Analisi 1 - esercizi svolti sugli integrali, prof Giovanni Dore

INTEGRALI

Integrali immediati

1) ∫(5x²√x + x^¾+ 2√x + 9) dx = 5∫x^5/2dx + ∫x^¾dx + 2∫x^½dx + 9∫dx =

= ⁵/₇x^7/2 + ⁴/₇x^7/4 + 2x^3/2 + 9x + k

2) ∫(5(x² + 1)) dx = 5∫(x² + 1) dx = 5∫x²dx + 5∫dx =

= ⁵/₃x³ + 5x + k

3) ∫(1/(1+x²) - 2/(1+x²) - 1/(n-2)) dx = ∫1/(1+x²) dx - 2∫1/(1+x²) dx - 2∫1/√(1+x²) dx =

= ln(1+x) + 2 arctg(x) - 2 arctg(x) + k

4) ∫(2x+1)³ dx = = ¹/₈ (2x+1)⁴ + k

5) ∫(x^-35x + 2√3x + 3x) dx = -¹/₅x^-2 + 2/3∫√3x + 3∫dx =

= ³/₅ ln(1-5x) + 2(3/3) ln(3x)^½ + k = = ³/₅ ln(2-5x) + 4/3 g(3x+1)^½ + k

6) ∫(5 x³ + 2x^3x+1 + 5 e^2x) dx = ∫5x³ dx - ∫2x^3x+1 dx + 5∫e^x dx =

= ³/₂ x² +3/5g(x) - e ^x + k

7) ∫(5 sin(5x) + 5 cos(x)) dx = 2∫sin(3x)^dx + 5∫cos(x) dx = = ²/₃cos(5x) + ⁵/₂ sin(x) + k

8) ∫∫sin(x) + 3 cos(x) dx = ∫sin(x) dx + 3 ∫cos(x) dx = -ln(cos(x)) + 3 ln(cos(x)) + k

Integrali per sostituzione

Consideriamo ∫ln(x)² dx

Poniamo t=ln(x) allora dt=1/x dx dx=x dt

È poi necessario calcolare anche i nuovi estremi di integrazione t(1)=ln(1)=0 t(2)=ln(2)

∫ln(x)² dx=∫t² x dt=∫t² dt= (t³/3) |0^ln(2)=1/3 ln(2)³

∫ln²(x) dx=x ∫t² x dt=∫x dt=(t³/3) x+k

Integrale per sostituzione può spesso utile se ottengono all'interno dell'integrale una funzione e la sua derivata

∫2x/(x²+4x+5) dx=∫ (2x+4+5)=t dt

u=x²+4x+5 dx= x/4 dt ∫ x/4

∫ln(t)^{2 2}

Integrali di funzioni razionali fratte divisione di polinomi fratti semplici

Consideriamo ∫(N(x)/D(x)) dx con grado numeratore_{grado denominatore}

le m ≥ m ⇒ divisione di polinomi il m ≤ m ≥fratti semplici il m

Metodo dei fratti semplici

∫x² dx = ∫ 3x/(x²+1)(x¹x+1 1)

x

A/x + Bx+C = 3x/x²+1 |=x¹x+1/x

A/x¹+x+1 +B (3/x)=Ax¹x-x+1/x

I casi in cui si integra per parti

1. ∫ xⁿ f(x) dx con f(x) = sin(ax) / cos(ax)

   Integrando per parti n volte derivando la potenza di x sempre.

2. ∫ f(x) g(x) dx con f(x) = g(x) = ln(senx) / cos(ax) e deriviamo per parti n volte.

3. ∫ xᵃ (logₐx)ⁿ dx

   Si integra per parti n volte sempre derivando la potenza di logₐ(x).

4. ∫ xⁿ arctan(x) dx

   Si integra per parti una volta riconducendo all'integrale di una funzione razionale.

Esercizi integrali per parti

1. ∫ xe^x dx = [xe^x - e^x] = xe^x - [xe^x - e^x] = xe^x - xe^x + e^x

   u'(x)=e^x g(x)=x g'(x)=e^x

   g(x)=x g'(x)=1 - e^x