Analisi 2

PER PROSEGUIRE CON IL FLUSSO CORRETTO PREMI QUI

LE EQUAZIONI DIFFEREZIALI ORDINARIE→(ODE)Le equazioni differenziali

sostanzialmente sono delle equazioni in cui l’incognita è una funzione declinata nelle sue

varie derivate…

Formalmente una equazione differenziale ha questa forma→

Si dice ordine dell’equazione il massimo grado della derivata di y

Si dice soluzione dell’equazione una funzione che inserita nella funzione F dia 0→

L’integrale generale è l’insieme di tutte le funzioni che sono soluzione

Esistono moltissime classi di equazioni differenziali, che hanno bisogno di disparati metodi

per essere risolte, ma ve ne sono alcune più frequenti

LINEARI DEL PRIMO ORDINE→

Partiamo con considerare le omogenee, le quali si trovano nella forma y’(t)+a(t)y(t)=0 (se

non fossero omognee, il forzante, ovvero il termine a dx dell’uguale non sarebbe 0, ma in

generale una funzione f(t), ma vedremo poi)

Intanto è possibile dire che dato un intervallo I, se a(t) è continua in I, allora l’equazione

possiede infinite soluzioni e il suo integrale generale (l’insieme delle infinite soluzioni), è

−()

uno spazio vettoriale, dove i suoi elementi sono nella forma dove A(t) è una

primitiva di a(t) → questo vuol dire che le funzioni soluzione, posseggono le proprietà

tipiche di elementi di uno spazio vettoriale:

Possiamo introdurre ora un’operatore detto differenziabile lineare di ordine 1(L )→

1

Praticamente esso è un modo compatto di scrivere un’equazione differenziale, esso si

mangia una funzione (v per esempio) e restituisce un’altra funzione definita come →

L (v)=v’(t)+a(t)v(t) (ovvero la struttura che abbiamo visto prima) → L è un’applicazione

1 1

lineare in sintesi.

Ma quindi per quello appena scritto, le soluzioni delle ODE saranno del tipo L (y)=0, quindi

1

possiamo dire che l’integrale generale coincide con il nucleo di L e in quanto tale è

1

uno spazio vettoriale

Come gia detto in precedenza, date v1 e v2 due soluzioni della ODE e k un reale allora→

1) L (v1+v2)=L (v1)+L (v2)

1 1 1

2) L (kv1)=kL (v1)

1 1

Usare l’operatore su una soluzione, è il modo compatto di sparare la funzione

all’interno dell’equazione (L (v) è uguale a scrivere v’(t)+a(t)v(t))

1

Risolvendo una ODE però abbiamo che, siccome dobbiamo trovare una primitiva di una

funzione, avremo infinite primitive disponibili, tutte uguali a meno di una costante arbitraria

Quindi se risolviamo una ODE in se troveremo sempre una classe infinita di funzioni, per

fissarne una dobbiamo porre un vincolo

Il problema di Cauchy permette di mettere a sistema la ODE con il valore che deve

assumere la soluzione per un determinato t→ y(t0)=y0 (vuol dire che la funzione

soluzione y in t0 deve assumere il valore y0), e questo basta per determinare

univocamente una delle infinite funzioni dell’integrale generale

-Ora se volessimo trattare invece le non omogenee? Esse sono quelle nelle quali il termine

noto (a dx dello 0) è una funzione f(t), il principio è analogo e il problema di cauchy anche.

Esse sono scritte nella forma '() + ()() = ()

Osserviamo subito che se v1 e v2 sono soluzioni dell’equazione non omogenea allora

L (v1)=f(t), L (v2)=f(t), ma L (v1+v2)=2f(t) che non è soluzione, quindi l’integrale generale

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delle non omogenee non è uno spazio vettoriale, è detto invece sottospazio affine(non

serve saperlo). In pratica ora somma di soluzioni non mi da più una soluzione, come invece

succedeva con le omogenee, e lo stesso vale per le moltiplicazioni per scalare

Per un lemma importante per la teoria delle ODE è possibile dire che → siano v1 e v2

soluzioni della non omogenea→ allora la funzione differenza delle due funzioni v1 e v2, è

soluzione della omogenea associata y(t) e questo perche se v1 e v2 sono soluzioni allora

vuol dire che L (v1)=f(t) e L (v2)=f(t), ma allora L (v1-v2)=L (v1)-L (v2)=f(t)-f(t)=0

1 1 1 1 1

Vedremo tra un po che l’integrale generale delle ODE non omogenee, sarà dato da →

integrale generale della omogenea associata + soluzione particolare

Per il lemma visto prima possiamo dire che se y1 e y2 sono soluzioni della non omogenea, e

v1 è soluzione dell’omogenea, allora L (y1)=L (y2)+L (v1) → bene quindi questo ci permette

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di procedere per trovare una y2 che vada bene alla causa, e la cerchiamo con il metodo qui

sotto. Per quanto riguarda v1 possiamo scegliere una delle infinite funzioni dell’integrale

generale

L’idea per trovare la soluzione particolare è quello della variazione della costante → −()

praticamente si trova la soluzione della omogenea che è nella forma già vista, ovvero

e a questo punto si dice, ”bene siccome, questa funzione se inserita mi da 0, allora

l’unico modo che ho perche mi dia f(t) e giocare con la costante, che deve diventare

quello che voglio io” → praticamente quindi la costante diventa una funzione variabile c(t),

−()

e impongo che → esplicitamente questo vuol dire sostituendo questa

()

funzione nella non omogenea, che voglio che→

che mi da

Quindi a questo punto possiamo dire che y2 =

Il passo successivo è ora fare vedere che una volta trovata una soluzione particolare con

questo modo, e lasciando v1che può essere chiunque, le soluzioni che si trovano

sommando y2 e v1(che ora quindi è diventato l’integrale generale), sono tutte le soluzioni

disponibili (quindi che y1 praticamente non è una soluzione particolare ma sono tutte le

soluzioni), ovvero che praticamente ora tutte le soluzioni della non omogenea coincidono

con y1

Dimostreremo che data un’altra ipotetica soluzione, essa ricade gia dentro l’insieme y1

che quindi diventerà semplicemente y

Ammettiamo che ci sia un’altra soluzione dell’omogenea che chiamo y3, allora

L (y3-y)=L (y3)-L (y)=0 (perche entrambe fanno f(t)), ma questo vuol dire che y3-y è

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soluzione della omogenea −() −()

Quindi y-y3 si puo scrivere come y3-y= → y3= +y

Ma y per come lo abbiamo costruito è fatto da l’integrale generale + y2 quindi→

−() −() −() −()

y3= + +y2 → y3= → y3= e questo è proprio uguale a

2 + 2 + 2

y1, quindi abbiamo dimostrato che tutte le soluzioni della non omogenea ricadono in y1 (che

quindi è l’integrale generale, e si chiamerà solo y)

Per inciso vi è un’altro modo per scrivere la soluzione particolare, che si rivela più

comoda in caso di risoluzione di problemi di ]Chauchy (p.d.C)

LINEARI DEL SECONDO ORDINE→ Studiamo queste in quanto lineari, ma una volta

-ammessa la linearità di un’equazione differenziale, possiamo estendere questi prossimi

ragionamenti anche ad equazioni di ordine superiore al secondo

Le equazioni non lineari sono molto più difficili invece da studiare e non ammettono un

approccio universale

L’operatore di derivazione, è una applicazione lineare, in quanto si nota subito che:

D[f+g]= D[f] + D[g] e inoltre D[f]=D[f], e quindi come visto in algebra lineare queste due

condizioni fanno della derivazione un’applicazione lineare.

k

Inoltre chiediamo che queste funzioni siano C , così facendo anche le loro derivate k-esime

saranno continue. Possiamo affinare il concetto di derivazione come applicazione lineare,

k+1 k

dicendo che essa va dallo spazio vettoriale C a quello C

Un’equazione differenziale del secondo ordine si dice lineare se è del tipo→

Con a (t) e g(t) funzioni→ nei casi che studieremo noi però è che i coefficenti a (t) sono

i i

costanti→Equazione differenziale a coefficienti costanti

Inoltre come visto prima se g(t)=0 si dice omogenea, altrimenti viene detta completa

Se infine il coefficiente a non si annulla mai, è possibile dividere per quest’ultimo tutta

2

l’equazione trovando cosi quella in forma normale→ 2 0

Tutto quello a sx dell’uguale, può essere definito come un’operatore lineare che va C →C

Il tutto diventa quindi Ly=f(t)

Quello che interessa delle equazioni differenziali è trovare l’integrale generale→

a) Nel caso delle omogenee, l’integrale generale essendo il nucleo di L, sarà uno

spazio vettoriale

b) Nel caso delle complete invece l’integrale generale sarà un sottospazio affine e

sarà trovato tramita la somma dell’integrale generale della omogenea e una

soluzione particolare→ per la dimostrazione vedere pt.b pg 22

La dimostrazione appena citata presuppone che viga la linerità, quindi in un’equazione non

lineare tutto questo non vale, al contrario, in un equazione lineare anche se di ordine n tutto

questo ragionamento si può estendere

Per proseguire abbiamo bisogno di e enunciare altri due importanti teoremi (non riporto la

dimostrazione ma è assolutamente da andare a vedere) →

1) Se a, b, f sono continue nell’intervallo I, allora per ogni y1,y2 il problema di

cauchy cosi definito, ammette una e una sola soluzione:

2) Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’eq.diff. omogenea ha esattamente

dimensione 2, ovvero due soluzioni linearmente indipendenti, costituiscono una

base per lo spazio vettoriale dell’integrale generale, e di conseguenza tutte le altre

soluzioni sono combinazione lineare di queste 2

Date due soluzioni di un’equazione differenziale z1 e z2, vi è un modo per capire

se esse sono linearmente indipendenti e se quindi abbiamo finito con la ricerca di queste

ultime (dato che per determinarle tutte ne bastano appunto due che siano linearmente

indipendenti…) 2

Esse sono linearmente indipendenti in C (I) sse la matrice Wronskiana, definita come

segue, ha determinante diverso da 0 per ogni t.

Inoltre se ha determinante diverso da 0 per un t0 specifico, allora lo avrà diverso da 0

per ogni t, e quindi le due soluzioni saranno linearmente indipendenti→

Quindi ribaltando la frase possiamo dire che il determinante o è = 0 in tutti i punti

dell’intevallo, oppure è diverso da 0 in tutti i punti dell’intervallo, in questo caso allora le

due soluzioni z1 e z2 sono linearmente indipendenti

Arrivati a questo punto bisogna entrare nel vivo del problema di trovare queste soluzioni, un

metodo generale non c’è nel caso in cui i coefficenti siano variabil