| 6

sin y, x = 0,

f (x, y) = 0,

si stabilisca per quali valori di ∈

α R

a) è continua in ;

f (0, 0)

b) è derivabile in ;

f (0, 0)

c) è dierenziabile in .

f (0, 0)

10) Data la funzione α per ,

|xy|

( 6

, (x, y) = (0, 0)

1−α

2 2

(x +y )

f (x, y) = per ,

0, (x, y) = (0, 0)

determinare per quali valori di è dierenziabile nell'origine.

+

∈

α R

11) Stabilire se la funzione √ −

3

f (x, y) = arctan xy y.

è dierenziabile nel punto .

(1, 1)

12) Sia un parametro reale. Si consideri la funzione

α 0

> α se

( sin(|y| ) 6

, (x, y) = (0, 0),

2 2

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0).

Determinare per quali la funzione è dierenziabile nell'origine.

α

13) Trovare i valori di per cui

∈ +

α, β R α β se

( |x| |y| 6

, (x, y) = (0, 0),

2 2

x +y

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

è continua o dierenziabile nell'origine.

14) Determinare per quali la funzione è dierenziabile

α

∈ |xyz|

α f (x, y, z) =

R

nell'origine.

15) Trovare i valori di per cui

∈ +

α R se

2

( xy 6

, (x, y) = (0, 0),

α

2 4

(x +y )

f (x, y) = se

0, (x, y) = (0, 0),

è dierenziabile nell'origine. 10

E. Buzano, Esercizi di Analisi III.

16) Si consideri la funzione 2 2

− −

f (x, y) = max y x x y , 0 .

a) Determinare i punti del piano in cui è continua.

b) Stabilire se è dierenziabile in .

(0, 0)

c) Calcolare, se esistono, le derivate parziali in .

(0, 1)

Matrice Jacobiana dell'applicazione composta

Date le funzioni e

f g

si calcoli ,

• ◦

h = g f

si calcoli ,

0

• h

si calcoli e si confronti il risultato con quanto ottenuto al punto

0

0

• ◦ ·

(g f ) f

precedente:

a) , ,

x

− −

f (x, y) = (xy e , x sin xy) g(x, y) = xy 1

b) , ,

y x

f (x, y) = (x, xy) g(x, y) = (xe , ye )

c) ,

−

f (x, y) = (x y, x + y) , g(x, y) = xy cos y

d) , ,

2 3 2

− −

f (x) = x + 2, x + x, x x g(x, y, z) = xy 2z

e) , .

2 x

f (x, y) = x + 2y g(x) = (xe , sin 2x)

Punti critici

1) Trovare gli eventuali punti critici delle seguenti funzioni in due variabili e

determinarne il tipo:

a) ,

2 2 −

f (x, y) = x y + x 2y

b) ,

2 2

f (x, y) = log 1 + x y

c) ,

f (x, y) = x cos y ,

d) p 2 2

1 + x + y

f (x, y) =

e) ,

2 2

− −

f (x, y) = x x y

f) ,

−

f (x, y) = xy(x 1)

g) 3 2

−

f (x, y) = 2x 6xy + 3y ,

h) 4 3 −

f (x, y) = x + y 4xy,

i) 2 2

−y

x

f (x, y) = (x + y) e

j) 4 2

−

f (x, y) = x 4xy + y

k) ,

3 2

− −

f (x, y) = x + x 4xy 2y

l) ,

2

−

f (x, y) = x(y + 1) x y

m) 2

−x

2 2

−

f (x, y) = x y + 2e

n) 3 3

− −

f (x, y) = x y xy y

o) ,

2 2 4 4<