Analisi matematica 1 - esercizi Svolti sulle funzioni razionali fratte

y = ^x3/_(x-1)²

concavità

asimto obl.

concavità

flesso a f.p. orizzontale

concavità

Coridiamo il Campo di Esistenza C.E.

Sappiamo che se una funsione razionale ha denominatro uguale a O trò la funsione tende a + ∞ o a - ∞. Pertanto vordiamo le x ∈ X ce annallano il denominatore, e poi escluderemo dall’ esse X ⊆ R tali volori che manderabhono la funsione a ∞.

(x-1)² = O ; (x-1)(x-1) = 0 => x < 1 = 0 => X = 1

Pre x = 1 il denominatro D (x) si annulla C.E. = X \ d не = ] - ∞ ; [ ∪ ]1 ; + ∞ [

Interesione con l’ Asse X (Ax)

Stuiitomo il sistema :

• funsione
• equzione asse X

lim_x⟶+∞⁡^x³/_x²+1−2x=lim_x⟶+∞⁡^{1/x + 1/x³−2}/_{⁡1/x + 1/(x³−x)}=

lim_x⟶+∞ 1/0⁡ = +∞

In definitiva

lim_x⟶+∞⁡ ^x³/_(x−1)²= +∞

Calcoliamo lim_x⟶−∞⁡ ^x³/_(x−1)² = (−∞)³/(−∞−1)²= −∞/+∞

forma indeterminata. Risolviamo il limite con il teorema di De L'Hospital

lim_x⟶∞⁡ ^f(x)/_g(x) = lim_x⟶∞ ^f'(x)/_g'(x)

lim_x⟶−∞⁡ ^x³/_{(x−1) ²}= lim_x⟶−∞⁡ ^x³/_x²−2x+1 H⁡ lim_x⟶−∞⁡ ^3x²/_2x−2 H

lim_x⟶−∞⁡ ^6x/₂= 6(−∞)/2 = −∞/2 = −∞

Calcoliamo la derivata prima della funzione

y = x³ / (x-1)²

y' = [(x³)' (x-1)² - x³ ( (x-1)²)' ] / (x-1)⁴

= [3x²(x-1)² - x³ · (2(x-1))] / (x-1)⁴

= [3x²(x-1)² - 2x³(x-1)] / (x-1)⁴

= 3x²(x-1)² - 2x³(x-1) / (x-1)⁴

Potremmo continuare e svolgere i calcoli e semplificare qualcosa del denominatore, ma ....

D(x) ....

y' >= 0

y' = 3x²(x-1)² - 2x³ .... (x-1)

/ (x-1)⁴

y''

(³⁄_{3x²) - (x-1)³[ (x³-3x²) . (1)}

( ^{(3x2 - 3x2] . 3 (x-1)2 --------------------------- (x-1)6}

= ^{(3x2 - 6x) (x-1) - (x2 - 3x2) . 3 (x-1)} --------------------------- (x-1)⁶

= ^{(3x2 - 6x) (x-1) - 3 (x2 - 6x)} --------------------------- (x-1)⁴

= 3x³ - 3x² - 6x² + 6x - 6x³ + 9x² = ^6x ----- (x-1)⁴

y'' = ^6x / _(x-1)⁴