Analisi 2

Condizione necessaria (, altrimenti la serie diverge).

7.2 Serie di funzioni

Una serie di funzioni è un’espressione del tipo:

\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x),

7.3 Serie di potenze e raggio di convergenza

Una serie di potenze è del tipo:

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n.

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8. Serie di Taylor e applicazioni

8.1 Polinomi di Taylor in più variabili

Come per le funzioni di una variabile, si può espandere una funzione in un polinomio di Taylor attorno

a un punto . La formula, se è sufficientemente regolare, ha la forma:

f(x_0+h,\,y_0+k)

= \sum_{n=0}^m \frac{1}{n!} \left(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}

\frac{\partial^n f}{\partial x^i \partial y^{n-i}} (x_0,y_0) \, h^i \, k^{n-i}\right)

+ \text{(termini di ordine superiore)}.

8.2 Applicazioni delle serie di Taylor

Approssimazione locale di una funzione con un polinomio (utile per calcoli numerici).

Studio di massimi/minimi: l’analisi del polinomio di secondo ordine (matrice Hessiana) consente di

determinare la natura dei punti critici.

Linearizzazione e quadratic form approssimate.

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9. Equazioni differenziali ordinarie (richiamo avanzato)

Sebbene le equazioni differenziali talvolta vengano approfondite in un corso a parte, alcune nozioni

ricadono nell’ambito di Analisi 2, soprattutto per completare lo studio delle derivate e delle loro

applicazioni.

9.1 Definizione e classificazione

Un’equazione differenziale ordinaria (ODE) di ordine ha la forma:

F\bigl(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}\bigr) = 0,

Lineari vs. non lineari: se è lineare rispetto alle derivate di , si parla di ODE lineare.

Autonome vs. non autonome: se l’equazione non dipende esplicitamente da , si definisce autonoma.

9.2 Esempi e metodi di soluzione (cenni)

Equazioni lineari del primo ordine:

y' + p(x)y = q(x),

\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.

Equazioni di ordine superiore a coefficienti costanti:

y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y = 0.

L’importante, qui, è riconoscere come tali argomenti si collegano all’analisi delle funzioni e delle loro

derivate.

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10. Conclusioni e consigli di studio

1. Ripasso costante dei concetti di base: è facile confondersi tra derivate parziali, integrali multipli e

cambi di coordinate. Esercitarsi su esempi pratici aiuta a fissare le idee.

2. Visualizzazione geometrica: quando si studiano funzioni di più variabili, integrali superficiali o di

linea, provare a disegnare e interpretare geometricamente curve, superfici, campi vettoriali e relativi

flussi.

3. Teoremi di Green, Gauss e Stokes: imparare a riconoscere i contesti in cui applicarli. Questi teoremi

forniscono trasformazioni potenti tra integrali di diversa dimensione (linea, superficie, volume).

4. Serie di potenze, di Taylor e approssimazioni locali: tenere bene a mente il raggio di convergenza e i

criteri di convergenza. Le espansioni in serie di Taylor sono basilari per lo studio dell’analisi locale.

5. Esercizi, esercizi, esercizi: la pratica è essenziale. Ogni argomento va affrontato con almeno

qualche esercizio rappresentativo, possibilmente con diverse strategie di soluzione (ad esempio,

cambio di variabili in integrali multipli, diverse tecniche di studio dei limiti ecc.).

6. Consistenza e comprensione profonda: Analisi 2 richiede di “incastrare” vari strumenti di calcolo

differenziale e integrale in contesti più generali. Comprendere le dimostrazioni dei teoremi

fondamentali (anche se non in tutti i dettagli) aiuta a usare in modo consapevole tali risultati.

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