Analisi matematica 1 Prof. Vaira Traccia svolta appello del 26-6-2019

ESAME DEL 26-06-2019 DI ANALISI MATEMATICA 1 (12 crediti) Prof. Vaira

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(La tabella precedente è riservata al docente)

REGOLE D'ESAME

Non è ammesso l'uso di libri, appunti, calcolatrici, cellulari, etc. Si usa soltanto carta e penna!

Esercizio A.1 (9 punti)

Sia data la funzione

f(x) = 2x − arcsin x

1. Determinare il dominio della funzione, gli intervalli di monotonia, massimi e minimi relativi e assoluti e studiare gli eventuali punti di non derivabilità.
2. Disegnare il grafico di f(x) e di |f(x)| − 1.

Esercizio A.2 (5 punti)

Calcolare la primitiva di

f(x) = e^x (cosh x/sinh x)

in (0, +∞) che assume il valore log (e^x + 1) in x = 1.

Esercizio A.3 (4 punti)

Dire se la seguente serie

∑_n=2 (2/(4n² + 8n + 3))

risulta convergente e, in caso affermativo, determinare la somma della serie.

Esercizio A.4 (6 punti)

Risolvere il seguente problema di Cauchy

{ u' = y(y − 1)(t + 1)

u(0) = 2

e determinare l'intervallo massimale di esistenza della soluzione.

Esercizio A.5 (8 punti)

1. Determinare lo sviluppo di Taylor centrato in x₀ = 3 arrestato al secondo ordine (incluso) di f(x) = ∫_x^x cos² (t/5)/√(2t − 5) dt e disegnare il grafico di f in un intorno di x₀;
2. Determinare il valore del seguente limite

lim_{x → 0} (ln(1 + x) arctan x − x sin x)/(arctan x − 1 − ln(1 + x) + cos x)

Esercizio A.1

f(x) = 2x - arcsin x

1. Determinate:
   • Dominio
   • Intervalli di monoton.
   • Max e min relativi e assoluti
   • Studiare eventuali punti di non derivabilit.
2. Disegnare il grafico di f(x) e dì f(x)=1.

Svolgimento

• Dominio

Unica condizione su arcsin(x) : -1 ≤ x ≤ 1

D = [-1,1] -> il dominio . un intervallo chiuso e limitato.

f(x) è continuo in [-1,1]

per il T. di Weierstrass f(x) assume un valore minimo m e un valore massimo M.

• Intersezioni

y = f(x) y = -arcsin(0) = 0.x=0 -> x=0

f(x) passa per l'origine

• Simmetrie

f(-x) = 2(-x) - arcsin(-x) = -2x + arcsin x

= -(2x - arcsin x)

f(-x) = -f(x) -> f(x) è dispari

La funzione è simmetrica rispetto a O(0,0).

• Positività

2x - arcsin x > 0

2x > arcsin x se x > 0

Ip = (0,1]

F(x) = e^x + log(^ex-1/_e^x+1) - e

ESERCIZIO A.3

Dire se la seguente serie possiede convergenza e, in caso affermativo, determinarne la somma.

∑_n=2^{+∞ 2}/_{4n² + 8n + 3}

La serie converge grazie al criterio del confronto asimptotico.

Sia b_n = ²/_4n² = ¹/_2n² (¹/₂ ∑_n=2^{+∞ 1}/_n² )

Lim _M→+∞ a_n / b_n = ^{4n2 + 8n + 3}/_2n² = 1 < ∞

Le 2 serie ∑_n=2^+∞ a_n e ∑_n=2^+∞ b_n = ¹/₂ ∑_n=2^{+∞ 1}/_n²

hanno lo stesso carattere

Osserviamo pure che ∑_n=2^{+∞ 1}/_n² converge, essendo

l'armonico generalizzato con α = 2 > 1 (¹/_n^α) durunque anche la serie data è convergente.

Calcoliamo la somma:

Visto le forma del termine generale n tratta di una serie telescopica : ∑_n=n0^+∞ (b_n-b_n+1)

La cui somma è :S = [b_n0-lim_n→+∞ b_n+1]

ESERCIZIO A.5

Polinomio e S.d.T. centrato in x₀ = 3 del 2^o ordine di f(x)

f(x) = ^x∫₃ ^{cos2 π/₃ t}/_{√2t - 5} dt

- disegnare il grafico di f in un intorno di x₀.

Dom. num. di integrazione

2t - 5 > 0

t > ⁵/₂

compaiono n occhio x > 3 ⁵/₂ ∈ D

f'(x) = ^{cos2 π/₃ x}/_{√2x - 5}

f''(x) = 2^{cos π}/₃ x (- sen ^π/₃ x)^π/₃ √(2x - 5) cos^{2 π}/₃ x. 1/_{√2x - 5}

(2x - 5) N.B. Per scrivere lo sviluppo di T. usiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale:

f'(x) = d/dx ∫_x0^h(x) f(t)dt = f(h(x)) e₁(x)

f(3) = ³∫₃ cos^{2 πt}/₃/_{√2t - 5} = 0

f'(3) = ^{(cos2 π/₃)3}/_{√6 - 5} = ^{cos2 11 = 1}

f''(3) = - ^{cos2 π/₃ (- sen₁1) 1/₃ √1 - cos2 1/_√1}

6 - 5 = -¹/₁ = -1/₂₍₎ (√2x - 5)

1(. 1

f(x) = f(3) (x - 3) + f'(3) (x - 3) + f''(3) 1/2 (x - 3)² + O((x - 3)²

= (x - 3) - 1/2 (x - 3)² -> è un polimono di gr ègato!"