Analisi 1 - Integrazione funzioni razionali

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI

Abbiamo avuto modo di constatare che opportune sosti tuzioni possono ricondurre l'integrazione di funzioni irrazionali, algebriche o trascendenti, all'integrazione di funzioni razionali, intere o fratte.

Vedremo ora che, mediante scomposizione, è sempre teoricamente possibile integrare (in termini finiti) una funzione razionale: le difficoltà che possono presentarsi sono dovute unicamente all'eventuale pesantezza dei calcoli, che si possono tuttavia effettuare seguendo alcuni schemi prefissati. Per brevità, noi presenteremo uno solo di questi schemi, il più naturale: esso è sempre applicabile, pur non essendo sempre, ovviamente, il più conveniente; molto spesso opportuni artifici ispirati da situazioni particolari, che è impossibile codificare, possono ridurre notevolmente i calcoli da eseguire.

Si debba dunque determinare _P(x)∫ q(x) dx dove, per ovvi motivi, è sempre possibile supporre che P e q siano primi tra loro e che il grado di P sia minore del grado di q . Un noto teorema di algebra garantisce che ogni polinomio q(x) di grado q (a coefficienti reali) è esprimibile nel modo seguente

q(x) = q_o(x-a₁)^r₁...(x-a_h)^r_h(x²+b₁x+c₁)^s₁...

(x² + b_kx + c_k)^s_k,

dove q_o è il coefficiente del termine di grado q (massimo), a₁,...,a_h sono le eventuali radici reali distinte fra loro (di molteplicità rispettivamente r₁,...,r_h), x² + b x + c₁, ..., x² + b_k + c_k sono eventuali trinomi irriducibili (cioè privi di radici reali) distinti fra loro e, ovviamente,∑ r_i + 2∑ s_i = q.

Vale allora l'uguaglianza

P(x) A₁ A₁r₁

Q(x) x-a₁ + (x-a₁)² +...+ (x-a₁)^r₁

...+ A₁ A₂ A_rh

x-a_h + (x-a_h)² +...+ (x-a_h)^r_h

B x + C G x + L

x² + b₁ x + c₁ (x² + b₂ x + c₂)²

+...+ B₁ x + G₁

x² + b_k x + c_k

+...+ (x² + b_k + c_k)^s_k.

(10) In caso contrario è sufficiente effettuare la divisione dei due polinomi: se otteniamo un polinomio quotiente slentamente integrabile e un resto che, diviso per q(x), fornisce un'espressione razionale fratta nelle con dizioni richiesta.

(12) Naturalmente non è affatto garantita a priori la possibilità dell'effettiva determinazione per via algebrica delle radici reali e dei fattori irriducibili di l(x); il metodo che descriviamo presuppone che possa avvenire tale determinazione.

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI

Abbiamo avuto modo di constatare che opportune sostituzioni possono ricondurre l'integrazione di funzioni irrazionali, algebriche o trascendenti, all'integrazione di funzioni razionali, intere o fratte.

Vedremo ora che, mediante scomposizione, è sempre teoricamente possibile integrare (in termini finiti) una funzione razionale: le difficoltà che possono presentarsi sono dovute unicamente all'eventuale pesantezza dei calcoli, che si possono tuttavia effettuare seguendo alcuni schemi prefissati. Per brevità, noi presenteremo uno solo di questi schemi, il più naturale: esso è sempre applicabile, pur non essendo sempre, ovviamente, il più conveniente; molto spesso opportuni artifici ispirati da situazioni particolari, che è impossibile codificare, possono ridurre notevolmente i calcoli da eseguire.

Si debba dunque determinare _dx dove, per ovvi motivi, è sempre possibile supporre che P e Q siano primi fra loro e che il grado di P sia minore del grado di Q⁽¹⁰⁾. Un noto teorema di algebra garantisce che ogni polinomio Q(x) di grado q (a coefficienti reali) è esprimibile nel modo seguente

Q(x) = q₀(x - a₁)^r₁... (x - a_n)^r_h(x² + b₁x + c₁)..._sk

... (x² + b_kx + c_k)^s_k,

dove q₀ è il coefficiente del termine di grado q (massimo), a₁,...,a_h sono le eventuali radici reali distinte fra loro (di molteplicità rispettivamente r₁,...,r_h), x² + b_ix + c_i, ..., x² + b_kx + c_k sono eventuali trinomi irriducibili (cioè privi di radici reali) distinti fra loro e, ovviamente, Σ_i=1^hr_i + 2Σ_i=1^ks_i = q⁽¹²⁾.

Vale allora l'uguaglianza

P(x)_Q(x) = A_{1x - a1} + A_{12(x - a1)²} + ... + A_{1r1(x - a1)^r1}

... + A_{1hx - ah} + A_{2(x - ah)²} + ... + A_{hrh(x - ah)^rh}

+ B₁x + C_{1x² + b1x + c1} + ... + B_skx + C_{skx² + bkx + ck}.

... + _{Bk x + Ck1} / (x² + b_k1 x + c_k1) + _{Bk x + Ck2} / (x² + b_k2 x + c_k2)² + ... _{Bks x + Cks} / (x² + b_ks x + c_ks)^s + ...

er un 'opportuna scelta della q costanti A_lm, B_ij, C_ij.

La determinazione di tali costanti, che costituisce spesso la parte più pesante del procedimento, può avvenire, se si sono evidenti metodi più rapidi, riducendo il secondo membro ad un'unica frazione; moltiplicati numeratore e denominatore di questa per q_x essa risulta del tipo R_x / q_x ove R_x è un polinomio di grado q - 1 e ai coefficienti esprimibili mediante combinazioni lineari delle q costanti incognite. Imponendo allora P_x = R_x per ogni x, il principio di identità dei polinomi consente di ricavare tali costanti dalla soluzione di un sistema lineare di q equazioni.

A questo punto, il problema è ricondotto al calcolo di integrali dei seguenti due tipi

∫ A / (x - a)ⁿ dx , ∫_{Bk x + G} / (x² + b_k x + c_k)ⁿ dx n intero > 0, b² - 4c < 0.

Per gli integrali del primo tipo si ha banalmente

A [ log | x - a | + const. ] se n = 1 - A / (n-1)(x-a)^n-1 + cost. se n > 1

Per gli integrali del secondo tipo incominciamo a supporre n = 1. L'idea in questo caso è quella di esprimere il numeratore come la derivata del denominatore sommata a una costante, in modo da ottenere, come risultato dell'integrazione, un logaritmo sommato ad un arcotangente. Più precisamente si può scrivere:

_-Bx / (x² + bx + c) = B / 2 . 2x + b - b / (x² + bx + c)

ed avendosi

∫ 2x + b / x² + bx + c dx = log ( x² + bx + c ) + cost.,

rimane il problema di calcolare

∫ C - B/2 / x² + bx + c dx .

Ma vale l'identità

x² + bx + c = ( 4c - b² / 4 ) [ 1 + ∫ (2x + b / v( 4c - b² ))² ]

per cui

(13) Si ricordi che x² + bx + c > 0   ∀x !(14) Si ricordi che b² + < 4c > 0 !

^√⁄_{(x² + bx + c)} dx = ^√⁄₍₂₎ log (x² + bx + c ) + ^{2C - Bb}⁄_√ 4c - b²) + cost.

artg ^{2x + b}⁄_√ 4c - b² + cost.

Con artifici analoghi si arriva a stabilire che, se n > 1,

√_{(x² + bx + c)ⁿ} dx = ^-B⁄_{2(n - 1 ) (x² + bx + c)^n-1} +

+ 2C - Bb⁄2(c - b/4/)n-1/2 dy⁄(1 + y)2n

dove si è posto y = ^{2x + b}⁄_√ 4c - b² e dove l'integrale a

Calcolare i seguenti integrali.

26. I = √_dx⁄_{x² - 1} .

Si ha x² - 1 = ( x + 1 ) (x - 1) e quindi si pone

¹⁄_{x² - 1} = ^A⁄_{x + 1} + ^B⁄_{x - 1}

Il sistema { A + B = 0

B = A = 1

pertanto:

I = ¹⁄₂ [ - log |x + 1| + log |x - 1|] + C = log

I = √_dx⁄_{x(x² + 1)} .

Si pone

¹⁄_{x(x² + 1)} = A⁄_{x^{2 + x}} + ^{Bx + C ⁄_x2 + 1}

Il sistema { A + B = 0

C = 0

Il sistema { A = 1

B = -1

C = 0

pertanto

I = log |x| - log √_{2 + 1}⁄_{x + 1 + C}