Analisi matematica - calcolo dei limiti applicazione alla fisica

Dicembre 2021

ANALISI MATEMATICA

Esercitazione sul calcolo dei limiti

Applicazione alla Fisica

▪ Carica di un condensatore

▪ Funzione esponenziale

▪ Limiti notevoli

CARICA DI UN CONDENSATORE

Se scatti una foto con il flash, la batteria ricomincia subito a ricaricare il condensatore del flash. La funzione

che esprime la carica elettrica Q, coulomb, che si accumula in funzione del tempo t, in secondi, è:

−

() = (1 − ) , ≥ 0

dove a e b sono costanti positive.

a. Utilizza il calcolo di un limite per stabilire qual è la carica massima che è messa a disposizione del

flash.

b. Determina il tempo necessario per ottenere il 90% della carica massima se b=4,0s.

c. Disegna il grafico della funzione per a=2,0 C e b=1,0 s

d. Durante la ricarica l’intensità do corrente I(t) non è costante. Si dimostra che l’intensità di corrente

all’inizio della ricarica, cioè all’istante t=0, è data da:

() − (0)

lim

+

t→0

Calcola l’intensità di corrente iniziale I(0).

Svolgimento

a. Utilizza il calcolo di un limite per stabilire qual è la carica massima che è messa a disposizione del

flash → +∞

Per stabilire la carica massima calcoliamo il limite della funzione Q(t)

−

lim () = lim (1 − ) = lim

t→+∞ t→+∞ t→+∞

1

= lim (1 − ) =

t→+∞

→ +∞ → 0

quando il termine esponenziale

=

La carica massima è

b. Determina il tempo necessario per ottenere il 90% della carica massima se b=4,0s.

0,9 0,9.

Il 90% della carica massima corrisponde a cioè Poniamo b = 4 e determiniamo a quale

istante di tempo si raggiunge la carica di 0,9a.

−

0,9 = (1 − )

4

− −

0,9 = 1 − → = 1 − 0,9

4 4

−

= 0,1 → − = ln(0,1) → = −4 ln(0,1) ≈ 9,2

4 4 DANIELA PERROTTA 2

c. Disegna il grafico della funzione per a=2,0 C e b=1,0 s

Con questi valori la funzione da disegnare è: − )

= () = 2(1 − → +∞,

Per quanto visto al punto a), la funzione tende al massimo valore di carica per presenta dunque

= → = 2

un asintoto orizzontale di equazione

La funzione è sempre positiva e crescente nel suo dominio. −

= −

Il grafico si può ottenere applicando delle trasformazioni alla funzione elementare , come segue:

−

= −

La funzione per t=0 vale -1.

−

▪ =

una dilatazione orizzontale di fattore b, da cui si ottiene il grafico di che per b=1 coincide

−

= −

con .

−

▪ ⃗(0; 1), = 1 −

una traslazione di vettore da cui si ottiene il grafico di

La curva trasla verticalmente verso l’alto fino all’origine. −

▪ )

= 2(1 −

una dilatazione verticale di fattore a=2 da cui si ottiene il grafico di

d. Durante la ricarica l’intensità di corrente I(t) non è costante. Si dimostra che l’intensità di

corrente all’inizio della ricarica, cioè all’istante t=0, è data da:

() − (0)

lim

+

t→0

Calcola l’intensità di corrente iniziale I(0).

− − −

(1 − ) − (1 − ) (1 − ) − (1 − 1)

() − (0)

(0) = lim = lim = lim

t t

+ + +

t→0 t→0 t→0

−

(1 − )

0

= lim =

t 0

+

t→0

DANIELA PERROTTA 3